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bles, tentés dans cette voie, laissent encore beaucoup

à désirer. C’est une propriété de tout signe sensible,

sage du réel à l'imaginaire ne sera nullement représenté en géométrie par le passage d’une direction à la direction perpendiculaire. Il faut consulter sur cette acception du mot imaginaire en géométrie, l Aperçu historique de M. Chasles, pages 198, 206 et 368. I1 est bon de remarquer que les deux théories que nous mettons en regard, dans le texte et dans la note, se limitent, et pour ainsi dire se tempèrent l’une lautre. Car, si les exemples cités ici miltent contre le principe énoncé dans le texte, d’autre part, dire que l’excentricité d’une ellipse passe du réel à l'imaginaire quand l’ellipse tourne d’un quadrans , ce serait énoncer une proposition dénuée de sens, dans le système qui fait l’objet de cette note. L'avantage de ce système ou de cette conception, c’est, comme l’observe M. Chasles, « de considérer la figure sur laquelle on a à démontrer quelque propriété généralé, dans des circonstances de construction où la présence de certains points, de certains plans ou de certaines lignes, qui, dans d’autres circonstances, seraient imaginaires , facilite la démonstration. » Mais l'induction en vertu de laquelle on passe ainsi d’un schème à l’autre, est au fond de même nature que celle par laquelle on passe du réel à l'imaginaire dans la théorie des intégrales définies, ou par laquelle on généralise des résultats démontrés à la faveur de séries convergentes, pour les cas de convergence des séries. Elle aurait besoin d’étre légitimée dans chaque cas particulier, s’il s'agissait de relations géométriques transcendantes ; elle ne vaut que pour l’ordre de questions ressortissant de la géométrie analytique proprement dite, et parce que l’on pourrait démontrer la même chose algébriquement, en établissant une série de calculs algébriques, parallèle à la série des constructions

operées sur la figure, où seulement pensées par l'esprit.

quand il n'est pas créé par un caprice de l'imagination, mais qu'il se trouve au contraire essentiellement adapté | à la nature de l’idée représentée, d’ajouter à la clarté de l’idée, et d'en aider le développement.

On embrouillerait tout si l'on confondait ce système de représentation graphique avec celui qu'a imaginé Descartes pour la représentation d'une équation à deux variables, et si on les employait concurremment. D'abord il y a entre eux cette différence, que l’un s'étend, par la considération des trois dimensions de l'espace, à la construction des équations à trois variables; tandis que rien n'autorise à faire subir à l’autre une extension analogue, puisqu'il n’y a pas deux classes d’imaginaires irréductibles entre elles, comme les imaoinaires sont irréductibles avec les quantités réelles. Dans la géométrie même à deux dimensions , l’incompatibilité des deux systèmes est bien manifeste. Quand on a, pour la représentation d'une courbe, une équation entre deux coordonnées rectangulaires x et y, si une valeur imaginaire de l’ordonnée y correspond à une valeur réelle de l’abscisse x, c'est une preuve d’impossibilité géométrique; et l’on tomberait dans une étrange erreur, si l’on prétendait construire cette valeur imaginaire à la manière indiquée plus haut. Lorsqu'on a, pour la représentation de la courbe, une équation entre coordonnées polaires r et w, liées aux coordonnées rectangulaires par les formules

T—TrCcosSo, Y—=r SIN 6) ,

si une valeur de ne donne à r que des valeurs imaginaires, c’est la marque qu'il n’y a pas de points de la courbe situés sur la droite qui passe par le pôle, et qui fait avec l'axe polaire l’angle w. On serait bien mal fondé à dire, dans ce cas, que les valeurs imaginaires de r indiquent des rayons vecteurs réels, mais inclinés, soit à l'axe polaire, soit à la droite qui fait avec cet axe un angle w.

Cependant on est tombé dans des confusions de ce genre; et pour en donner un exemple, prenons le problème si vulgaire de la division d'une droite en moyenne et extrême raison. Appelons a cette droite dont nous supposerons que l'une des extrémités O est prise pour origine, l’autre extrémité À tombant sur le demi-axe

des x positifs. Le problème a pour équation LH ax — à —0, [A]

dont les deux racines [47 —— L'—= 5 —1—V5),

déterminent deux points 77/, mn" : le premier situé sur la droite OA, entre O et À, et qui résout le problème dans le sens de l'énoncé; le second situé sur le prolongement de OA en arrière du point O, et qui ne convient pas à la lettre de l'énoncé, mais qui satisfait encore à la proportion

OA : On :: On : mA, [K]

dont l'équation [4,] est la traduction, faite dans la supposition que le point 2 tombe entre O et À. Il est clair que si la traduction avait été faite dans l’hypothèse que le point #2 tombe en arrière du point O, l'équation obtenue n'aurait différé de [4,] que par le changement de x en —x, ou par le changement de signe de son second terme.

" Ceci mène à examiner ce que donnerait la traduction de la proportion [K], dans l'hypothèse préconçue que le point »# tombe au delà du point A. L'équation qu on obtient,

L— ax +0, LA,

a ses deux racines imaginaires ATV RDA EE 1 / 3 L = 1 M à ) Y PES (4 NX :

d'où il faut conclure que l'hypothese préconçue implique contradiction. Or, si l’on construit ces valeurs imaginaires , dans le système de représentation graphique qui vient d’être exposé , la construction don-

nera 77/!

, n°, situés, l’un au-dessus de OA, l’autre audessous, formant chacun avec les points O', A, un triangle équilatéral, et par conséquent satisfaisant à la proportion [K], dès qu’on cesse d’assujettir le point » à tomber sur la ligne OA ou sur son prolongement. Mais, dès qu'on admet de pareilles solutions du problème qui a conduit à la proportion [K|, il n y a plus

de raison pour n'en pas admettre une infinité, corres-

pondant à une infinité de points », situés dans le plan xy, sur la courbe algébrique donnée par l'équa-

tion du quatrième degré

y} = éT(a— 2) 4. FA] Quand on fait dans cette équation y=0, elle se décompose dans les deux équations du second degré [/;] et [4]; lorsqu'on y fait x— a, elle donne > —+tay3, ce qui est la double solution des triangles équilatéraux symétriques. Le rapprochement signalé, et qu’on a voulu donner comme une preuve de l'obligation où l’on serait de construire les valeurs imaginaires de la manière indiquée, a été amené par cette circonstance sineulière dont il n'y a aucune conclusion générale à tirer. On pourrait considérer la proportion [K] comme un cas particulier de la relation OA Om 0 — RL n désignant un nombre quelconque. Le lieu, sur le plan xy, des points qui saüsfont à cette relation, est

la courbe donnée par l'équation du quatrième degré

np) aa — 2) y]

Pour y—0, cette équation se décompose en deux équations du second degré dont les racines

(#/ ———— x = (—1+ Vian),

ur are ie 4 EV1—/An),

DE LA REPRÉSENTATION DES IMAGINAIRES. Dri2.

sont toutes quatre réelles, quand on a 7 <<}; en sorte qu'il n’y a plus contradiction, comme tout à l'heure, à supposer que le point #2 tombe sur le prolongement de OA, au delà du point A. Si les deux dernières racines sont au contraire imaginaires, le système de va-

leurs réelles DR 7 = Evan T,

“jouit encore de la propriété d’appartenir à l'un des points des courbes, mais sans qu'il y ait rien à conclure de ce rapprochement fortuit, pour la théorie de la construction des valeurs imaginaires. En définitive, ce système de construction doit être considéré comme un moyen d'appliquer la géométrie à l'algèbre, plutôt que comme un moyen de traiter par l'algèbre des ques-

tons de géométrie *.

* L'idée de la possibilité et de la convenance d’une représentation graphique des valeurs imaginaires (idée juste si on la rattache au théorème de Moivre , mais idée hasardée ou même fausse , si on la fait dériver du prétendu principe que ÿ=—1 est un signe de perpendicularité , en confondant ce système de représentation avec celui de Descartes) s’est reproduite plusieurs fois depuis une quarantaine d'années, dans les écrits de MM. Buez, Argand, Français, Gergonne, Mourey, et plus récemment dans deux ouvrages dignes d'attention : l’un de M. Vallès, intitulé : Études philosophiques sur la science du calcul, Paris, 1841 ; l’autre qui a pour auteur un estimable professeur de notre Université, M. Faure, et pour titre : Essai sur la théorie et l'interprétation des quantités dites imagt-

natres, Paris, 1845.

NOTIONS SUR LES PRINCIPES DU CALCUL INFINITÉSIMAL. — DES PROBLÈMES DE QUADRATURE ET DE CUBATURE. — ORIGINE DU DÉSACCORD ENTRE LA GÉOMÉTRIE ET L AL- GÈBRE DANS LES PROBLÈMES DE CE GENRE.

AA. Pour compléter ce qui nous reste à dire sur la correspondance de la géométrie et de l'algèbre, il nous faudra dorénavant employer la notation et les termes propres à cette branche supérieure de l'analyse, que l’on nomme le calcul différentiel et intégral. Nous serions jeté dans des développements hors de proportion avec les autres parties de cet essai, si nous n’admettions pas que le lecteur est déjà suffisamment familiarisé avec les principes et même avec les applications de cette importante doctrine : nous nous contenterons donc de rappeler très-succinctement quelques principes et quelques applications qui ont immédiatement trait à notre sujet.

Quand deux grandeurs variables sont liées entre elles, il y en a une dont on peut considérer les variations comme arbitraires, indépendantes, et qu’on nomme pour cela variable indépendante, en réservant

le nom de fonction à l'autre grandeur dont les varia-

tions sont censées subordonnées à celles de la variable indépendante. Le plus souvent le choix de la variable indépendante n’est pas arbitraire : il est déterminé par la nature et le rôle des grandeurs dont il s’agit d'étudier les liaisons. Même en géométrie pure, le mode de génération d’une ligne ou d’une surface indique les coordonnées qu'il est convenable et naturel de prendre pour variables indépendantes, et dont le choix facilite la discussion des propriétés de la ligne ou de la surface. Pour la représentation graphique des fonctions, on regarde ordinairement l'abscisse comme la variable indépendante, et l'ordonnée.

comme la fonction qui en dépend.

442. Traçons la courbe MN (fig. 37) dent l’abscisse. et l'ordonnée représentent la variable indépendante et la fonction; puis menons par le point 77 une sécante 72M,, et concevons que le point 72, se rapproche indéfiniment du point "2 : la droite »un, tendra à prendre une direction mt, déterminée pour chaque point » de la courbe, et qui est celle de la tangente à la courbe en ce point. C'est là proprement la définition de la tangente; et celle que l’on donne de la tangente au cercle dans les éléments de géométrie, en disant que la. tangente est la ligne droite qui n’a qu’un point de commun avec la courbe, exprime bien une propriété secondaire dont jouissent les tangentes du cercle, des sec-

tions coniques, et en général les tangentes des lignes qui

n éprouvent pas d'inflexion dans leur courbure, et qui n'ont qu'une branche, mais non la propriété caractéristique des tangentes, quelle que soit la courbe touchée. On énonce la même propriété caractéristique en disant que la tangente trigonométrique de l'angle formé par la tangente rt avec l’axe des x, ou le rapport des droites ts, ms, respectivement parallèles aux axes des y et des x, est la Zimite dont s'approche indéfiniment le rapport de la différence des ordonnées

MP —MpP= MS à la différence des abscisses Op, — Op=—ms,

pour les deux points m,, m de la courbe, quand le point 72, se rapproche indéfiniment du point ». On l'énonce encore en disant que la direction de la tangente rt se confond avec la direction de la sécante mm,, quand la corde "mn, devient infiniment petite. La tangente trigonometrique de l'angle #ms, ou le rapport des droites 4, ms, qui est, pour des valeurs suffisamment petites des variations 71,5, pp,, sensiblement égal au rapport de ces variations, avec lequel il se confond quand les variations deviennent infiniment petites, est la juste mesure, ou, si l'on veut, la juste définition de la rapidité avec laquelle l'ordonnée mp=—=y tend à varier, quand l’abscisse a atteint la valeur Op=—x. Suivant une notation imaginée par Leib-

nitz, on désigne par dx, dy les variations infiniment

DES QUADRATURES ET DES CUBATURES. 281 petites des grandeurs x, y, en sorte que le rapport

des droites ts, ms a pour expression Tee dy

Ce rapport T varie avec la position du point 2 sur la courbe, ou avec la valeur de l’abscisse x. C’est une nouvelle fonction de x, implicitement donnée quand on donne le tracé de la courbe MN, ou la fonction f(x) quereprésente l'ordonnée de cette courbe. Lagrange appelle cette fonction ainsi liée à f(x) la dérivée de f(x), et pour indiquer la liaison ou la dérivation, il la représente par la notation f'(x). La fonction f'(x) a elle-même une dérivée f(x), qui est la dérivée du second ordre par rapport à la fonction primitive f(x); et ainsi de suite. Soit que l’on se propose d'étudier les relations entre les fonctions et leurs dérivées, relations communes à toutes les fonctions continues, algébriques, transcendantes ou empiriques; soit que l’on cherche des méthodes pour calculer la fonction dérivée au moyen de la primitive ou la primitive au moyen de la dérivée, quand l'une ou l’autre comporte une expression algébrique ou transcendante, la doctrine des fonctions dérivées est de la plus haute importance pour le perfecuonnement de la science des grandeurs abstraites, comme pour les progrès de la géométrie et pour l'interprétation des lois qui régissent le monde physique. Aussi Leibnitz a-t-il fait une révolution dans les mathématiques pures et appliquées, en systématisant le calcul

des quantités infiniment petites, en y appliquant un algo-

rithme régulier, et en créant ainsi une méthode uniforme pour aller des fonctions primitives à leurs dérivées, pour revenir des fonctions dérivées à la primitive, eten général pour tenir compte de la loi de continuité dans la variation des grandeurs indépendantes et des fonctions qui en dépendent. Suivant qu'il s’agit de passer des fonctions primitives à leurs dérivées, ou de revenir de celles-ci aux fonctions primitives, le calcul infinitésimal prend le nom de calcul différentiel

ou celui de calcul intégral.

41153. De même que nous avons défini géométriquement le passage de la fonction primitive à sa dérivée, nous pouvons donner une signification géométrique à l'opération inverse par laquelle on va d’une fonction dérivée à sa fonction primitive. Soit en effet MN (8. 32) la courbe qui a pour équation

et proposons-nous d'évaluer l'aire trapézoïdale comprise entre l'axe des abscisses, la courbe MN, et deux ordonnées 7%,p,, mp, dont l’une correspond à l'abscisse déterminée Op,—x,, et l’autre à l'abscisse variable Op—x. Cette aire que nous désignerons par 4, est une fonction de la variable x. Si x augmente et prend la valeur Op, = x,, l'aire w devient 4,, en augmentant du trapèze curviligne #7pp,m,, et l’on a

h—U aire mppi .

Li d PP

en sorte que la dérivée w de la fonction & est la limite vers laquelle converge le rapport du trapèze curviligne #2pp,m, à son côté pp, quand pp, converge indéfiniment vers zéro. Mais l'aire de ce trapèze est comprise entre celles de deux rectangles, l’un qui a pour base pp, et pour hauteur »7p, l’autre qui a pour base pr, et pour hauteur ”,p,; et le rapport des aires de ces deux rectangles, qui est

mp

mp?

converge indéfiniment vers l'unité quand pp, converge indéfiniment vers zéro. Donc aussi le rapport de l'aire d'un de ces rectangles à celle du trapèze intermédiaire converge indéfiniment vers l'unité, et l’on peut écrire

PP PP Donc la fonction w!, ou la dérivée de la fonction w, n'est autre chose que la fonction y.

La condition d’avoir pour dérivée la fonction y ne suffit pas pour déterminer complétement la fonction , puisque cette condition resterait satisfaite, quelque part que füt placée l'ordonnée 7",p,, à partir de laquelle l'aire « est mesurée. En déplaçant cette origine arbitraire des aires, en la rapprochant ou en l'éloignant de l'origine des coordonnées, on ajoute à la fonction w, variable avec x, une quantité constante, positive ou négative. Si donc, il existe une expression

générale des fonctions «, caractérisées par la propriété