Admettons que, par la décomposition en fac

teurs , l'équation [F,] ait été mise sous la forme Jr, Sins, coso) . fi(r, Sino, coso)...—0 :

s'il arrive que l'un de ces facteurs, f, par exemple, donne pour r des valeurs constamment négatives entre w—=0 et o — 360", il résulte de ce qui vient d’être dit qu'on pourra supprimer ce facteur et abaisser l’équation [F,], pourvu que, dans l'équation abaïssée, on fasse varier de 0 à 360°, en construisant seulement les valeurs positives du rayon vecteur. Plus généralement, si Le facteur 7, donne à r des valeurs constamment de même signe, entre w — 0 et w—360", on pourra le

supprimer, en s'assujeitissant à faire varier w entre les

mêmes limites dans l'équation abaissée, et à ne construire que les valeurs de r affectées du signe contraire.

Par exemple, l'équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes étant en coordonnées rectangu-

laires

ps . 70 == Î 9 elle deviendra, en suite du transport de l’origine au foyer dont l’abscisse est négative,

CELA a + FREE y puis, par le passage aux coordonnées polaires,

rTa—(a—#@) cos o|— 26 Va 6. rcosw—b—0,

et enfin par la décomposition en facteurs,

[r(a— Va —#6,cos0)—P][r(a ty —#.cos 0) #]—0.

Or, le FU rat Va —#.cose) 16, quand on l’égale à zéro, ne donne pour r que des va-

leurs négatives, quel que soit w : en conséquënce l'é-

quation abaissée r(a— Va PF. COS )—b— 0

suffira pour la description de l’ellipse, pourvu qu'on y fasse varier w de 0 à 360".

On pourrait encore abaisser l'équation [F,], si son premier membre se décomposait en deux groupes de

facteurs, et si les deux groupes égalés séparément à zéro, donnaient, pour des ‘valeurs de « différant de 180°, des valeurs de r numériquement égales et opposées de signes. Il serait permis alors de supprimer l’un des groupes, pourvu que dans l'équation abaissée on fit varier w de 0 à 360, en construisant les valeurs négatives aussi bien que les valeurs positives du rayon vecteur.

Prenons pour exemple l'équation de lhyperbole rapportée à son centre et à ses axes

x en, u Bb

et transportons l'origine au foyer dont l'abscisse est négative, ce qui donnera GET) y dora ie Et

En passant aux coordonnées polaires, on aura

r'[a— (+ b)cos | +28. r cosw —b—0 et cette dernière équation pourra se mettre sous la

forme

[r(a— Va +P.coso)+#]r(at Va El.cos o)—b| 0.

Les deux facteurs mis en évidence satisfont à la condition ci-dessus énoncée; en les égalant séparément à

zéro, on en tire :

Va + F.cosw — 4° b?

7 VE FE. cosw—t a

| td dédiées ESS RAP CN ONE ENS TS 7 1 1 ". s . : | r

Lorsqu'on fait varier w de 0 à 360°, en rejetant les valeurs négatives de r, la première équation donne la

l'branche hyperbolique qui tourne sa concavité du

côté du foyer pris pour pôle; la seconde donne la branche concave vers l’autre foyer; mais chacune des deux équations donne les deux branches, si l’on con- : struit les valeurs négatives en même temps que les valeurs positives de r.

Donc, si l’on veut que la définition d’une courbe algébrique par une équation entre coordonnées polaires, cadre quant à l'étendue avec la définition tirée de l'équation entre coordonnées rectangulaires; en d’autres termes, si l’on veut que les branches associées par l’une des équations le soient aussi par l’autre, il faudra donner à l'équation polaire une forme rationnelle et telle qu'elle ne change pas par le changement simultané de w en 180°+-« et de r en —r: auquel cas on pourra indifféremment dans la discussion faire varier de 0 à 180° seulement et construire les valeurs négatives en même temps que les valeurs positives du rayon vecteur, ou faire varier « de 0 à 360° et ne construire que les valeurs de même signe. Ou bien encore on pourra employer les équations rationnelles, abaïssées, qui ne satisfont pas à la condition précitée propre à l'équation complète, qui ne donneraient pas toutes les branches de la courbe, si on les discutait de la manière qui vient d’être dite

pour l'équation complète, mais qui suffiront encore

pour donner toutes les branches, si l’on y fait varier 6 de 0 à 360°, en construisant les valeurs négatives du

rayon vecteur aussi bien que les valeurs positives.

102. Ces conclusions sont précises et ne laissent rien à l'arbitraire, parce que la définition d’une courbe algébrique par son équation entre coordonnées rectangulaires est parfaitement déterminée, et que nous nous proposons un but également déterminé, quand nous voulons faire cadrer quant à l'étendue, avec cette définition de la courbe, sa définition par une équation entre coordonnées polaires. Que s'il s’agit au contraire de courbes transcendantes, dont le mode de description ou la définition géométrique se traduit immédiatement par une équation entre le rayon vecteur et l’arc décrit, comme cela arrive pour toutes les courbes du genre des spirales (85), l'étendue à donner aux variations des coordonnées ne pourra plus être déterminée que par la condition de ne pas introduire dans la description de la courbe des solutions de continuité tenant au choix arbitraire des points de départ : et dans certains cas cette étendue ne pourra être entièrement fixée que par une convention arbitraire.

Considérons, par exemple, la ligne connue sous le nom de spirale de Conon où dArchimède, et dont l'équation, la plus simple qu'on puisse établir entre 7 et w, est