DES RECTIFICATIONS

mine à des points situés au delà de celui qu’on prend pour origine des arcs, elle devienne négative quand l'arc se termine à des points situés en decà de l’origine, ou réciproquement. En conséquence, lorsque l'intégrale pourra s’obtenir sous forme finie, le radical R qui se retrouvera nécessairement dans l'intégrale (à moins que la quantité sous le signe ne se trouve être accidentellement un carré parfait), ne devra pas y être censé affecté du double signe; au contraire, les radicaux pairs qui pourraient se trouver dans y”, et qui proviendraient de la multiplicité des branches de la courbe, devraient être affectés du double signe dans l'intégrale, afin que l'expression de l'arc de la courbe eût toute la généralité qu’elle comporte, et pour qu'elle s appliquât, non-seulement à une branche de la courbe, mais à toutes les autres.

Remarquons maintenant que, si la courbe avait deux branches symétriques par rapport à une droite parallèle à l'axe des x, y' aurait bien deux valeurs numériquement égales et opposées de signes, mais que le carré y"? n'aurait plus qu'une seule valeur. Dans ce cas, si les deux branches se raccordaient en un point 77, (fig. 31) pris pour origine des arcs, il faudrait affecter du double signe le radical R, afin qu'à une même abscisse Op — x pussent correspondre deux arcs nn, mm, l'un positif, l’autre négatif.

Si, au contraire, les deux branches qui se raccor-

dent au point 7», (fig. 38), n'étaient pas symétriques