Les équations [a] donnent d'abord, pour

NT Va COS 26 COS" w— sin" w —2c0S$ © —1 ,

sin 20 — ?2sin w COS, puis, pour & —%2v,

COS 30 —= COS &w COS 20 — sin © Sin 2w ,

SIN 340 —= Sin © COS 26 cos Sin 20.

On peut remplacer dans ces deux dernières équations cos 20 et sin2w par leurs valeurs tirées des deux formules précédentes , et, si l'on a égard à la relation sin”w +cos o—1, cette substitution donnera COS 30 — 4 COS © — 3CO0Sw , sin 36 — 3 Sin © — 4sin w.

En allant ainsi de proche en proche, on obtiendrait successivement les cosinus et les sinus des arcs quadruple, quintuple, etc., en fonction des cosinus et des sinus de l'arc simple, ou en fonction de l’une seulement de ces deux lignes trigonométriques. Mais on peut rendre le calcul beaucoup plus rapide et arriver de

suite à une formule générale, par un de ces artifices

d'algèébre dont nous avons déjà donné un exemple remarquable (34), et qui consistent dans un emploi transitoire des symboles imaginaires pour arriver à une relation entre des quantités réelles.

Considérons en effet l'expression imaginaire COS © —-ÿ—1 .sino, et multiplions-la aigébriquement par l'expression de même forme cos w V1. sin «’ :

nous aurons (cosw V1 .sinw)(cos V1 .sinu!) — COSw COSw—sino Sinc/+ 4 —1 .(sino cosw/—+cosw sine’), et par conséquent, en vertu des formules [a], (cosw y . sin w)(cosa ty T .sinw) COS (+ a) HET sin (co + a).

Ce résultat devient bien remarquable quand on le rapproche de la propriété qui appartient aux exposants des puissances. D’après la définition des expo-

sants on a en effet, en désignant par a un nombre quelconque,

ad. a — q9+ :

de manière que, si l’on considère 4° comme une fonc-

tion susceptible de varier avec w, 4 étant constant, et

si l'on exprime cette dépendance par

la fonction dont f est le signe ou la caractéristique jouira de la propriété exprimée par l'équation

fe). fo) = fo +). [ f] Mais il en serait encore de même, d'après ce que

l'on vient de voir, si l’on posait

cos © 1 . sinwo—/#{o).

C'est en cela que consiste l’analogie des exposants et des lignes trigonométriques, ou bien l’analogie des fonctions exponentielles et des fonctions circulaires : car, pour les raisons déjà indiquées (76), et notamment pour exprimer la propriété dont jouissent les fonctions

sinw, COSw, tango,

de reprendre périodiquement les mêmes valeurs quand l'arc w (mesuré sur le cercle qui a l'unité pour rayon) augmente successivement d'une, de deux, de trois circonférences, et ainsi de suite, la dénomination de fonctions circulaires est préférable à celle de fonctions trigonométriques.

Par une conséquence immédiate de la relation [ f],

fe) Jo) fe")... = fo +a" +...)

et dès lors, pour toutes les valeurs entières et posi-

tuives du nombre »,

[fc )|" — f(no) à

Donc cos no V1 . sin 20 —(cosw V1 .sinw)". [o] C’est la formule qui porte le nom du géomètre Moivre, et dont on fait un continuel usage en analyse. Après qu'on a développé le second membre de

l'équation précédente, par la formule de Newton, on en tire les deux égalités

12 7 ® a n n—1 . = Sin nw— + COS" 'o Sino [el n(n—1)(n—2)

n—3 ae cos" "wsino-etc., |

où il n’y a plus de trace de symboles imaginaires, et

qui remplissent le but que nous nous étions proposé.

405. Considérons en particulier la première équation [c]. Quand on y substitue pour sin’o sa valeur 1—cos’w, le second membre devient un polynome algébrique du degré » par rapport à la quantité coso ; et par conséquent, si cos o est une quantité inconnue qu'il faille déterminer au moyen de la quantité cosno supposée connue, l'équation en cos s’élèvera au degré n. à

Sans avoir passé par la formule de Moivre, on pouvait affirmer à priori que tel devait être au moins le degré de l'équation. Désignons en effet par # la fraction donnée cosrw, et supposons d'abord que

l'arc considéré n6 soit positif et plus petit que 7 : nous

savons (103) que # est le cosinus, non-seulement de

l'arc now, mais d’une suite d’arcs en nombre infini. no, 27 no, At=Enw, 6r=Envw, etc;

en sorte qu'on peut prendre pour la 2°” partie de l'arc dont # est le cosinus, l’un quelconque des arcs

; TE compris dans la série

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