DU

On peut concevoir qu'elle est décrite par un point rm» (Jig. 25), qui se meut avec une vitesse constante sur une droite mobile MN passant par le pôle O, tandis que la droite MN tourne elle-même autour de O avec une vitesse angulaire constante, c'est-à-dire, en décrivant des arcs égaux en temps égaux. Il faut admettre aussi que, quand le point 7 passe par le pôle, la droite mobile MN coïncide avec l'axe polaire OX.

On peut toujours supposer positif le paramètre a qui mesure la longueur que le point 72 parcourt sur la droite MN, tandis que cette droite décrit un angle qui est à deux angles droits dans le rapport du rayon à la demi-circonférence. La constante a étant positive, r deviendra négatif avec ; et il est évident, d’après la loi du mouvement , que les valeurs négatives du rayon vecteur devront être mesurées en sens inverse des valeurs positives. Ainsi, lorsque OM fait avec OX l'angle positif MOX, le rayon vecteur sera mesuré de O en 2; mais auparavant, OM avait fait avec OX l’angle négatif MOX , et alors le point mobile 7» se trouvait en 7», de sorte que le rayon Or! doit être mesuré en sens contraire de OM.

La spirale d'Archimède comprend donc deux systèmes de spires inversement disposés, et qui se raccordent à l’origine : si l’on supprimait un de ces systèmes en arrêtant brusquement la courbe à l’origine, on n'aurait point égard à la loi de continuité dans le mouve-

ment composé d’où résulte la description de la courbe.

‘On nomme spirale hyperbolique ( fig. 26) celle qui a pour équation

a r=— [ce]

Cette courbe décrit une infinité de révolutions autour du pôle dont elle s'approche indéfiniment sans jamais l'atteindre, puisqu'il faudrait donner à « une valeur infinie pour que r s’évanouit. Elle a pour asymptote la droite dont l'équation en coordonnées rectangulaires serait y— «a, en supposant toujours que l'axe polaire se confonde avec le demi-axe des abscisses positives. En effet, l'équation [c] devient dans ce Sys-

tème de coordonnées

ce qui donne y — a, pour w — 0.

Si l'on a égard aux valeurs négatives de w , et que l'on construise les valeurs négatives de 7 qui y correspondent, ainsi que nous l'avons indiqué pour la spirale d'Archimède, la spirale hyperbolique aura deux branches symétriques. Mais comme il existe toujours une solution de continuité entre les deux branches ainsi construites, cette extension donnée à la construction de l'équation | c]reste purement conventionnelle, et ne dérive pas (de même que pour la spirale d’Archimède) de la nécessité de maintenir la continuité du mouve-

ment en vertu duquel la courbe est décrite.

Lt

DE LA MULTIPLICATION ET DE LA DIVISION DES ARCS. — ANALOGIE DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIRCU- LAIRES. — DE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES VA- LEURS IMAGINAIRES.

405. Écrivons de nouveau deux des formules fondamentales données au n° 76 : cos(o—w)=cosocosw'—sinwsmo, | sin(o—-u)=— sinwcosw +coswsino!; | [4] et rappelons-nous que ces formules s'étendent à des valeurs quelconques des angles ou des arcs qui les mesurent; qu'elles subsistent pour des valeurs négatives comme pour des valeurs positives, pour des valeurs plus grandes qu’une circonférence comme pour des valeurs plus petites; et cela, non point en vertu d'une convention arbitraire, mais par une suite de conséquences nécessaires du fait capital et très-simple que, dans le système des coordonnées rectangulaires, l'équation Htax a la propriété de représenter, dans toute l'étendue de son cours indéfini, uné ligne droite passant par l'ori-

gine des coordonnées : fait d’où nous avons vu sortr

toute la géométrie analytique proprement dite, et d'où nous avons tiré jusqu'ici l'explication régulière des concordances et des discordances entre l’algebre et la géométrie, selon le mode d’application de l’une

à l’autre.