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d’avoir pour dérivée la fonction y, cette expression
doit renfermer une constante arbitraire que l'on particularisera en assujettissant la fonction w à devenir nulle pour la valeur particulière x—2;,. En conséquence, on donne fréquemment le nom de quadra-
ture à toute opération par laquelle on détermine une
fonction, en l’assujettissant à la double condition
d'avoir pour dérivée une fonction donnée, et de prendre une valeur numérique déterminée pour une valeur particulière de la variable dont elle dépend. Ce que nous venons d'expliquer, en nous appuyant sur la considération des limites, et en employant un langage approprié à ce tour de raisonnement, s’énonce plus simplement encore quand on a recours à la considération des quantités infiniment petites, et quand on use du langage et des notations imaginées pour le besoin de cette méthode. Alors, en effet, il résulte de la définition de la fonction w, que sa différentielle du (ou l'accroissement infiniment petit qu'elle recoit quand x reçoit l'accroissement infiniment petit dx) est égale à l'aire infiniment petite du rectangle »pp,m,;
mais l'aire de ce rectangle comprise entre
Jdx et (y Ldy)dx,
ne diffère de ydx que d'une quantité infiniment petite du second ordre, c’est-à-dire infiniment petite, et partant négligeable, non-seulement par comparaison
avec les quantités finies, mais encore par comparaison
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avec la quantité infiniment petite du premier ordre ydx. Donc
du= ydx = f(x), où f(x).
Si l’on conçoit la différence x — x, divisée en parties infiniment petites désignées par dx, la fonction w qui est nulle pour x—x,, pourra être considérée comme la somme d’une infinité d'éléments différentiels, égaux à f(x)dx, et dont la valeur infiniment petite change généralement d’un élément à l’autre, lors même que la différentielle dx est censée constante, à cause que le facteur f(x) change pour les valeurs de l'abscisse comprise entre x, et la valeur extrême x que l’on considère. On exprime cette idée
en écrivant
u— |” HART
ou bien
L =—= " ydx. En
Le signe f est l’initiale du mot somme; il indique une somme d'éléments infiniment petits »dx, ou l'?ntégrale de la fonction différentielle dx. Les lettres x,, placées à côté de ce signe, inférieurement et supérieurement, indiquent les valeurs extrêmes de la variable +, entre lesquelles l'intégration ou la somma-
tion des éléments différentiels est censée opérée.
A4. Revenons maintenant aux principes de la me-
. 0 \ , L sure des aires en géométrie. Après qu'on a défmi
l'unité de surface, et pris pour cette unité la surface du carré dont le côté est l'unité de longueur, une construction trop connue pour qu'il soit besoin de la reproduire ici, fournit immédiatement la règle pour mesurer la surface d’un rectangle quelconque. Cette construction que l’on peut déguiser, mais non éluder, ne saurait être remplacée par une pure combinaison logique des principes de géométrie déjà connus, tels que les théorèmes de Thalès et de Pythagore, d'où nous avons vu sortir toute la géométrie analytique proprement dite. Mais en revanche, cette construction une fois faite et la formule [1] établie en conséquence, on a fait la part nécessaire de la synthèse géométrique. Tout le reste est une affaire de logique abstraite ou de calcul. Les constructions particulières auxquelles on a recours dans les éléments de géométrie pour trouver la mesure des aires du triangle, du trapèze, du cercle, pour établir tous les théorèmes concernant la comparaison des aires des figures planes, pourraient être suppléées par des opérations de calcul qui
seraient autant d'applications de la formule [1].
445. Il en est de même pour la cubature des volumes. Après qu'on a défini l'unité de volume et pris pour cette unité le volume du cube dont le côté est l'unité de longueur, une construction analogue à celle qui vient d'être rappelée à propos des aires , et tout
aussi inévitable, fournit la règle pour mesurer le vo-
lume d'un parallélépipède rectangle. Ensuite une formule de calcul intégral, analogue à la formule [1], contient virtuellement toute la théorie des cubatures. Pour trouver cette formule, appelons » le volume limité par le plan des xy, par la surface dont l’ordonnée z est une fonction des coordonnées x et y (susceptibles de varier chacune indépendamment l’une de l’autre), et enfin par la surface cylindrique que décrirait l’ordonnée z en suivant une courbe directrice (80) tracée dans le plan xy. Le volume peut être considéré comme la somme d’une infinité de tranches comprises entre des plans perpendiculaires à l'axe des x : la distance de deux plans parallèles infiniment voisins, ou l'épaisseur infiniment petite de chaque tranche étant égale à la différentielle dx. La tranche à son tour peut être considérée comme la somme d'une infinité de parallélépipèdes rectangles, ayant
pour arêtes l’'ordonnée 3 variable d’un parallélépi-
.pède à l’autre, la différentielle dy qu'il est égale-
ment permis de considérer comme variant où comme ne variant pas d'un parallélépipèpe à l’autre, et enfin la différentielle dx constante pour tous les parallélépipèdes d'une même tranche. Le volume de la tranche
est donc le produit de l'intégrale
dy
par la différentielle dx, c’est-à-dire une fonction dif-
férentielle dont il faut prendre l'intégrale par rapport
VOS 7 NOT ON OR OO OP RNET Te É = de.
à la variable x, pour avoir le volume # qui est la somme d'une infinité de pareilles tranches. C’est ce
qu'on exprime en écrivant
v=NNEdyars [2]
et la fonction contenue dans le second membre de l'équation se nomme une intégrale double. Les limites de la première intégration par rapport à dy doivent être considérées comme des fonctions de la variable x, déterminées en vertu du tracé de la courbe directrice ; les limites de la seconde intégration par rapport à dx sont des valeurs déterminées de x. Pour simplifier, nous omettons d'indiquer les limites au bas et au haut des signes d'intégration.
La formule [2] ainsi établie par des considérations générales, on en peut tirer sans construction nouvelle toutes les règles données dans les éléments pour l'évaluation des volumes des prismes obliques et tronqués, des pyramides et des trois corps ronds.
Sans doute il serait bizarre, dans l’ordre didactique, de recourir au calcul intégral pour carrer le triangle et pour cuber le tétraëdre. Il est tout simple que, dans l’ordre historique des découvertes, on ait carré le triangle et cubé le tétraèdre bien avant que de trouver les règles générales de l'intégration. Néanmoins la quadrature du triangle, la cubature du tétraèdre sont
essentiellement des problèmes de calcul intégral : c’est
dans le calcul intégral qu'il faut chercher la raison des analogies que peuvent présenter les solutions de ces problèmes et des problèmes de même genre. Si l’on peut éluder tout à fait la sommation des éléments infiniment petits dans la quadrature du triangle, et seulement la déguiser dans la cubature du tétraèdre, cela tient à des circonstances géométriques particulières, accidentelles, non susceptibles d'extension d’un cas à l’autre. Par la même raison, c'est aux formules générales qu il faut remonter, pour trouver la clef des concordances ou des discordances que l’on rencontre dans les applications de l'algèbre à des problèmes de géométrie qui relèvent essentiellement de la théorie
des quadratures et des cubatures (78).
