Considérons d'abord ( fig. 33) deux courbes

mumvm……, mulmm.…., qui se coupent en plusieurs points 7x, m', m/, etc., et dont les ordonnées variables sont désignées par les lettres Y, y : la formule [1] donnera pour la mesure de l'aire comprise entre ces courbes et deux ordonnées extrêmes correspondant

aux abscisses x, , x, T F U— (Y— y}dx ,

quantité positive lorsque Y surpasse y dans tout le

cours de l'intégration, et négative au contraire lorsque

y surpasse constamment Y. Ainsi, les aires mumu!,

mm! sont des grandeurs données par le calcul avec

ALES FO TEE ENT ETES PURE OR PANNES TETE RTS Cat Ve PAPE EN TN CERTA ES , Le ‘ F à

des signes contraires : résultat qui n'offre aucun sens géométrique.

La ligne rulmVm"... pouvant être particularisée d’une manière quelconque, il est permis de prendre pour cette ligne l’axe même des abscisses ( fig. 34) : ce qui montre bien que, si le calcul donne des signes contraires aux aires zur, mvm/, etc., selon qu'elles sont situées d'un côté ou de l’autre de l'axe des abscisses OX, cette opposition n'a pas de signification géométrique. Dès lors nous pouvons et nous devons nous attendre à ne plus trouver dans les applications de l'algèbre à des questions de géométrie relevant des quadratures, cette juste corrélation entre la géométrie et l’algebre , telle que nous l'avons observée dans la géométrie analytique proprement dite, ou dans toute la série des faits géométriques qui peuvent se déduire analytiquement des seuls théorèmes de Thalès et de Pythagore. On en a déjà vu des exemples dans ce qui précède (43); nous citerons encore le suivant.

Par le point 1, (PI. I, jig. 35), pris sur la parabole dont l'équation est

J'=P* ; soit proposé de mener une corde mm, à laquelle corresponde un segment dont l'aire ait une valeur donnée À. Si l’on appelle x;, y, les coordonnées du point M, et x, y celles du point cherché "2 que nous suppo-

serons dans la situation indiquée sur la figure, les

aires des trapèzes parabolique et rectiligne m,p,pm auront pour valeurs

+672 — Lo) AE en TX %4 +");

d’où l’on déduit pour l'équation finale en y, après avoir substitué pour x,, x leurs valeurs en y, y, tirées de l’équation de la parabole,

Cr —r)—6p#,

+ 9 e # . V2 ce qui donne l'unique räcine réelle

"UT te VGEPE. [a]

Cependant le problème comporte une autre solution, correspondant à un autre point 7»! situé, non plus en avant, mais en arrière du point ", : et même, selon la valeur de la constante donnée #, le point 7! pourra venir en 72", m'”', ce qui répondra à trois cas géométriquement distincts, quoique donnés tous trois

par la même solution algébrique

J2=n—V6pl, [a] ainsi qu on peut s’en assurer en faisant le calcul pour les trois cas distincts. L'essentiel est de remarquer que les deux solutions [«], [a’] ne sont point algébriquement associées, vu qu'elles différent par le signe d'un radical de degré impair : quoiqu'il y ait a priori autant de motifs de s'attendre à une association algébrique , que dans le problème de l'inscription des po-

lygones réguliers et dans tant d’autres où une liaison

géométrique analogue coïncide avec une association algébrique.

Si nous avions pris, au lieu de la parabole ordi-

naire, la parabole cubique

DE 2 ns les équations [a], [a] auraient été remplacées par les deux équations du quatrième degré

Or) +0 —-r)= ph, [A] or) +0) = — APR [A] L'équation [A] donne toujours pour la différence Y— 7, deux valeurs réelles, l’une positive, l’autre négative : la première convient au problème, mais la seconde y est étrangère; car c’est l'équation [A'] et non l'équation [A] qu'il faut employer lorsqu'on veut tenir compte dans ce problème, comme dans le précédent, des solutions telles que 7#p', correspondant à des points 72! pris en arrière de »1,. Par une raison semblable, l'équation [A] fournit au moins une racine étrangère, et même elle ne fournira que des racines

L x 9 L étrangeres , si l'on donne

/° D: Vo ;

Si l’on tenait compte de la branche de la parabole cubique, pour laquelle les coordonnées x et y deviennent négatives, en continuant d’ailleurs de prendre le point (x,, 7) sur la branche dont les coordon-

nées sont positives, le problème, convenablement

modifié dans son énoncé, pourrait admettre encore d’autres solutions, mais qui ne seraient données, ni par l'équation [A], ni par l'équation [A].

447. Quand on considère deux surfaces, ayant respectivement Z et z pour ordonnées perpendiculaires au plan xy, le volume compris entre ces deux surfaces et la surface cylindrique dont la directrice est une courbe arbitrairement tracée dans le plan xy, a pour expression , d'après la formule [2],

v—= f f(Z— z)dydz ;

et les expressions algébriques de deux portions de ce volume pourraient prendre des signes contraires par suite du changement de signe de Z — z; leur somme pourrait s évanouir ; sans qu il y eût de sens géométrique attaché à ce changement de signe ou à cet évanouissement. Nous n'aurions qu'à reproduire ici des remarques analogues à celles qui précèdent.

La cubature des solides de révolution se raméne immédiatement aux quadratures ou à l'intégration des fonctions différentielles d’une seule variable. Prenons l'axe de révolution pour celui des x, et soient y l’ordonnée de la courbe méridienne, » le volume de ia tranche comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe de révolution, ayant respectivement pour abscisses, l’un la constante x,, l’autre la variable x : si ces plans étaient à une distance infiniment petite l’un

de l’autre , ils délimiteraient une tranche que Fon

pourrait considérer comme un cylindre à base circulaire, et qui aurait pour volume

HE TT UE, d’où

PT Î : J'dx. [3]

Or, de cette formule naît un désaccord entre la géométrie et l'algèbre, encore plus frappant que ceux qui ont été plus haut signalés, puisque la fonction y’, et par suite l'expression du volume » peuvent rester réelles, quoique l'ordonnée y prenne une valeur imaginaire, ou quoique la courbe méridienne et la surface de révolution engendrée ne s'étendent pas dans la portion de l’espace comprise entre les plans dont les abscisses sont x, et x. IL est aisé de multiplier les exemples particuliers où le désaccord entre la géométrie et l'algèbre s’observe en conséquence de ce désaccord fondamental.

418. Étant donnée une sphère du rayon r, et dont le centre O { fig. 36) est à l’origine des coordonnées, on demande de déterminer sur l’axe OX un point P, tel que le plan MPN, perpendiculaire à OX, retranche de la sphère un segment MPNR, dont le volume soit à celui du cône qui a pour sommet le centre O et pour base celle du segment, dans le rapport de 4 : ».

Désignons par x l'abscisse OP supposée positive :

DES QUADRATURES ET DES CUBATURES. 299 nous aurons pour l'expression du volume du cône Enr (rx), Lo] et pour celle du volume du segment sphérique

gere) a): (el

de sorte que l'équation du problème est

aa) nor +a)(r— 2),

ou bien, après la suppression de la racme x—7,

a(r x) =n(2r +x)(r— x), [d] équation qui a toujours deux racines réelles : l’une étant positive et plus petite que 7, l’autre étant négative et numériquement supérieure à 7. Quand OR: prend z—1, l'équation se réduit à

L'—I(T—Z), et la ligne cherchée OP se confond avec le plus grand segment du rayon OR, divisé en moyenne et extrême raison.

La racine négative, qui donnerait un point situé hors de la sphère, est étrangère au problème géométrique mis en équation.

Si l'on considère le solide de révolution qu’ensendre, en tournant autour de l'axe des x, l'hyperbole équilatère qui a pour sommets les points R, R',. et pour équation ;