NOUS

o, +, “Lo, etc.

Mais, parmi ces arcs en nombre infini, il n y en a que » qui aient des cosinus distincts : savoir, si 2 est pair et égal à 2x,

T (i—1)x L o, Ho, Ho, EL, rh,

et si z est impair et égal à 2:+ 1,

9r AT dir

Ainsi, pour ? pair et égal à 27, l'arc 7 — a le même cosinus que l'arc rw; les arcs (à +1 Line 2h se ?

ont les mêmes cosinus que les arcs

Lan

Deep, dont ils ne diffèrent que par Le retranchement d’une circonférence entière; et de même pour tous les au-

tres. Une remarque analogue est applicable au cas de ñ impair.

DES FONCTIONS CIRCULAIRES. 253 Or, s'il y a z arcs DA Mass +00 ) a cosinus distincts

TL: Lo 9 Lys X

dont les multiples

aient le même cosinus #, il faut bien que l'équation algébrique entre la donnée k et le cosinus inconnu x

ième

de la 7° aliquote de l'arc dont # est le cosinus, ad-

mette pour x les valeurs x,, x,,...,, et soit par conséquent au moins du degré n. Ceci est une conséquence nécessaire de ce que les relations algébriques trouvées au n° 76, et en particulier les équations [a] reproduites au n° 4053, subsistent, comme on l’a reconnu, pour des valeurs quelconques des arcs. Mais, a priori, on pourrait supposer que l'équation en x et admet en outre des racines imaginaires, ou des racines réelles et numériquement plus grandes que l'unité , lesquelles par cela seul seraient reconnues pour étrangères à la question, ainsi qu'on le verra tout à l'heure dans un autre cas, ou même des racines étrangères, quoique propres à représenter des cosinus, comme nous avons vu (97 et 98) quil s'en introduit dans la solution trigonométrique des problèmes des n* 45 et suivants. C’est donc seulement à

la. forme particulière des équations [a] et de l'équa-

tion [b] qui s’en déduit, que l’on doit attribuer cette exacte correspondance entre la géométrie et l'algèbre dans la solution du problème qui nous occupe et des

problèmes analogues.

106. Parmi les problèmes de cette famille, dont la discussion offre le plus d'intérêt, il faut citer celui de l’inscription des polygones réguliers dans le cercle. Inscrire dans un cercle le polygone régulier de n côtés, ou diviser la circonférence en 7 parties égales, revient a trouver les sinus et les cosinus de l'arc w dont le

multiple zw est égal à 27. Faisons donc dans la for-

mule [2] i

DA 3 97 pt 0 On A PS COS — nl AIN DE n ? n TV n

l'équation deviendra L"— 1 —0, [1]

et les z racines qu'elle comporte seront données par

la formule Dir —— , Jin L COS — Sin n Ni Mrps no

où il faudra attribuer successivement à z les nr valeurs 0, 1, 2, SE er.

On pourra donc résoudre numériquement l'équation [1] à l’aide des tables de sinus et de cosinus qui sont entre les mains des géomètres; et réciproquement, toutes les fois qu'on saura exprimer algébrique-

ment les racines de l'unité de l'ordre r, ou résoudre

algébriquement l'équation [1], on aura une expression algébrique des lignes cos, sin = et en particulier des lignes cos 27 , Sin 2 ñn n

Donc, si les racines imaginaires de l'unité s’expriment par un système de radicaux du second degré, que l’on puisse construire avec la règle et le compas, . en vertu des théorèmes de Thalés et de Pythagore, on pourra construire avec la règle et le compas le cosinus et le sinus de l’arc qui est la 2°" partie de la circonférence , et par conséquent diviser géométriquement (dans le sens des anciens) la circonférence en n parties égales , ou inscrire dans la circonférence le polygone régulier de n côtés. On voit par là comment ce problème, célèbre dans l'antiquité, se rattache à la théorie des équations algébriques, dont nous connaissons les rapports avec les propriétés des nombres, ainsi qu'avec la théorie des combinaisons et de l'ordre.

Sans même avoir besoin de passer par les calculs précédents, et sans s'appuyer sur la formule de Moivre, on reconnaît la liaison du problème géométrique de l'inscription des polygones réguliers dans le cercle, avec les propriétés de l'ordre périodique indiquées au n° 8. Considérons en effet une suite de points a,

b, c, etc., en nombre n, situés ( fig. 27) sur une circonférence de cercle, et également espacés, de manière que l’arc compris entre deux points consécutifs forme la 2°" partie de la circonférence entière : si l’on va en ligne droite de a en à, puis de ben c, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on soit revenu au point de départ a, on aura décrit un polygone de n côtés, inscrit au cercle, ayant tous ses côtés et tous ses angles égaux, et de plus convexe en tout sens, de manière qu'une droite n'en puisse couper le périmètre en plus de deux points, conformément à l’idée qu’on a coutume de se faire des polygones réguliers, dans l'étude de la géométrie élémentaire. Le même mouvement descriptif pourra se poursuivre indéfiniment : ce qui ramenera les mêmes lettres à, b, c, etc., dans le même ordre, en fournissant le schème ou le type figuratif le plus simple de l'ordre périodique , précédemment conçu comme une idée abstraite et générale, indépendamment de toute configuration dans l’espace. Si maintenant, au lieu de joindre par une corde chaque point a, b, c, etc. au point consécutif, on joint ces points de deux en deux, en allant de a en c, puis de cene, et ainsi de suite, et si le nombre 2 est premier avec A, il résulte des propriétés de l’ordre périodique, indiquées dans le numéro cité , que la construction doit ramener au point de départ a, après qu'on aura successivement atteint tous les points de division,

quoique dans un autre ordre que l’ordre alphabétique

ou primitif. Par là on formera un autre polygone de n côtés, du genre de ceux que M. Poinsot a nommés étoilés, régulier en ce sens qu'il a tous ses côtés et tous ses angles égaux, mais non plus convexe à la manière du polygone régulier ordinaire. Quand le nombre 2? est un diviseur de n, les points à, d, etc. ne peuvent être atteints dans cette construction qui donne alors, non plus un polygone étoilé de n côtés, mais le polygone ordinaire dont le nombre des côtés est 4n. Si l’on joint les points de division de trois en trois, et que 3 ne soit pas un diviseur de », on construira encore un polygone étoilé de n côtés; tandis que si 3 divise 2, on construira le polygone ordinaire dont le nombre de côtés est +2. En général, autant il y aura de nombres premiers avec Z et plus petits que la moitié de x, autant il y aura de polygones étoilés distincts à z côtés.

Le point qui était le premier à partir de a, quand on tournait dans le sens abcd..., devient le (n—1)" si le mouvement de rotation s'opère en sens contraire; le point qui était le second devient le (7—2)", et ainsi des autres. En conséquence , le polygone qu'on trace en Joignant les points a, b, c, etc., de n—1 en x —1, ne diffère pas du polygone ordinaire qu'on a obtenu en joignant ces points dans l’ordre primiüf; le polygone qu'on trace en joignant les points de 7 —2? en 7 —12, vient se superposer à celui qu'on avait obtenu en joignant les points de 2 en 2.

En général, chaque polygone régulier, ordinaire ou étoilé, peut être ainsi donné par deux mouvements révolutifs en sens contraires, ou correspond, pour chaque sens du mouvement révolutif, à deux ordres de succession des sommets, inverses l’un de l’autre.

Mais, quand on joint les points de division a, b, c, etc., d'abord dans l'ordre alphabétique , puis de deux en deux, de trois en trois, etc., on construit successivement les cordes des arcs

Dr 4x 6x LU) , 9 elc. :

n n ñn

ce qui fait voir comment la liaison géométrique des , e e e / °1 /

polygones réguliers, ordinaires et étoilés, correspond

à la liaison algébrique des racines imaginaires de l’u-

nité, et comment cette liaison tient aux propriétés des

nombres et à la théorie de l’ordre périodique ; puis-

qu'il résulte, par exemple, de la discussion précé-

dente, que les racines imaginaires de l'équation FAR 10 doivent se trouver ou ne pas se trouver parmi les racines imaginaires de l'équation XL" — 1 cel, suivant qne le nombre 7, supposé > »!, admet ou n’admet pas #' pour diviseur. C’est dans les ouvrages de MM. Gauss, Poinsot et Chasles qu’il faut suivre

les développements et l'histoire singulière de cette

curieuse théorie.