CHAP. IX.—DE L ÉTENDUE DES DÉFINITIONS , ETC

d’une manière continue un paramètre qui entre dans l'équation ou dans la définition générique de ces lignes. On élimine ce paramètre pour obtenir l’équation de la courbe enveloppe, et souvent il arrive que cette équation a plus d’étendue que la définition même de l'enveloppe, en ce sens qu une portion de la courbe représentée par l'équation n'a aucun point de commun avec la série des lignes enveloppées.

En général, toutes les fois qu'un calcul d'élimination conduit à une équation résultante de laquelle ont disparu certains paramètres des lieux géométriques correspondant aux équations composantes, il pourra y avoir plus d'étendue dans l'équation résultante que dans le lieu géométrique correspondant, et en ce sens désaccord entre la géométrie et l’algebre, si la signification géométrique des paramètres qui ont disparu assujettit leurs valeurs numériques à des limitations qui ne se trouvent point exprimées dans les équations composantes. |

DE L'APPLICATION DIRECTE ET INDIRECTE DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE AUX QUESTIONS D'ANALYSE DÉTERMINÉE. — ORIGINE DU DÉSACCORD ENTRE LA GÉOMÉTRIE ET LAL- GÈBRE DANS L APPLICATION INDIRECTE.

90. Nous avons fait voir aux n* 49 et suivants comment des problèmes géométriques, du genre de ceux qu'on appelle d'analyse déterminée, ou qui se traduisent par un système d'équations où il entre autant d'équations que d’inconnues, peuvent être présentés de manière à dépendre de la construction préalable de certains lieux géométriques. Par conséquent, d’après les explications données dans le chapitre précédent, suivant que la définition géométrique du lieu sera de nature à cadrer ou à ne pas cadrer, quant à l'extension, avec sa définition algébrique , à pécher contre celle-ci par excès ou par défaut, l'algèbre associera toutes les solutions du problème déterminé qui dépend (explicitement ou implicitement) de la description préalable du lieu géométrique dont il s’agit, sans les compliquer de solutions étrangères; ou biéa elle y associera des solutions étrangères; ou

bien enfin elle dissociera diverses solutions du pro-

blème. Réciproquement, la construction d’un problème d'analyse déterminée devient la définition d’un lieu géométrique, lorsqu'on suppose variable une grandeur qui était censée donnée avec une valeur fixe pour la construction : en sorte que toutes les causes de désaccord entre l’algébre et la géométrie, expliquées par la discussion directe des problèmes d'analyse déterminée , pourront être considérées comme des causes de désaccord entre les définitions algébriques et géométriques de certaines lignes ou surfaces. C'est par ce côté que nous voulons maintenant étudier la question, en nous aidant pour cela, selon notre coutume, d'exemples aussi simples que

possible.

91. Supposons en premier lieu qu'il s'agisse de déterminer les distances du point O (jig. 23) aux

points »#, n, où la droite Omn dont l'équation est

Vin [E] coupe le cercle mnm'n', qui a pour équation

CPR re re en [el Pour que l'algebre et la géométrie s'accordent ici, il faut qu'après avoir désigné par «w la distance du point O à l’un quelconque des points d’intersection, on arrive à une équation en w, qui n'admette que

deux racines réelles, toutes deux de même signe,

puisque les points 77, x sont semblablement situés par

DE L'ANALYSE DÉTERMINÉE. 215 rapport au point O. Or, si l'on élimine y entre les équations des deux lignes, et si l'on pose ensuite

JRSSPEEE 2 u—x\1 + of, de manière à rendre de même signe les valeurs cor-

respondantes de w et de x, il vient

2a — su Ê—r—0, ; AS tr d'où PAT. EVA à) aoû

LS E cù Comme on a, d’après la figure, «> r, on reconnait sans difficulté qu'en effet ces deux racines sont positives, tant qu'elles sont réelles; tandis que toute valeur de x qui rend le problème impossible, affecte d’imaginarité les valeurs de w; et par conséquent l’accord de la géométrie et de l'algèbre est aussi complet

que possible.

En posant Om ET RL er V1 — a? ; OU a HV») — d'a ue VIH + on trouve

uul—=@— 7 ;

ce qui est une manière de démontrer, par les procédés ordinaires de la géométrie analytique, le théorème si

connu de géométrie élémentaire,

Om. On—Of,

On peut poser encore mn—u" sa 7, PVR & AA

ce qui donnera, après qu'on aura chassé la constante «,

Var EC —0c, Var + Le. bi Supposons actuellement qu'on assigne la valeur de

la corde 2c, et qu'on veuille déterminer les rayons

vecteurs w', uw”, non plus par le système des équations [E], [e], suivant la méthode directe que fournit la géométrie analytique, mais indirectement, au moyen des équations

Wu —2c, uuw—@—1r, [£]

dont la première énonce une des données du problème , et l’autre exprime une relation censée connue

entre les lignes w', #'. On en tirera, en éliminant w”, du +20) —r, FA D ScEVa-r ee

L'une des racines est la valeur de w', telle que la

donne la première équation | /]; l'autre racine est la

valeur de w/, mais affectée du signe négatif, ce que

d’où

rien ne justifie dans les conditions géométriques du problème. De même, en éliminant w', on aurait

Wu! —2c) = —7", [£"] d'où |

= ec+ V (Lee + ë,

ce qui donne la valeur de w” fournie par la seconde équation | f|, et en outre la valeur de w!, mais affectée

du signe négatif.

92. On a bien des fois cité cet exemple si simple pour montrer que, dans la résolution des problèmes de géométrie par l'algèbre, des racines opposées de signes peuvent représenter des lignes qui ne sont pourtant pas opposées de direction : mais, ce quil aurait fallu remarquer, c'est que la racine négative de l'équation [2] et celle de l’équation [2”] sont étrangères au problème qui a pour objet de déterminer, par le système des équations [£|, l’une ou l’autre des deux lignes w', w!'. Comme les deux inconnues w/, uw! n'entrent pas symétriquement dans le système des équations [g|, il est impossible d’en tirer une équation finale dont les racines représentent w et uw”. Quelle que soit celle de ces inconnues qu’on élimine, l’équation finale se trouvera compliquée d’une racine étrangère à la question géométrique. À la vérité il arrive accidentellement que la racine négative de l’équation {[g’|, ou la racine étrangère, est numériquement égale à la racine positive ou à la bonne racine de l'équation [g”], et réciproquement : mais cette circonstance accidentelle, tenant à la maniere particulière dont la symétrie est troublée dans la première équation {g], ne doit pas empêcher de considérer ces

racines comme étrangères. Ce que chacune des équa-

tions [£’|, [£"] a de singulier, ce n’est pas d’affecter du signe négatif l’une des deux lignes w’, ul; c’est cette circonstance que la racine étrangère qu'elle contient, se trouve accidentellement convenir à la question, apres l’inversion du signe.

Non-seulement l’une des racines de chacune des équations {[£2!|, [2] est étrangère à la solution du problème géométrique proposé, mais l’autre racine n'y conviendra pas davantage si l’on donne c>r, puisqu'alors la solution géométrique n’est plus possible, quoique les deux racines de chacune des équations [£|, [4”] ne cessent pas d’être réelles.

Au lieu d’assigner la différence des inconnues w/, w”, on pourrait assigner la valeur de toute autre fonction de ces lignes inconnues, ou les assujettir à satisfaire à une équation quelconque

JA UE U laquelle, combinée toujours avec l'équation fonda-

mentale

UW—= 7,

devrait suffire en général à déterminer séparément w/, u". Mais, parmi les couples de valeurs réelles que ce système d'équations peut comporter et dont rien ne limite nécessairement le nombre, il n’y aurait de conciliables avec la signification géométrique attribuée ici aux lignes w, u”, que ceux qui offrent des valeurs

de w!, u! comprises entre 4 —r et ar : condition

DE L ANALYSE DÉTERMINÉE. 219 que l'algèbre, appliquée de cette manière à la géométrie, n'exprime ni ne peut exprimer. En outre, à chaque couple compris entre les limites précitées, correspondent deux solutions géométriquement distinctes, à cause de la symétrie de la figure par rapport à la ligne diamétrale OCX ; et c'est encore une

circonstance que l'algèbre employée ainsi ne peut point traduire.

93. Passons à un autre exemple, cité par Carnot, dans sa Géométrie de position *. L'équation du cercle mpnq (fig. 2h) étant toujours

(&—a) +=, Le] menons les deux droites rectangulaires mn, pq, qui ont pour équations

Ÿ— AT » est MES et posons ensuite (MMULMORE UCI OP= NOTE"

Si l’'origme O est dans l’intérieur du cercle, ainsi que nous l’admettrons pour mieux fixer les idées, l'algèbre attribuera à #, v, des valeurs négatives, comme cela doit être pour l'accord avec la géométrie; et l’on trouvera

PE à?) — d'où AA DO RE PET (14 a?) — d'a