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l'expression |c| sera aussi, pour des valeurs de # pæ-

sitives et plus grandes que r, celle du segment hyperbolique mpnR, limité par le plan »pn, mené perpendiculairement à l’axe de révolution, à une distance x de l’origine. Le volume du cône dont le sommet est au point O, et qui a pour base celle du segment, se trouvera exprimé par Lra(a—1?) : [2]

en sorte que, si l’on veut déterminer x par la condition que le volume du segment hyperbolique soit à celui du cône dans le rapport de 1 : », il faudra écrire l'équation

Ad —r)=n?r+x)\x—r), laquelle devient, après la suppression de la racine DO.

a(r+x)=n(?r+x)(x —r). [d'] Celle-ci a ses deux racines distinctes des racines de l'équation [d'], et il n’y en a non plus qu’une qui saüisfasse au nouvel énoncé géométrique.

Pour des valeurs de x plus grandes que 1, l’une des racines est positive, et c'est la seule qui convienne; l’autre est négative. Pour des valeurs de plus petites que #, les deux racines deviennent négatives, et toutes deux sont étrangères à la question géométrique dont l'énoncé implique alors une absurdité, sans que cette absurdité se manifeste dans la va-

4 e « . , , E leur algébrique des racines par la présence des signes d'imaginarité.

DES QUADRATUREFS ET DES CUBATURES. 297

419. Donnons-nous maintenant pour problème de déterminer l’abscisse OP, de manière que le volume du segment sphérique MPNR soit à celui de l’autre portion de la sphère dans le rapport de 1:77. L’expression du volume du grand segment est

nr —x)(r x); [e] en sorte qu'elle ne diffère de celle du petit segment que par le changement de x en —x. L'équation du

problème deviendra donc

(Qr—x)\(r+x)=n(2r+x)(r—x), ou bien

L— 3r PAR 0; Le]

équation qui tombe dans le cas irréductible et qui a ses trois racines réelles. Quand on suppose nr > 1, l’une des racines est positive et plus petite que r; une autre racine est aussi positive et plus grande que r ; la troisième est négative et numériquement égale à la somme des deux autres, par conséquent numériquement plus grande que r.

La première racine est la seule qui convienne à la question : mais, si l’on se propose de couper l'hyperboloïde de révolution, dont il s’agissait tout à l'heure, par un plan »2n perpendiculaire à l’axe des x, de manière que le volume du segment hyperbolique soit au volume de la sphère de rayon r, dans le rapport de A:n+1, comme l'expression [c| convient au volume

du segment hyperbolique pour les valeurs de x posi-

tives et plus grandes que r, on tombera encore sur l'équation [el]; et par conséquent celle des trois racines de cette équation, qui est positive et plus grande que r, résout le problème géométrique énoncé en dernier lieu.

Enfin, si l’on propose de couper l’hyperboloide par un plan »/p'n', situé du côté des x négatifs, de manière que le volume du segment hyperbolique soit à celui de la sphère du rayon 7, dans le rapport de n':nb+1, comme l'expression [c'] convient au volume du secteur hyperbolique, pour les valeurs de x négatives et numériquement plus grandes que r, on tombera une troisième fois sur l'équation [e] : de sorte que celle des trois racines de cette équation, qui se trouve négative et numériquement supérieure à 7, conviendra au nouvel énoncé géométrique.

Par suite, on peut dire que l’une des racines de ‘équation [e]| résout le problème de partager la sphère en deux segments dont les volumes soient entre eux dans le rapport de 4 : 7; tandis que les deux autres racines, accouplées, résolvent le problème qui consiste à couper les deux nappes de l'hyperboloide, de facon que les volumes des deux segments soient entre eux dans le rapport de 1 : 7, leur somme étant égale au volume de la sphère qui a pour diamètre la distance des deux sommets de l'hyperboloïde.

Bien entendu que, pour la sphère et l’hyperboloiïde,

dans ces problèmes comme dans ceux du numéro pré-

US

cédent, on peut placer en regard de chaque solution une solution symétrique de l’autre côté de l’origine : solution symétrique que l'algèbre ne donne pas ici, bien qu’elle la donne dans tant d’autres cas où on ne la demande pas davantage , par exemple dans le cas de l'inscription des polygones réguliers (107).

Le problème de partager une sphère en deux segments dont les volumes aient entre eux un rapport donné, est l’un de ceux que s’est proposés Archimède dans son Traité de la Sphère et du Cylindre, Liv. U, prop. 5. Archimède en promet la solution qu'il ne complète pas, et qu'il n'a pu compléter, si, comme M. Poinsot le suppose avec vraisemblance dans une note sur l'édition française de Peyrard, il a cherché à résoudre graphiquement, par la règle et le compas, un problème qui relève algébriquement d’une équation du troisième degré, et qui dès lors rentre dans la catégorie de ceux que les anciens qualifiaient de solides (TA , note), parce que leur construction exige le tracé de l’une ou de quelques-unes des courbes que l'on obtient en coupant un cône par un plan, à moins qu on ne préfère employer des courbes d'un genre plus élevé. D'après le commentaire d’Eutocius, la solution entamée par Archimède parait n’avoir été achevée que six siècles plus tard par Dioclès, le même à qui l'on doit l'invention de la cissoïde *.

* Moniucla, part. I, iv. V. M. Chasles, Aperçu historique, p. 48.

300 CHAPITRE XIIL.

Après avoir donné le premier, dans la note citée, l'élégante interprétation des trois racines de l’équation [e], telle que nous venons de la rapporter, M. Poinsot ajoute : « Ainsi la liaison intime de l'hyperbole équilatère au cercle, fait qu'on ne peut résoudre le problème proposé dans la sphère, sans le résoudre en même temps dans l'hyperboloide de révolution. » Nous citons ces paroles du célèbre auteur pour prévenir la méprise où l’on tomberait, si on les entendait en ce sens que la liaison de l'hyperbole au cercle est ce qui élève forcément le degré de l'équation ; ce qui amène nécessairement dans l’équation du problème deux racines étrangères, algébriquement associées à celle qui résout le problème proposé dans la sphère; ce qui rend philosophiquement raison de cette association de racines : car nous venons de voir, à propos des problèmes du numéro précédent, des racines étrangères dont la liaison de l'hyperbole au cercle n’explique point la présence. Mais, le degré de l’équation et le nombre des racines étransères étant déterminés pour chaque problème par des circonstances algébriques particulières, sans qu'il y ait en général de correspondance exacte entre la géométrie et l'algèbre dans cet ordre de questions, pour des causes que nous avons indiquées, la liaison de l'hyperbole au cercle fait qu'on peut, dans ce cas particulier, interpréter au moyen de la section de l'hy-

perboloïde, les deux racines étrangères au problème

.shéiitihé ’ |

de la section de la sphère. Il y a quelque subtilité peut-être à distinguer ces deux enchaînements d'idées: mais c’est en cela que nous paraît consister la justesse de la conception philosophique, que nous donnons pour ce qu'elle vaut, et dont nous n'entendons nulle-

ment exagérer l'importance d

* En dernier lieu, M. Poinsot fait remarquer que, si l’on remplace dans l'énoncé du problème la sphère de rayon r, par l’ellip-

soïde de révolution

on tombe encore sur l’équation [e] dans laquelle n’entre pas'le paramètre 4°, qu’il suffirait de supposer négatif pour passer de l’ellipsoïde à l’'hyperboloïde. On se tromperait cependant, si l’on croyait trouver dans cet exemple une application du principe énoncé dans la note sur le‘ n° 409. Pour rentrer dans l'application de ce principe, il faudrait que la même racine de léquation [e] convint au problème sur lellipsoïde et au problème sur lhyperboloïde : tandis qu'ici, Pune des racines convenant au problème sur l'ellipsoide, le système des deux autres résout, pour lhyperboloide, un problème, non pas analogue dans la stricte acception du mot, mais foncièrement distinct. D'ailleurs, comme nous l’avons déjà mdiqué, en nous réservant de l'expliquer plus au long dans nos deux derniers chapitres, l'usage de ce principe cesse d’être 1égitime, lorsqu'il s’agit de problèmes qui dépendent essentiellement d’intégrales ou de fonctions transcendantes, et qui ne conduisent qu’accidentellement à des équations algébriques, dans les cas parti-

culiers où les intégrales peuvent s’obtenir algébriquement.

DE LA RECTIFICATION DES COURBES ET DE LA QUADRATURE DES SURFACES DE RÉVOLUTION. — DE LA DÉTERMINATION DES LIEUX DES CENTRES DE GRAVITÉ.

120. Désignons par s la longueur de l'arc d’une courbe plane dont x et y sont les coordonnées rectanoulaires, la mesure étant prise du point dont l’abscisse est x, au point dont l'abscisse est x; et désignons aussi par y —/f"(x) la dérivée de la fonction y— f(x): nous aurons, par une application immédiate du théorème de Pythagore et des principes du calcul infini-

tésimal, s= | à V1 + °°. dx. [1]

Cette formule tomberait en défaut, comme la formule [3] du n° 447, si y, et par suite y’, devenaient imaginaires pour des valeurs de x comprises entre les

limites de l'intégration, et que cependant le radical

MER restàt réel. Ce radical doit en général être pris avec le

même signe dans toute l'étendue de l’intégration, afin

que, si la valeur de l'arc est positive quand il se ter-