EP EE

I] ne suffit pas, pour la possibilité de la construction géométrique, que les cordes nn, pq, rs, fonctions de E,n, &, soient réelles; il faut que les coordonnées Ë,

n, & soient réelles aussi; et de là les conditions

1 27 — a F4) as ap

il 27°— (142) rs

lesquelles se réduisent à deux inégalités distinctes : car, si l’on désigne par y (ce qui est permis) le plus grand des rapports y, d, et que la première inégalité soit vérifiée, la seconde le sera a fortiori.

Après qu’on a déterminé au moyen des constructions précédentes les valeurs de ©, »#, &, et par suite l'unique système de valeurs numériques que compor-tent les cordes rectangulaires #27, pq, rs, pour les valeurs données de r, a, y, d, on peut revenir au système des coordonnées primitives, prendre pour axe des x la droite qui joint le point d'intersection des cordes au centre de la sphère; et alors, si l’on fait tourner autour de cet axe le système des trois cordes rectangulaires, il ne cessera pas, dans toutes ses positions, de satisfaire au problème qui consiste à mener par le point O trois cordes rectangulaires ayant entre elles les rapports donnés : ce qui fait voir d’une autre ma-

nière comment le problème, posé de la sorte, est in-

DE L ANALYSE DÉTERMINÉE. 221 déterminé, quoique les équations [H] et [/] donnent pour les trois cordes des valeurs en nombre déterminé. On rendrait le problème déterminé en ajoutant une condition, par exemple celle que la corde #7 se trouve dans le plan xy, auquel cas le problème admettrait quatre solutions. En effet, soit an (fig. 24) une des constructions de la corde w#'— u! qui conviennent à la question ainsi posée : il y aura dans le plan mené perpendiculairement à celui de la figure, suivant la trace pq perpendiculaire à 77, deux Systèmes de construction des cordes #/—1}, w/!—/; de plus, il y aura une seconde construction »/n! de la corde u'—uw', symétrique avec nn par rapport à l’axe des x, à laquelle correspondront deux systèmes de construction des cordes #/—1', w!—w/, dans le plan dont la trace en xy est p'g perpendiculaire à #n!. Le problème comporterait par conséquent douze solutions et non pas six, comme le dit Carnot, si la condition ajoutée était que l’une quelconque des trois cordes rectangulaires tombât dans le plan xy; et en tout cas on voit que le nombre des solutions géométriques n’est point lié à celui des solutions algébriques que comporte le système des équations [H] et [ /].

95. Il n'est pas nécessaire de plus multiplier les exemples : l'essentiel était de donner un fil conducteur qui püt guider dans l'interprétation des cas particuliers dont la variété est infinie. On doit voir claire-

ment, par ce qui précède, que l’on peut appliquer l'algèbre de deux manières différentes aux mêmes questions de géométrie : 1° par les procédés directs de la géométrie analytique, en partant des équations des lignes ou des surfaces; en obtenant par l'élimination les expressions des coordonnées des points d'intersection, et par suite les expressions des grandeurs qui sont des fonctions de ces coordonnées, et sur lesquelles le problème porte; en tirant finalement des conditions du problème la détermination des paramètres qui ont pu rester arbitraires dans les équations des lignes et des surfaces ; 2° indirectement, en partant de relations algébriques qui existent entre les fonctions des coordonnées , fonctions que l’on introduit alors immédiatement dans le calcul, sans passer par les valeurs des coordonnées dont elles dépendent : auquel cas il peut et il doit en général arriver, d'une part qu’on introduise des solutions absolument étrangères à la question géométrique ; d'autre part que les conditions de possibilité et d'impossibilité géométriques cessent d’être exactement ou complétement traduites par les conditions de réalité et d'imaginarité des racines des équations qu'on emploie. Toutes les fois qu'un tel désaccord se présentera, on en trouvera la raison en reprenant la même question par les méthodes directes de la géométrie analytique, et en discutant ensuite la nature des liens algébriques qui rattachent les varia-

bles employées dans la méthode directe, aux fonctions

de ces variables qui figurent dans les équations qu’on emploie par la méthode indirecte *.

Il doit être entendu que tout ceci ne s'applique qu'aux théorèmes ou aux problèmes de géométrie dont la démonstration ou la solution peuvent se déduire logiquement des théorèmes de Thalès et de Pythagore, ou se déduire algébriquement des équations de la ligne droite et du cercle en coordonnées rectangulaires, sans qu'il soit besoin de recourir à de nouvelles constructions, à d’autres faits primitifs qui deviendraient d’autres causes de désaccord entre la géométrie et l’algébre , ainsi qu'on le verra dans les chapitres XIIL et XIV.

* Dans les traités d'application de l'algèbre à la géométrie, on place assez ordinairement en tête de l’ouvrage, sous la forme de prolégomènes , la discussion de quelques problèmes d'analyse déterminée ; après quoi l’on passe à l'exposition des principes de la méthode des coordonnées et à la géométrie analytique proprement dite. Cette marche peut avoir quelques avantages dans la pratique de l’enseignement ; mais elle est contraire à l’ordre philosophique si, comme nous croyons l’avoir montré , l'explication systématique et régulière des singularités que présente la discussion algébrique des problèmes d’analyse déterminée ne peut se tirer que des principes mêmes de la géométrie analytique proprement dite. Par la même raison, l’ordre philosophique demande que les définitions et les règles de la trigonométrie, au moins en ce qui tient au jeu des signes algébriques, soient rattachées aux principes de la méthode

des coordonnées , comme nous l’avons indiqué aux n° 7/4 et suiv.

DE LA MÉTHODE TRIGONOMÉTRIQUE ET DE LA DISCUSSION DES LIEUX ALGÉBRIQUES PAR LES COORDONNÉES PO- LAIRES.

96. Carnot distingue * quatre méthodes pour résoudre les questions de géométrie : la méthode graphique où l’on ne fait nul usage des opérations sur les nombres ni des signes de ces opérations; la méthode trigonométrique qui consiste, suivant lui, à former une chaîne non interrompue de triangles entre les données et les inconnues de la figure proposée, et à passer de l’un à l’autre par les formules de la trigonométrie; la méthode analytique proprement dite où l'on définit toutes les lignes de la figure par leurs équations entre coordonnées rapportées à des axes communément rectangulaires ; enfin la méthode mixte qui consisterait à combiner les trois autres méthodes pour arriver plus facilement au résultat. Nous n'avons rien à dire de cette méthode mixte qui, par sa définition même, n'aurait rien de systématique et de régulier, ni de la méthode graphique qui appartient à

* Géométrie de position, page 351.

la géométrie pure et qui sort de notre sujet. Ce que Carnot appelle la méthode trigonométrique peut souvent, eu égard à la commodité des raisonnements et des calculs, constituer le procédé le plus direct; mais pour nous qui avons en vue une exposition systématique des relations entre la géométrie et l'algèbre, cette méthode trigonométrique n’est que l’un des procédés que nous avons, dans le chapitre précédent, qualifiés d'indirects, par opposition aux procédés directs de la géométrie analytique ou à la troisième méthode de Carnot. L'emploi de notations spéciales, comme celles qui sont affectées à la représentation des lignes trigonométriques, ne peut pas constituer l'essence d'une méthode, .ni changer l'interprétation philosophique des résultats. Il n'importe, quant au fond, que telle grandeur connue ou inconnue soit qualifiée de coefficient, de paramètre, et désignée par la lettre «a, ou qualifiée de ligne trigonométrique et désignée par la notation tanga (7/4). En conséquence, partant toujours de l'accord fondamental entre la géométrie et l'algèbre dans la géométrie analytique proprement dite, nous trouverons l'explication régulière des faits d'accord ou de désaccord dans l'application du caleul algébrique à la géométrie par la méthode trigonomé-

trique, en considérant cette méthode comme un

moyen indirect et détourné de faire usage de la géo-

métrie analytique, lequel consiste généralement à sub-

situer, soit aux coordonnées, soit aux parametres qui

entrent dans les équations de la géométrie analytique, des fonctions de ces coordonnées ou de ces parametres, et à mettre le problème en équation , à la faveur de certaines relations dérivées et secondaires qui existent entre ces fonctions , ainsi que cela a été expliqué plus haut.

97. Prenons pour exemple le problème du n° 45, et supposons que la position du point 72 (/ig. 3), au lieu d'être déterminée par les coordonnées Op, pm, le soit par la distance O7 que nous appellerons r, et par l'angle ROA que nous appellerons w. Nous prendrons pour l'élément inconnu qui doit servir à déterminer la position de la droite AB, l'angle OA que nous appellerons 0. On aura, en vertu du théorème fondamental pour la résolution des triangles scalènes,

De ROBE — ; en sorte que la condition du problème donnera 2 n° — HG De C0 À Q d'où, en vertu des équations [C] du n° 76,

— 1° sin? 0 — #° [(cos*6 — sin?0)sin 2 + 2sin 0 cos6 cos 2w].

Après qu'on a exprimé cos6 en fonction de sin8 et fait évanouir les radicaux, l'équation en sin9 s'élève au

quatrième degré, et peut se résoudre à la manière des

équations du second degré. La résolution donne

2 — 7? 5 2; 2% cos 20y #—7° sin 20 En, Fra sin 0 k — 4r2k? sin 20 7" [él]

Aïnsi nous trouvons quatre valeurs pour sin9, toutes quatre à la fois réelles, ou à la fois imaginaires, comme il est facile de s’en assurer. On peut tenir compte des valeurs négatives de sin 0, en considérant comme néoatifs des angles tels que BnO, B'mO, mesurés en sens inverse des angles AmO, A'mO, par rapport à la ligne fixe »mO. On peut aussi (ce qui revient absolument au même) négliger les valeurs négatives des sinus et des angles, en faisant correspondre à chaque valeur positive de sinô, deux angles 9 mesurés dans le même sens et supplémentaires l’un de l’autre. Dans l’une ou l'autre supposition , les racines de l'équation [0] donneront pour l'angle 9 quatre valeurs géométriquement distinctes, et nous savons qu'en effet le problème comporte quatre solutions dont la fig. 4 offre le type. Mais iln y a pas identité entre les deux systèmes de solutions, et à cet égard la géométrie et l'algèbre ne s'accordent pas. Les racines de l'équation [0] donnent, outre les directions AB, AB, qui conviennent au problème, les directions symétriques par rapport à la ligne #O, qui n'y conviennent pas en général et qui ne se confondent pas avec les directions Ana", A''ma”. Pour obtenir ces deux dernières solutions du problème, il faut changer le signe du premier membre de l'équation [a], ce qui donne

212 sin 20 + 24 cos 20y 4° + r°sin 20 me VERT 0) sin 48 L4r%%sin 20 + r* » | |

et par conséquent quatre nouvelles valeurs de l'angle 9

géométriquement distinctes, savoir celles qui correspondent aux directions Anal, A!/ma”, lesquelles conviennent au problème, et celles qui correspondent aux directions symétriques par rapport à la droite On, lesquelles n’y conviennent point.

Quand on prend l'angle w égal à un demi-droit, les équations en sin0 s’abaissent au second degré, et les deux formules trouvées ci-dessus deviennent simplement |

sin + À x SU AELeA V2Æ— 7° V2# + r°

Chacune d'elles perd ses racines étrangères, et prises ensemble elles ne fournissent plus qu'un nombre de racines justement égal à celui des solutions du

problème. Dans ce cas particulier, il est visible que

AmB', A’'ma!! sont respectivement les symétriques

de AmB, Amal.

98. On trouve aisément la raison de toutes ces particularités, de ces concordances et de ces discordances, lorsqu'on rattache la solution trigonométrique aux procédés généraux de la géométrie analytique. Prenons pour axes des x et des y les droites OA, OB , et les coordonnées rectangulaires du point 72 seront 7 cosw, rsinw : l'équation de toute droite menée

par le point m deviendra

Y— rs o—u(x— rc0s0),

dans laquelle x désigne un coefficient qu'il s’agit de déterminer par la condition du problème. Cette con-

dition donne pour chacune des lignes AB , A'B/, . 1 à (rsinw — ur cosw) (rcoso —? sin o) 2H et pour chacune des lignes A"B", AB”, [ . r E: 9 — (rsinw—ur cosw) (rcosw—=sin@ )— 2#.

Ces équations sont toutes deux du second degré en u ; et comme la tangente de l'angle 0 dépend de « par la relation

___ tangw+-tangé 1—tangotang0?

elles donneront deux autres équations du second degré dans lesquelles la nouvelle inconnue tang 0 sera fonction de l’inconnue primitive w. Enfin, si l'on substitue à l’inconnue tang0 la fonction sinô qui en dépend par la relation CE Ron ART

V1+ tang?6 on aura nécessairement pour sin0 des valeurs en nombre double de celles qu'on avait pour « et par suite pour tang®; on introduira des racines étrangères, à moins que, par exception, l'équation en tango ne contienne que le carré de cette inconnue,

ce qui arrive précisément pour w égal à un demi-

droit : auquel cas le nombre des valeurs de sin9 algébriquement distinctes est justement égal à celui des valeurs de tang0, par conséquent égal au nombre des valeurs de « et au nombre des solutions du probleme. |

Dans le cas du problème du n° 47, on a les deux

équations en sin0 :

2rsin0 — sin 20 —2%sin 2 sin?0 1-24 cos 2w sin 6 1—sin®, — 9r sin 0 — sin 20 —2# sin 20 sin? 0 + 2% cos 20 sin 0ÿ1—sin%6,

dont chacune conduit, par l’évanouissement des ?

signes radicaux , à une équation du quatrième degré ; et, par les mêmes raisons que ci-dessus, on obtient , , o lé A en général quatre racines étrangeres. Quand on prend w égal à un demi-droit, ces équations se ré-

duisent respectivement à

2rsin0— ÂÀ(1 —2sin 0), —?2rsin 6— (1 —2sin°8);

le nombre des racines s'abaïsse de 8 à 4 par la perte des racines étrangères; et de plus, comme ces deux équations du second degré ne diffèrent que par le signe du terme affecté de la première puissance de l’inconnue, il arrive que l'une ou l’autre de ces équations suffit pour donner les quatre solutions du problème , pourvu que l’on tienne compte des deux arcs supplémentaires qui correspondent à une même va-

leur du sinus. C’est ici le résultat d’une circonstance

Le

accidentelle, et que n'offrait pas la discussion du pro-

blème du n° 45.

99. On appelle coordonnées polaires les coordonnées dont nous avons fait usage au n° 97 pour déterminer la position du point 2 ( jig. 3), savoir : le rayon vecteur Om—r, où la distance du point 72 à un point O, donné de position sur le plan et qu'on nomme pôle, et l'angle 7O—« formé par le rayon vecleur avec une droite OA, donnée aussi de position sur le plan, passant par le pôle, et qu'on nomme quelquefois axe polaire. 1] faut concevoir cette droite prolongée indéfiniment à partir du pôle, mais dans le sens OA seulement : l'angle w devenant égal à 180° pour les points du plan situés sur le prolongement de OA, en sens contraire. Le point O est l’origine des rayons vecteurs : si l’on décrit de ce point comme centre et avec l'unité pour rayon une circonférence de cercle, le point où le cercle coupe la ligne OA est l'origine des arcs qui mesurent les angles décrits par le rayon vecteur dans son mouvement de rotation autour du pôle (76). Après le système des coordonnées rectangulaires, celui qu’on emploie le plus fréquemment comme le mieux approprié à la solution d’un grand nombre de questions géométriques, est le système des coordonnées polaires.

Quand on prend pour pôle l’origine des coordon-

nées rectangulaires, et pour axe polaire l'axe des x

RS ET CS PONS UT INT RE Es AL

prolongé dans le sens des abscisses positives, on a entre les coordonnées rectangulaires et polaires les

relations déjà employées 070050, 00) —7SIO, [oo]

à l’aide desquelles il est aisé de passer d’un système à l’autre. Quelques difficultés sur les signes, auxquelles on a attaché plus d'importance qu'elles n'en ont véritablement, disparaissent devant des explications qui sont une conséquence très-simple de la doctrine précédemment exposée.

100. A cet effet il faut distinguer les courbes algébriques de celles qui ne sont point algébriques, et pour les premières remonter toujours aux équations entre coordonnées rectangulaires qui en sont les définitions directes. La discussion par les coordonnées polaires doit être conduite de manière à attribuer au lieu géométrique discuté précisément l'étendue qu'il comporte en vertu de l'équation entre les coordonnées rectangulaires.

Soit l'équation rationnelle d'une courbe algébrique entre coordonnées rectangulaires : elle deviendra, par la

substitution des coordonnées polaires, F(rcosw, rsnmw)—0; [F,]

et nous disons que, pour tirer de celle-ci tous les

points de la courbe, ou pour lui donner la même étendue géométrique qu'à [F], il suffit de faire varier l'angle © de 0 à 180", en construisant, pour chaque valeur de w, tant les valeurs négatives que les valeurs positives de r, et en portant les valeurs négatives du rayon vecteur en sens inverse des valeurs positives, à partir du pôle. En effet, comme sin reste toujours positif dans cette hypothèse, r doit changer de signe avec y en vertu de la seconde équation [w], et l’inversion du signe de y, pour chaque valeur positive ou négative de æx—7cosw, correspond évidemment à une inversion dans le sens du rayon vecteur.

Si l'on fait varier « de 0 à 360°, on pourra ne tenir compte que des valeurs positives du rayon vecteur : tous les changements de signes des coordonnées x et > étant reproduits par les changements de signes de cosw et de sinw, sans que r change de signe. Par la même raison, On pourrait ne tenir compte que des valeurs négatives de 7 tirées de l'équation [F.,].

Il est à remarquer que cette équation, par suite de sa composition en r COS, r'sino, ne peut pas changer si l’on y change simultanément « en 180°Lw, r en —T.

Une équation

f(r, Sinw, cosw)— 0, ii

dont le premier membre est composé rationnellement

des trois quantités 7, Sins, cosw, mais non des deux

produits rsino, r Cosw, et qui par conséquent n'est pas comprise dans la forme [F,], deviendra, par le passage aux coordonnées rectangulaires , ee na VE +. Vi+y

Cette dernière équation, délivrée des radicaux, ren-

trera dans la forme [F]; et en revenant aux coordonnées polaires, on en tirera une équation [F,] dont le premier membre devra admettre pour facteur le premier membre de l'équation | f |. Afin de reconnaître si une équation | / | rentre ou ne rentre pas dans la forme | F,], il convient de remplacer 7° par

di (sin” A) + COS” ) ;