LI. + Le. . 2° + L + 1 A

et les racines de celle-ci sont données par la formule . a = cos ue Vis —

où il faut attribuer à 7 les 2— 1 valeurs entières, de 4 à x —1 inclusivement. En appelant x la corde de Dir e 9 e , | l'arc —, dans le cercle qui a l'unité pour rayon, ou n le côté du polygone régulier de x côtés, inscrit à ce cercle, on a dir At — COS —)

et d'autre part

%r + ré cost.

Donc, si l’on fait dans l'équation [2], de l'espèce de celles qu'on appelle réciproques,

l'équation résultante en &# donnera pour ses racines w les côtés des différents polygones réguliers de n côtés, et aussi ceux des polygones réguliers dont le nom-

bre de côtés est marqué par l’un des diviseurs du nombre ».

En appliquant ceci au pentagone, nous aurons pour LE 4 » 9 l'équation en w,

ui — +5 —0,

DU e it Vi)

ce qui donne le polygone convexe et le polygone étoilé de la jig. 27 : la présence du double signe s’expliquant par les deux modes de description dont nous avons

d’où

fait mention.

Dans le cas du décagone, après qu'on a débarrassé l'équation [2] de la racine x ——1, l'équation en w# se décompose en deux autres, dont l’une est l’équa-

tion trouvée ci-dessus pour le pentagone, l'autre u— Su + 1 —0

pourrait être résolue à la manière des équations du : second degré, ce qui donnerait à la fois les quatre racines numériquement égales deux à deux et opposées de signes, dont les valeurs numériques mesurent les cordes des deux décagones inscrits, ordinaire et étoilé. Mais elle peut aussi, accidentellement, se décomposer en deux équations du second degré à coefficients rationnels, Hu—A—=0, —u—1—0,

qui ne différent que par le changement de w en —w,

et dont la première se trouve avoir pour racines le

côté du décagone ordinaire pris positivement et celui

du décagone étoilé pris négativement. Cette première équation revient à la proportion

Aiu:iiu:1—u; et par là on démontre , comme par les constructions connues en géométrie élémentaire , que la corde soustendant la dixième partie de la circonférence, est le

plus grand segment du rayon divisé en moyenne et

extrême raison.

4108. Il faudrait remplacer dans toutes ces formules Cu du cercle n’était plus pris pour u par -, si le rayon r du cercle n'é plus pris pour

unité; et les formules ainsi modifiées seraient propres à résoudre un problème inverse, celui où l’on donne la corde x d'un polygone régulier, ordinaire ou étoilé, d'un nombre » de côtés, et où l’on demande le rayon r du cercle dans lequel un tel polygone peut être inscrit. L'équation en 7° séra évidemment de-même degré que l'équation en &#. La multiplicité de ses racines (abstraction faite des signes) a pour raison géométrique la multiplicité des cercles circonscriptibles aux divers polygones réguliers , ordinaires ou étoilés, qui ont leurs côtés de même longueur et en même nombre : quant à l'ambiguïté des signes, elle n’est qu'une conséquence algébrique de la loi de l’homogénéité, qui fait que l'équation en 7 doit nécessairement s'élever au méme degré que sa réciproque en x.

Passons à un problème analogue, dont Newton s est

plu à varier les solutions, dans les préliminaires de la partie géométriqne de son Arithmétique universelle, et dont il n'a pourtant pas complété la discussion , ainsi qu'on en jugera par ce qui va suivre.

Ce problème consiste à demander le rayon r du cercle, tel que les cordes données ( fig. 28)

AB—9a, BC—%, CD—2c

forment une portion de polygone inscrite dans la demicirconférence ABCD, AD étant un diamètre du cercle.

Si l’on désigne par 24, 26, 2y, les arcs AB, BC, CD,

on aura a—rsina, b—rsinf, c—rsin},

et en vertu de la condition du problème,

sin y — cos(x—+f6)— cosa cos — sin à sinG. [d]| On tire de là

enr arte) ab; puis en faisant disparaître le radical et en divisant par r, (LP cr — abc — 0. [d]

Cette équation du troisième degré tombe dans le cas irréductible, car on a toujours

12 Û D 3 (° ee > be :

L'une des racines est positive et les deux autres sont négatives. Pour l'interprétation de ces deux-ci,

dont Newton ne s est pas occupé, il faut considérer

que, sans cesser de prendre les extrémités À et D d’un même diamètre pour point de départ et pour point d'arrivée, dans la description de la portion de polygone inscrit ABCD, on peut assujéttir la somme des arcs sous-tendus par les trois cordes à égaler, non plus une demi-circonférence, mais trois demi-circonférences, ce qui aura lieu en général de deux manicres différentes, indiquées par les fig. 29 et 30. Or, dans ce cas, les équations [| et [d] se trouveront

remplacées par

siny——cos(4+fB)——cos4cosf8—+sinasinf,

D —(& Hbc) r L2abc—0 : [a] les racines de l'équation [d,] étant numériquement égales et opposées de signes à celles de l’équation [d,].

Donc il arrive ici ce que nous avons vu arriver tout à l'heure à propos de l'inscription du décagone régu-

lier. L'équation complète du problème est

o Pr — (a+ ep ee 0, (D) et par la décomposition accidentelle de son premier membre en facteurs rationnels elle donne le système des équations [d, |, [d, |, dans chacune desquelles deux racines de même signe se trouvent associées à une racine de signe contraire. Mais, au point de vue de la géométrie, cette ambiguïté de signes est une superfétation de l'algèbre.

Il y a plus : les racines de l'équation (D), sans ces-

Q s 1° A / ser jamais d'être réelles, peuvent cesser de corres-

pondre à des solutions possibles du problème géométrique mis en équation : ce qui arrive toutes les fois que ces racines sont numériquement plus petites que l'une des demi-cordes a, b, c. Si, par exemple, on prend deux de ces lignes égales à 1, et l’autre égale à 2, l'équation (D) devient

et les valeurs numériques des racines sont r— V3 +1, r—2, r—ÿ3—1;

la première correspond au mode de construction indiqué par la /ig. 28, la seconde au mode indiqué sur la fig. 29; mais la troisième racine qui donnerait un diamètre plus petit que la plus petite corde, ne peut nullement être construite. Ainsi, tandis que dans l'équation qui donne en fonction du rayon 7 la corde w du polygone régulier inscrit, toutes les racines correspondent à autant de solutions géométriques du problème; tandis qu'il en est encore de même pour l'équation inverse qui donne le rayon r en fonction de la corde u, sauf la superfétation provenant de l’ambiguité du signe des racines; dans l'équation (D) au contraire, outre une semblable superfétation, il y a ou il n’y a pas complication de racines étrangères, selon les relations numériques entre les données a, b, c; et certaines solutions du problème géométrique cessent d'être possibles, sans que le passage du pos-

sible à l'impossible se traduise par un passage du réel

à l'imaginaire dans les valeurs des racines. L’impossibilité résulte ici de ce que les inconnues auxiliaires sin, sinf, siny, dont l'élimination a conduit à l'équation finale en x, sont assujetties à avoir leurs valeurs

numériques plus petites que l'unité (88 et 89).

109. Une valeur réelle x, positive ou négative, a son rang déterminé dans la série idéale des valeurs “réelles: et cette série prolongée symétriquement à partir de zéro, tant dans le sens des valeurs négatives que dans le sens des valeurs positives, jusqu'à l'infini : est une série du genre de celles que l’on nomme linéaires, parce qu'on peut en donner une représentation sensible au moyen d'une suite de points disposés sur une ligne indéfiniment prolongée, de part et d’autre d’une origine arbitraire (29 et 32). Au

contraire, une valeur imaginaire

2 +y VAT, prlél composée algébriquement de deux parties qui ne peuvent se confondre par addition ou soustraction, et fonction de deux grandeurs réelles x et y qui peuvent en général varier indépendamment l’une de Fautre, n’a pas de rang déterminé dans une série linéaire, mais bien dans une série du genre de celles que les géomètres appellent à double entrée, comme la table de Pythagore, qui est destinée à donner la foncüuon xy pour chaque système de valeurs entières de x et de y.

Si l’on rapporte à deux axés rectangulaires des x et

des y tous les points d’un plan , à chaque point du plan correspondra un système de valeurs de x et de y, et une valeur déterminée de l'expression [z]. Quand les grandeurs x et y peuvent varier avec une parfaite indépendance entre certaines limites, une portion d'aire plane comprise entre les limites correspondantes est la juste mesure de l'étendue des variations dont la valeur imaginaire est susceptible (60).

Du moment qu’on a reconnu à chaque point du plan la propriété de correspondre à une valeur déterminée de l'expression [:|, et d’en fixer le rang dans la série à double entrée où viennent s’intercaler toutes les valeurs imaginaires, on est amené à faire subir à cette expression une transformation qui revient à passer des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires. Pour cela on pose

le Core TX .

r—= Ya +y, 7 = CO86, ? —= SIN 6 ; et l'expression [7] devient

r(coso—V—1.sme). Le] Le facteur r, ou le rayon vecteur du point (x, y), fac-

teur essentiellement réel et positif, se nomme le "10-

dule. Le facteur imaginaire COS —1 . Sin © À [co | dépend du rapport des quantités x et y, et nullement

de leurs valeurs absolues.

Quand l'angle « se réduit à zéro, les expressions [c|

ou |[#’| acquièrent une valeur réelle positive, qui est représentée par le rayon vecteur r, ou par la distance de l’origine au point (x, y), situé alors sur le demiaxe des abscisses positives; quand l'angle w passe à 180", les expressions {| ou {| acquièrent encore une valeur réelle, mais négative, égale à —r, et qui se trouve encore représentée par la distance de l'origine

“au point (x, y), puisque cette distance, mesurée sur le demi-axe des abscisses négatives doit être prise négativement.

De là une induction bien naturelle, qui consiste à regarder le rayon vecteur du point (x, y) comme représentant, pour toutes les autres valeurs de l'angle », l'expression imaginaire [|] ou l'expression équivalente [:]. De là, en d’autres termes, l'induction qui consiste à considérer toute expression imaginaire comme représentée par un rayon vecteur égal au module, et faisant avec la droite sur laquelle on compte les grandeurs réelles positives, l'angle dont les lignes trigonométriques entrent dans le facteur imaginaire du module.

Cette induction ne suffirait pourtant pas pour justifier la représentation dont il s’agit. On serait encore en droit de n y voir qu’une convention arbitraire, et non une de ces institutions fondées sur des rapports naturels et essentiels, dont nous avons ailleurs cité des exemples (64). Pour que la justification soit com-

plète, il faut et il suffit que l'opération algébrique qui

consiste à multiplier le module r par le facteur imaginaire [|], corresponde exactement à l'opération graphique qui consiste à faire tourner le rayon vecteur r de l'angle w : de façon, par exemple, qu’en répétant ñ fois l'opération algébrique on ait un résultat exactement correspondant à celui de l'opération graphique par lequel on aurait fait tourner 7 fois de suite dans le même sens le rayon vecteur r de l'angle w, ou fait tourner d'un seul coup le rayon vecteur r de l'angle no.

Il faut par conséquent que l’on ait (cosw y —1 . Sin w) —Cos no -y—1 . Sin 26 ,

c'est-à-dire, précisément la relation exprimée par la formule de Moivre.

On devrait voir dans ce tour de raisonnement une manière de démontrer directement la formule de Moivre, sil était permis d'admettre comme axiome que l'expression [z] ou [:'] représente la droite 7, inclinée de l'angle o sur l'axe des x, ou si cette proposition, regardée comme un théorème, avait été démontrée par des raisonnements indépendants de Ja formule de Moivre. Nous n'admetitons, pour notre part, ni que la proposition soit un axiome, ni qu'on l'ait établie par des raisonnements concluants, autres que ceux qui supposent l'usage explicite ou implicite du théorème de Moivre, énoncé généralement ou ramené à des cas particuliers qui contiennent virtuel-

lement l'énoncé général.

S'il y a, en dehors des applications du théorème de Moivre, des cas où semble se justifier le prétendu principe : que le coefficient imagimaire V—1 est le signe de la perpendicularité (ou que l'expression r V1 représente une droite de longueur r, perpendiculaire à celle sur laquelle on mesure les grandeurs réelles), cela tient à une circonstance toute particudière. Supposons qu'on ait entre trois lignes a, b, c, qui remplissent ou peuvent remplir, dans l'équation d’un lieu géométrique, le rôle de paramètre et non celui de coordonnée variable, une relation de la forme

= À — À : [A] cette relation donnera pour le paramètre c une valeur réelle ou imaginaire, suivant qu'on aura & << ou > &. Mais, dans ce dernier cas, une modification de l’énoncé du problème ou de la définition géométrique du lieu, de la nature de celles que Carnot a étudiées avec tant de détail, pourra conduire et devra conduire

/ , \ . ° en général à la relation inverse C—=b0 — à. [2 |

Supposons, en outre, que la ligne a ait avec les axes des x et des y les mêmes relations qu'a la ligne à avec les axes des y et des x : il s'ensuit nécessairement que la ligne c a avec les axes des x et des y, dans le cas de l'équation {4,|, les mêmes relations qu'avec les axes

des yet des x, dans le cas de l'équation [4,]. Le ren-

versement d'hypothèse, qui entraîne le passage de l'équation [4] à l'équation [2,], sera représenté par une permutation opérée entre les axes ou par un mouvement rotatoire de l'amplitude d’un quadrans, imprimé à la figure. Alors il faudra bien que la ligne c, sur la figure correspondant à l'hypothèse [2], soit perpendiculaire à la ligne c considérée sur la figure qui appartient à l'hypothèse [A], et en ce sens il faudra que le coefficient imaginaire V—1 joue le rôle d'un signe de perpendicularité. C'est ainsi que, pour une ellipse dont a et à désignent les deux demi-axes, l'excentricité c, ou la distance du centre au foyer, est mesurée sur le demi-axe a ou sur le demi-axe perpendiculaire b, suivant qu'on a a > b ou b >> a. Mais on ne doit pas faire une règle générale de ce qui arrive à la

faveur de ces conditions particulières *.

* La théorie dans laquelle on fait généralement du coefficient | V—1 le signe algébrique de la perpendicularité, serait en opposition flagrante avec une autre théorie professée par des géomètres d'un haut rang, et dont nous ne pouvons nous dispenser de dire

quelques mots. A cet effet, remarquons que l’on passe de l’équation de lellipse

Lt AU | nn à celle de l’hyperbole x? pÀ FF?

par le changement de 4? en —#, ou de b en by 1. Si donc il ÿ

a des propriétés de lellipse qui ne dépendent pas du demi-axe b,

110. Le système de représentation graphique des valeurs imaginaires , fondé sur le théorème de Moivre, paraît susceptible de s'appliquer utilement à la théorie

des équations algébriques, quoique des essais estima-

ou dont l'expression algébrique ne change point par le changement de b*en — b”, ces propriétés appartiendront également à l’hyperbole; et en ce sens on peut dire que l’hyperbole est une ellipse L2

dont l’un des axes est devenu imaginaire; mais cet axe imaginaire

2bÿ/—1 n’est point du tout une droite perpendiculaire à l'axe 24 de l’ellipse. De même, si l’on considère la corde commune aux

deux cercles 2? y? — R?, (x — a) +) Ÿ— 7°, et qui coupe à angles droits l’axe des x au point dont l’abscisse est

Lo) pu Pre %

on trouve que cette droite, indéfiniment prolongée, jouit d’une foule de propriétés remarquables, et notamment de celle d’être le lieu de tous les points d’où l’on peut mener aux deux cercles des tangentes d’égales longueurs. Or, la valeur précédente de Pabscisse x ne cesse pas d’être réelle, et la propriété qui vient d’être attribuée à la droite [A] ne cesse pas de subsister, lors même que les cercles cessent de se couper, et que les ordonnées des points d’intersection deviennent imaginaires. On peut définir géométriquement la droite [A] par cette propriété qui persiste, même après que les cercles cessent de se couper, et l'appeler avec quelques auteurs l'axe radical des deux cercles; ou bien continuer de prendre pour schème le cas des cercles qui se coupent, appeler toujours la droite À une corde commune, et distinguer le cas où la corde est

réelle, du cas où elle devient imaginaire : mais alors encore le pas-