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qui auraient respectivement pour équations algébriques
nr Re 4 LU?
JR JE Jan), JT),
Les points N, M' ont pour abscisse commune OP—7T; mais l'équation en y, quand on y fait x—7, ne donne pour la valeur de y, ni l'ordonnée PN, ni l'ordonnée PM, égale et de signe contraire. On tire de cette équation y—0, c'est-à-dire une valeur de y égale à la demi-somme des ordonnées PN, PM’. La même chose arrive quand on prend pour + un multiple positif ou négatif de 7.
456. Parmi les fonctions dont le mode de définition transcendante se rapporte au chef de l'intégra-
tion, nous citerons d’abord celles qui sont de la
forme 7= ff, sd. ñ
Pour concevoir ce que signifie arithmétiquement une telle expression, il faut supposer que l'intervalle d— 4, à été partagé d’abord en un très-grand nombre x de parties représentées par Ax : la valeur de la somme
LC, L'ERrI ot Aa) f(x < a+ 2Ax) + se fe, at (r—4 Jane
converge, pour des valeurs de plus en plus grandes du nombre #7, ou pour des valeurs de plus en plus petites de Az, vers une certaine limite déterminée, variable avec x, et qui est la fonction y que nous entendons définir. Afin de montrer qu'une fonction ainsi définie transcendentalement peut admettre des solutions de continuité, il n'y a qu'à prendre un cas où la fonction f(x, «), supposée algébrique, soit la dérivée par rapport à « d'une autre fonction algébrique F(x, &); en sorte que, sans avoir besoin d'effectuer le calcul d’approximation indiqué tout à l'heure, on tire de ‘équation [:|, en vertu du principe fondamental du calcul intégral,
Ex, a)—F(x, NE
et à faire voir que dans ce cas même les solutions de continuité peuvent s'introduire.
Considérons donc la fonction
EP sin ada Nr % V1—2x cosa + a cos a + x?
= à [V1 —Qrcosa, a — V1 —Ixcosa, x]
quand on Ron pour limites 4, —0, &,—7%, il vient NOT);
et comme, en vertu de la définition arithmétique ou transcendante, chacun des radicaux ne doit pas cesser d'être une quantité positive, cette équation donne pour y trois valeurs distinctes
2 2 Vos JE JI=— 3:
suivant que la valeur de x est positive et plus grande que À, ou comprise entre H1 et —1, ou négative et numériquement supérieure à 4. En conséquence l'équation sin «dx nt Être V1—92xcosaLx°
a pour lieu le système de deux ares d’hyperboles équilatères, et d’une portion de droite parallèle à l'axe
des x.
457. Dans l'intégrale qui forme le second membre de l'équation [:|, les limites de l'intégration étaient
censées constantes, et la quantité x, dont la variation
entraine celle de la valeur de l'intégrale, entrait comme paramètre dans la composition de la fonction différentielle. Mais on considère plus souvent encore des. intégrales telles que
= [* fo)da, D
dont la valeur varie, à cause que la limite supérieure de l'intégrale est une quantité variable x. Si l’on admet que f(x) soit la dérivée d’une autre fonction F(a) déjà définie indépendamment du procédé de l'intération, On aura toujours, en vertu du principe fondamental du calcul intégral ,
JE) Fr); [3] mais cette seconde définition qui cadre en général avec la précédente, peut subsister pour des valeurs de x, et de x, à l'égard desquelles la première définition devient illusoire. En effet, de même que la définition transcendante par le moyen d'une série d’un nombre infini de termes, tombe en défaut et n’a plus aucun sens quand la série cesse d’être convergente, ainsi la définition par le moyen d’une sommation d'éléments différentiels ou infiniment petits devient illusoire , cesse d'indiquer le résultat d’un calcul arithmétiquement possible, quand l’un des éléments différentiels prend une valeur infinie ou indéterminée.
Soit, par exemple,
" ten 1 Ja) (a —a } ?
DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 345 et supposons que la valeur de la constante & tombe
entre x, et x : les équations | ; | et [J] deviendront
nt RM = dau) À ais 1
LU nr ?
et la seconde équation donne à y une valeur négative, tandis que, d’après la première, y serait formé d'une somme d'éléments constamment posiufs. Cette contradiction montre que la première définition tombe en défaut; et en effet l'élément différentiel -
de
Cl) qui reste infiniment petit tant que « diffère de a d'une quantité finie, devient au contraire infiniment grand quand « ne diffère de & que d’une quantité infiniment petite : ce qui doit arriver dans le cours de l'intégration, d'après la supposition que la constante a tombe entre les limites de l'intégrale.
Au lieu de l'équation ! 7 | l'on peut écrire
SE J'=f (x); en y joignant la condition que la fonction y devienne nulle pour x=—x,. Ainsi, quand on désigne par y le logarithme népérien de x, on peut considérer la fonc-
tion y comme définie par l'équation transcendante
æ da Re LES, (4 1 a
ou bien encore comme définie par l'équation différentielle
mais à laquelle il faut joindre la condition que y s’évanouisse pour æ—1. Si y désignait, non plus le logarithme népérien de x, mais le logarithme pris dans le système dont la base est un nombre quelconque a, positif et différent de l'unité, l’équation différentielle qui précède serait remplacée par
dy k.
dx x
et la constante X serait précisément le logarithme du nombre e, pris dans le système dont la base est a. Il était donc naturel de considérer de préférence en analyse les logarithmes dont la base est le nombre e, ou de faire sur la base la supposition qui ramène à sa forme la plus simple l'équation différentielle qu'on peut et qu'on doit même considérer comme la définition essentielle de la fonction logarithmique (1429), et comme celle qui rend raison du rôle que joue cette fonction dans les applications du calcul aux phénomènes de la nature.
Par la permutation des lettres x et y, l'équation différentielle précédente devient
de !
dy y
et celle-ci est l'expression de la propriété d’avoir une
- ‘: dits
soutangente constante , qui nous a servi à caractériser géométriquement la courbe (fig. 4T) considérée au n° 1427. En conséquence, lorsqu'on prend pour unité la ligne OP, l'équation de cette courbe est
H=105%, et on l'appelle courbe logarithmique. Quand on ajoute, comme nous l’avons fait au numéro cité, la condition que la soutangente constante ait pour valeur cette même ligne OP, la constante # se réduit à l'unité, et la logarithmique se trouve construite dans le système
Des
des logarithmes naturels ou népériens.
1358. En généralisant les considérations qui ont fait l'objet du numéro précédent, on est conduit à envisager des fonctions transcendantes, définies par des équations telles que | |
Ja 9,93 7"e70)=0, [A] entre la variable indépendante, la fonction et ses dérivées de divers ordres : équation avec laquelle il faut donner les valeurs de la fonction y et de ses dérivées J'Y" 3.7, pour une valeur déterminée de la variable indépendante x. Nous renvoyons aux traités de
calcul intégral pour l'exposition des méthodes d’après
lesquelles, avec ces données, on peut d’une part cal-
culer arithmétiquement les valeurs successives de la foncüon y; d'autre part assigner dans certains cas une équation entre x et y,
Fx,7)=0, [K]
qui satisfasse à la condition exprimée par l'équation différentielle proposée, et qui soit compatible avec le système de valeurs initiales attribuées aux variables x, 7, et aux dérivées de la fonction y, jusqu’à 1.
IL y a tels systèmes de valeurs de x, y, etc., pour lesquels les définitions de la fonction y, l’une essentellement transcendante et donnée par l'équation [#1, l'autre donnée par l'équation [K] et qui peut accidentellement être algébrique, ne cadrent point entre elles : la première devenant illusoire quand la seconde continue d'être applicable. Il arrive encore que la construction arithmétique de l'équation [Æ], après avoir convenu à une intégrale [K] d'une certaine forme, cadre plus loin avec une autre intégrale [K,], de forme essentiellement différente.
Considérons, par exemple, la fonction définie par
l'équation différentielle du premier ordre
J'=—Vr, où ——Vy, UE
et par le système de valeurs initiales x,, y, : cette
même fonction sera aussi définie par l'équation intégrale
IE (a — 2). [L]
Pour des valeurs croissantes de x, à partir de x,, la
fonction y va en diminuant; et quand enfin elle a at-
teint la valeur 0, pour une valeur de x égale à
LA + 2 Ur, )
y" devient nulle, en vertu de l'équation [/] : en sorte que, pour la valeur consécutive de x, valeur aussi
voisine que l’on veut, mais qui ne doit pas se con-
fondre avec la précédente, on a encore y—0, par suite une valeur consécutive de y' qui est encore nulle, et ainsi mdéfiniment. Le lieu défini par l'équation [7], ou par la construction arithmétique de proche en proche qui résulte de cette équation, et qu'on peut toujours opérer avec une approximation illimitée; ce lieu, disons-nous, après avoir cadré avec la parabole [L] pour des valeurs de x plus petites que celles qui annulent y, cadre avec la droite |
J—=0,; [L, | pour les valeurs supérieures de x.
Si la variable x représente le temps compté d’une certaine origine, et la fonction y une grandeur physique variable avec le temps, de manière que le rapport entre les variations élémentaires de cette grandeur et du temps soit donné par l'équation [/}, la srandeur y aura pour expression, d'abord celle que donne l’équation [L]|, ensuite celle que donne l’équation [L]; et la construction arithmétique de l'équation |/] se trouvera réalisée dans la nature, non plus d'une manière approchée, au moyen d'intervalles consécutifs dont on conçoit que rien ne limite la petitesse, mais d'une manière rigoureusement conforme
à ce qu exige la loi de continuité.
Considérons encore la fonction définie par l'équa-
tion
GP, [re | et par le même système de valeurs initiales : cette fonction se trouvera pareillement définie par l’équation intégrale
et D équation algébrique, si x désigne un nombre entier ou une fraction rationnelle; mais les deux définitions ne cadreront que pour les valeurs de x, y, qui sont respectivement de mêmes signes que x,, »,. Si la fonction y est représentée par l'ordonnée d'une courbe dont la variable indépendante x soit l’abscisse, le calcul arithmétique des valeurs successives de la fonction y par l'équation [| équivaudra à la construction d’une courbe On (PL.IT, fig. 18), passant par le point dont les coordonnées sont les valeurs initiales x,, »,, et par l’origine O. La courbe touchera à l'origine O l'axe des x ou celui des y, suivant que « sera > ou <1; et l'équation |72| exprimera la propriété géométrique de cette courbe, de couper à angles droits les ellipses en nombre infini que donne l'équation
2° ay* — G?,
quand on y fait passer le paramètre f par toutes les valeurs possibles , de zéro à l'infini (73). Or, quel que soit le point #7, ou quel que soit le système de va-
leurs initiales x, »,, d'où l’on est parti pour con-
struire de proche en proche les autres systèmes de valeurs de x, y, quand on est arrivé au point O ou au système de valeurs M0 ET 0"
la valeur de y’, donnée par l'équation [rm], se présente sous la forme indéterminée Ÿ; mais en réalité elle est nulle si, comme nous le supposerons, la constante « est plus grande que l'unité, puisqu'alors la courbe 770 vient toucher l'axe des x à l'origine. Par conséquent, comme tout à l'heure, la valeur consécutive de » est encore nulle, et ainsi indéfiniment. Le lieu défini par l'équation [2], après avoir été la courbe 720 pour les valeurs de x, y, qui sont de même signe que &,, »,, devient l'axe même des abscisses, pour les abscisses de signe contraire à l’abscisse initiale, et cesse alors de cadrer avec le lieu de l’équaüon [M] qui, devenue algébrique pour les valeurs rationnelles de «, accouple de diverses manières au point O les branches auxquelles elle appartient, selon que le numérateur et le dénominateur de la fraction « sont des nombres pairs ou impairs, sans que ces différents modes de conjugaison aient une raison prise dans la définition géométrique de ces courbes, ainsi qu'on l’a montré au n° 73. Nous voyons maintenant à quoi tient le désaccord alors signalé entre la géométrie et l'algèbre. Il résulte de ce que la définition géométrique qui se traduit dans l'équation [m1] est
transcendante de sa nature, et ne dépouille pas les
caractères qui lui appartiennent en tant que définition transcendante , lors même qu'elle convient accidentellement, dans une portion de son étendue, avec une définition algébrique.
4159. Les indications qui précèdent, quoique trèssuccinctes, mettent suffisamment en jour les liaisons étroites qu'ont entre eux les divers modes. de définitions transcendantes, tirées, non plus de la géométrie, mais d'une série de conceptions abstraites qui se rattachent au calcul arithmétique des grandeurs continues, ou à ce que nous avons nommé la logistique *. Tous ces modes de définitions ont pour caractère d’impliquer la considération des limites ou de l'infini. Fonder le calcul différentiel et intégral sur le développement des fonctions en séries, ce n’est donc point, comme se le figurait Lagrange (et l’on n'a pas tardé à le reconnaître, malgré l'autorité d’un si grand nom), ce n'est point dégager le calcul différentiel et intégral de la considération des limites ou des quantités infi-
niment petites, et le ramener au calcul algébrique des quantités finies.
* Nous reproduisons cet archaïsme avec plus de hardiesse, en voyant que M. Chasles, dans la lecon d’ouverture de son cours de géométrie supérieure, faite à la Sorbonne le 22 décembre 1846, et publiée au moment même où nous imprimons ces feuilles, exprime (pag. 19), à peu près dans les mêmes termes que nous (46), le regret que ce mot « employé si convenablement par Viète et longtemps après lui, nait pas été conservé. »
On manque d'un terme approprié à la désignation de cette partie des mathématiques, qui a pour objet les définitions et les fonctions transcendantes, d’origine arithmétique. Il semblerait convenable de lui imposer la dénomination de logistique transcendante, par opposition à la logistique élémentaire, de laquelle procèdent l'algèbre (la logistique spécieuse de Viète) et la théorie des fonctions algébriques. La logistique transcendante ne peut s'élever jusqu'au degré d’abstraction de l'algèbre pure, où l’on arrive à ne plus considérer que des symboles et des combinaisons abstraites de signes : tant à cause des solutions de continuité (subordonnées aux valeurs numériques des variables) auxquelles sont sujettes les fonctions transcendantes, que parce que les signes positif et négatif n'y jouent plus des rôles symétriques (28); et enfin parce que les notions de limite , d'infiniment petit, et de sommation d'un nombre infini de termes ne conservent pas un sens abstrait, à la manière des opérations fondamentales de l’arithmétique, même aprés qu'on a dépouillé les symboles littéraux de leur signification numérique (27 )-
La logistique transcendante , distincte de l’algébre et de la théorie des fonctions algébriques, doit se distinguer encore de la théorie des fonctions en général, qui a pour objet les propriétés communes à toutes les fonctions continues, même à celles qui n'admettent pas de définition mathématique. Tout cela se confond
d'ordinaire sous la dénomination d'analyse transcendante ou supérieure , par opposition à l'analyse élémentaire ou algébrique : dénomination impropre, en ce qu'elle substitue l’idée d’une méthode à l’idée d’une science dans l'exposition de laquelle, lorsqu'on la traite pour elle-même, on peut suivre presque indifféremment des méthodes très-variées, sans être tenu de faire un usage exclusif ou habituel de tel procédé logique; quoique la manière de se servir de cette science comme d'instrument, dans d’autres branches des spéculations mathématiques, puisse constituer une méthode et un procédé logique particulier. Il est bon d'indiquer ces impropriétés du langage reçu, sans avoir la prétention de les rectifier : et, au surplus, toutes ces considérations vont être reprises dans un
résumé qui fera l'objet de notre dernier chapitre.
