V1+ PY

* Pag. 367 et SUIV.

d’où l’on peut conclure cette relation, indépendante de.a, Ep (ul ul} (0 — 0) =H(2r—@). [A] Si maintenant on veut déterminer « par la condi-

tion que les cordes »#n, pq, aïent entre elles un rapport donné y, il viendra

(1 0°) — a? Ut.

PL r*(1—°) 28 Bi Ÿ)

On tire de cette dernière équation deux valeurs de x égales et de signes contraires, parce qu’en effet, si le système des cordes rectangulaires #7, pq satisfait à la question, le système des cordes rectangulaires #/n/, pq, symétrique avec le précédent par rapport à l’axe des x, qui joint le point O au centre du cercle, doit y satisfaire aussi : ce qui maintient l'accord entre la géométrie et l'algèbre.

Pour la réalité des valeurs de x données par l’équation précédente, il faut que la valeur de y tombe entre

Mais, au lieu de suivre ainsi les procédés directs de la géométrie analytique, supposons qu’on veuille

s appuyer sur le théoreme dérivé dont l'équation |A]

est l'expression, et qu'on joigne à cette équation la condition

du Do) 0 li

de manière à avoir le nombre d'équations suffisant

pour déterminer, non plus, comme dans le problème

précédent, les inconnues w, uw”

tions Ww!—w}, v!— de ces mêmes inconnues, fonc-

, etc., mais des fonc-

tions qui représentent ici les cordes mn, pq. On tirera :

de ces deux équations

W— u—+2y ee.

r°— pl— p—+T2 VX Tr.

On ne voit plus ici de trace de la condition trouvée plus haut pour que le problème soit possible, savoir celle de l'inclusion de + entre certaines limites de grandeur ; et aussi cette condition n'a point été mentionnée par Carnot, parce qu'il a pris immédiatement pour inconnues les cordes #7, pq, sans les considérer comme des fonctions des rayons vecteurs w, u”, etc., et sans passer par la méthode ordinaire de la géométrie analytique. Le fait s'explique très-aisément (88), puisque lesrayons vecteurs w/,u/, etc., peuvent être imaginaires, sans que les fonctions w#!'— u!, v'— 1 cessent d’être réelles. Mais ces fonctions perdent leur sens géométrique et cessent de représenter des cordes,

lorsque, sans cesser d'être réelles, elles correspondent

à des rayons vecteurs imaginaires : et l'impossibilité géométrique n'étant plus traduite par l’imaginarité des racines , il cesse d'y avoir correspondance entre la. géométrie et l'algèbre employée de cette manière. Cette circonstance mise à part, on pourrait être tenté de croire que l’ambiguité du signe, dans les va-

l— ul, v!—V, tient à ce que le problème

leurs de admet deux constructions, à cause de la symétrie de la figure, de part et d'autre de la ligne diamétrale AOCB. Ce n'est pourtant là qu'une rencontre accidentelle, ainsi qu on peut déjà le conclure de la remarque placée à la fin du numéro précédent.

En général, rien n empêche d’assujettir les cordes

Wl—w, v!—y à satisfaire à une équation donnée

ice w, dl) — 0,

laquelle, jointe à l'équation [2], suffira pour déterminer les inconnues #/”— 1, 1 : mais, parmi les couples de valeurs réelles qu'on en tirera pour ces

inconnues, tous ceux qui ne seront pas inclus entre les

limites 2r et 2V7°— «a ne pourront se concilier avec la signification géométrique attribuée à ces inconnues ; et à chaque couple compris entre ces limites correspondront deux constructions distinctes, soit que les équations admettent ou n'admettent pas pour solution algébrique un autre couple formé avec les mêmes valeurs numériques, prises négativement. L'algébre ainsi employée ne

peut pas plus exprimer ces particularités attachées à la

signification géométrique des inconnues, qu'elle ne Q CT SE 4 2e

peut exprimer la propriété de l’inconnue +, de re-

présenter un nombre essentiellement compris entre

zéro et l'unité, dans les équations [a] et [2] du

94. Enfin proposons-nous une construction dans l'espace, qui soit l’analogue de la construction plane dont nous venons de nous occuper; et pour cela pre-

nons l'équation d'une sphère

2 es 0 Ar mt

et concevons que l’on mène par le point O, origine des coordonnées, trois cordes rectangulaires mn, pq, rs, dont les équations seront DE db SNS ACER MESXL, AS 00e ee DROIT de sorte qu'on ait 1+ax +6f —0, | 1x8" 0, 1 a+ 8 —0. \ L'élimimation donnera WP +R) + p) V1+ + NET ETES re NTFS CES ras

mn—=u"—u :

rs=W—

RATE d'au be. on N'97 Rae ARC AN om à) à.

On entrera

pe RUES. ‘ALU RE Il 2 l Û 2 2 2 om Cl D CC — (3 — 2), théorème analogue à celui dont l'équation [2] est l’expression.

Si l’on se donne les conditions 7 ap il U'EN ; 0 7: D" —0" —— d, [2] ces conditions, jointes aux équations [4], ne suffiront pas pour déterminer les six coefficients x, B, 4!, etc., et par suite les six rayons vecteurs w, uw, v, etc. ; tandis que les trois équations [H] et [/] suffiront pour déterminer les cordes mn, pq, rs, et donneront

D LRU PUEEU M Ten 154 Hit

pq=W'—V=ES 1 1 ï Sté

Ps y — +? TRE

En effet, il est clair que les fonctions w!—u!, #—y, AS , . , 4 wl—w peuvent être déterminées, quoique les quan- . 2 ( — Lé d L tités w', u”, etc. restent indéterminées. Elles peuvent aussi rester réelles, quoique les quantités dont elles dépendent soient imaginaires; et de là des conditions

d'impossibilité qui ne se manifestent point dans les

valeurs des cordes 777, pq, rs, et que Carnot n’a point indiquées. Pour les déterminer commodément, et en même temps pour établir de la manière la plus simple l'équation [H], prenons l'équation de la sphère sous

sa forme la plus générale :

Ho + Gr:

les intersections de la sphère avec les axes des +, des y et des z détermineront trois cordes rectangulaires mn—9Vr—1#—"€, 0 es Ne ne rs —=QVr—E— 5%, d'où Pa pg + —AfBP UE), ce qui revient à l'équation [H], quand on pose En + Ca, ou quand on assujettit le centre de la sphère à se trouver à la distance « du point d'intersection des cordes rectangulaires. :

Si de plus on veut satisfaire aux conditions | /|, il faut poser er Ce 0 1°— Er) .

Ces trois équations déterminent la position du centre de la sphère par rapport aux cordes rectangulaires, et

l’on en tire

PQ D— y 52) — g(y82 — y" — D?) ee) 1 ?

MD rater) dima

ANR TETE

Caen nr ete 1 em

1m AH PAL) —1