DES SURFACES COURBES

On pourrait attribuer à x des valeurs plus grandes

que a et plus petites que ©, sans que l'expression de w

cessät d’être réelle, mais alors cette expression perdrait sa signification géométrique. Comme il y a une infinité d’arcs qui correspondent à un même sinus, la grandeur w semblerait comporter une infinité de valeurs distinctes, pour une même valeur de x; mais il n yen a qu'une seule qui convienne à la question géométrique : au contraire de ce qui arrive dans la discussion du problème de l'inscription des polygones réguliers, où il faut tenir compte de toutes les valeurs des arcs.

Supposons en second lieu a << b, ce qui correspond au cas de l’ellipsoide aplati, et désignons toujours par

c l’excentricité de l'ellipse génératrice : nous aurons

ani] 24/14 VE + og (ei |

expression qui reste réelle pour des valeurs quelcon-

ques de x.

123. On sait que les centres de gravité des lignes, des aires et des volumes peuvent se définir par la pure géométrie, sans mélange d’idées empruntées à la connaissance expérimentale du monde matériel, et se déterminer par des formules de calcul intégral, analogues à celles qui résolvent les problèmes de quadrature,

de cubature et de rectification : c’est dans la théorie

des centres de gravité envisagée de ce point de vue, que nous prendrons nos derniers exemples de lieux géométriques , à l'effet d'en comparer l'étendue avec celle des équations qui les expriment.

Sur le cercle (PL. III, fig. 39) qui a pour centre le point O et pour rayon la ligne Om, égale à l'unité de longueur, prenons à partir du point 7, un arc mmn—= 20, et tirons-en la corde : le centre de gravité de l'arc m,ym se trouve sur la droite Ou. bissectrice de

l'arc, à une distance 7, de O, donnée par la formule

___Sin o .

rss ; [A

le centre de gravité du segment correspondant se

trouve sur la même bissectrice, à une distance de O exprimée par

ER DRE SIN v)

Late 26 — sin 20 [é,]

En outre, si l’on imagine une sphère dont le centre tombe en O, et dont la section par le plan de la figure soit le cercle déjà décrit, la corde #7 pourra être regardée comme l'intersection du plan de la figure avec un plan perpendiculaire qui retranche de la surface de la sphère une calotte sphérique, et de son volume un segment sphérique. Les centres de gravité de la calotte et du segment se trouveront encore dans le plan de la figure, sur la bissectrice Ou.. Le centre de gravité de la calotte sphérique tombe sur le milieu

de la flèche de l'arc rm : sa distance au point O a

ta.

ds. rt

conséquemment pour expression

r,=4 (14 cos0); [A quant au centre de gravité du segment sphérique, sa distance au point O est

1 +2 cosw + cos’w b MCE [2]

étre

Si donc l’on fait varier l'arc mym de O0 à 27, ou l'arc w de 0 à x, les équations [2], [4], etc. seront les équations en coordonnées polaires de lignes telles que MUO, qu'il faudra considérer comme les lieux des centres de gravité 1: qui correspondent à chaque valeur particulière de l’arc w. Les deux premières appartiennent à des courbes transcendantes, formées d’un nombre infini de spires ( fig. 40), qui viennent passer par le pôle à chaque révolution du rayon vecteur; les deux dernières équations appartiennent à des courbes algébriques ( fig. 41). Pour les unes et les autres il n’y a que la portion tracée en plein qui réponde à la définition géométrique. À la vérité l'on peut admettre qu'après que le point mobile partant de m, a décrit le tour entier du cercle, il continue de décrire une seconde, une troisième circonférence , et ainsi de suite : en sorte que, lorsqu'il décrirait par exemple la seconde circonférence et qu’il se trouverait ramené en mn fig. 39), il y aurait un point p', où tomberait le centre de gravité du système composé d'une circonfé-

rence entiere et de l’arc mm, ou bien le centre de 0 9

gravité du système composé du cercle entier et du segment dont la corde est »,m; et effectivement les spires ponctuées de la fig. 40 (où nous avons indiqué la construction de la courbe pour toutes les valeurs de l’arc, tant négatives que positives ) correspondraient à une telle extension de la définition géométrique. Mais cette extension de la définition primitive est tout aussi permise à l'égard de la calotte et du segment sphériques qu à l'égard du segment circulaire; et pourtant les courbes algébriques, dont la fig. 41 offre le type, n'ont plus les spires en nombre infini que requerrait une telle extension, quoiqu'elles aient toujours une partie étrangère à l'énoncé primitif, indiquée en ligne ponctuée , et correspondant à des valeurs négatives de l'arc w, comprises entre 0 et —=x, ou bien à des valeurs positives comprises entre x et 27. En conséquence, soit qu'on restreigne ou qu'on étende la définition du lieu, comme il n'y a pas de raison géométrique pour l'étendre dans deux cas et la restreindre dans les deux autres, le désaccord consiste en ce qu’on a toujours deux équations sur quatre, qui ne cadrent

pas avec la définition ainsi restreinte ou étendue.

A24. Étant donné le cercle de rayon 7, dont le centre est en C ( /ig. 42) sur l’axe des abscisses OX, menons par l'origine la sécante Ornn qui fait avec cet axe l’angle w; désignons par £, » les coordonnées en

x et y du centre de gravité 4 de l'arc tn — 2ro; par

a a distance OC supposée plus grande que r; parr,

la distance Cu : nous aurons :

ri É—a—r,sMw—a—— . cos 4 (4 À r? SIN COS< RUE

Ce hs le NES FCOS Gr" 1—":. cos o

__rsiny bis à FAR 1 mm COS ?:

Concevons que la droite Omnn, en partant de la position Of où elle touche le cercle, tourne jusqu'à ce qu'elle vienne toucher la circonférence dans la position symétrique Of! : l'arc ® variera de 0 à x, et le point & occupera une suite de positions dont le lieu est une ligne #4C terminée aux points f, C. Mais la ligne déterminée par le système des équations [ec] a plus d'extension. A la vérité elle ne sort pas de l’intérieur du cercle, tant que les variables ©, coso, sino conservent leur sens géométrique : bien qu'on puisse admettre, par d’autres considérations, qu'elle se raccorde avec une autre courbe transcendante, située hors du cercle, ainsi que nous l’expliquerons dans le chapitre suivant. En effet, l’on tire des équations [c]

ne (a— ni = . re

et le coefficient de 7°, dans le second membre de cette dernière équation, est toujours < 1, excepté pour

9 — 0, ce qui donne le point f situé sur la circonfé-

rence du cercle. D'ailleurs, les équations [c] ne changeant pas par le changement de © en — ©, il est inutile de donner à © des valeurs négatives. Mais on peut faire croître indéfiniment les valeurs positives de ©, au delà de x, ce qui donnera une courbe ( fig. 43), laquelle décrit autour du centre du cercle une suite infinie de nœuds simulant la forme du chiffre 8, et qui vont en s étreignant de plus en plus. Si l’on construisait les valeurs négatives du radical, dans l'équation en », on aurait une courbe symétrique par rapport à l'axe des x.

Imaginons à présent que Onn ( fig. 42) soit la trace d'un plan perpendiculaire à celui des xy, et que soit le centre de gravité de la calotte sphérique dont le centre est en C, qui a pour rayon r et pour base le petit cercle dont 7nn est le diamètre. Pendant que la trace du plan sécant Omnn va de Of en Of, le point décrit une courbe 41C ( jig. 44) dont l'équation en ë, n résulte de l'élimination de la variable + entre les

équations

# É—a—3%. (+ cos) coso, n= +r (1 + cos pA/1—hcoste.

Cette équation résultante est algébrique, à cause que

la variable o n'entre dans les équations précédentes que par son cosinus. La courbe qui est le lieu de l'équation résultante ne peut donc, ni s'arrêter brus-

quement au point £ [70], ni former, comme la pré-

cédente, une infinité de nœuds autour du point C. D'ailleurs, à cause de la périodicité de la fonction cos, il ne servirait de rien de faire varier © au delà des limites 0 et x; mais il faut remarquer qu'après qu'on aura éliminé coso entre les équations [4], il ne restera plus de trace de la signification géométrique de cette fonction dans l'équation résultante en €, »; que, par conséquent, si l’on attribue à coso des valeurs tombant hors des limites —1 et +1, et qui néanmoins donnent à Ë, n des valeurs réelles, les points correspondants appartiendront au lieu alsébrique, tout aussi bien que ceux qui correspondent à des valeurs de cos®o comprises, entre — 1 et 1. Seulement ces points de la courbe seront complétement étrangers à la définition géométrique de la courbe #4C; et il n'y aura pas d'extension, pourvue d’un sens géométrique , qui puisse les y rattacher.

On tire des équations [d|

(a — EŸ + r — LL LE ve fée

et le coefficient de r°, dans cette dernière équation, reste plus pétit que l'unité, mais seulement pour les valeurs de coso comprises entre —1 et +1. Or, lorsqu'on dépouille la variable auxiliaire cos de sa signification géométrique, la seconde équation [d] as-

sujettit seulement cette variable auxiliaire à rester nu-

rte : (1 meriquement plus petite que >; et nous supposons,