CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LE SYSTÈME DES MATHÉMATIQUES. — RÉSUMÉ

440. Sous le nom collectif de MATHÉMATIQUES, on désigne un système de connaissances scientifiques , étroitement liées les unes aux autres, fondées sur des notions qui se trouvent dans tous les esprits, portant sur des vérités rigoureuses que la raison est capable de découvrir sans le secours de l'expérience, et qui néanmoins peuvent toujours se confirmer par l’expérience , dans les limites d'approximation que l’expérience comporte. Grâce à ce double caractère que nulle autre science ne présente, les mathématiques, ainsi appuyées sur l’une et sur l’autre base de la connaissance humaine , s'imposent irrésistiblement aux esprits les plus pratiques comme aux génies les plus spéculatifs. Elles justifient le nom qu'elles portent et qui indique les sciences par excellence , les sciences éminentes entre toutes les autres par la rigueur des théories , l'importance et la sûreté des applications.

Les sciences physiques et naturelles reposent sur l'expérience et sur l'induction qui généralise les résul-

tats de l'expérience. Les faits dont l'expérience a pro-

curé la découverte, que l'induction a érigés en lois générales, peuvent à ce double titre devenir l’objet de connaissances certaines , mais dont la certitude n’est point comparable à celle d'un théorème d’arithmétique ou de géométrie. D'abord l'exactitude du fait attesté par les sens est nécessairement comprise entre les limites d’exactitude des sens : tandis qu'en mathématiques pures l'esprit, tout en s’aidant de signes sensibles, n'opère que sur des idées susceptibles d’une précision rigoureuse. En second lieu, l'induction qui généralise les résultats de l'expérience , quoiqu’appuyée sur une probabilité qui peut, dans de certaines circonstances, ne laisser aucune place au doute et entraîner l’acquiescement de tout esprit raisonnable, est un jugement d'une tout autre nature que le jugement fondé sur une déduction mathématique, à la rigueur de laquelle l'esprit ne peut échapper sans tomber dans l’absurdité et dans la contradiction.

D'un autre côté, les démonstrations des vérités mathématiques peuvent toujours se contrôler par l'expérience : en quoi ces vérités différent de celles que l’on se propose d'établir en logique, en morale, en droit naturel, dans toutes les sciences qui ont pour objet des idées et des rapports que la raison conçoit, mais qui ne tombent pas sous les sens. Après qu’un jurisconsulte a analysé avec le plus grand soin une question controversée, après qu'il a mis les principes de solu-

tion dans l'évidence la plus satisfaisante pour la rai-

son, il ne peut pas, comme le géomètre, fournir au besoin la preuve expérimentale de la justesse de ses déductions, de la bonté de ses solutions.

Si l’on y fait attention, l'on verra que, pour rendre un compte exact de la dénomination de sciences posuves, dont on fait aujourd'hui un si fréquent usage, il faut entendre par là les sciences ou les parties des sciences dont les résultats sont, comme ceux des mathématiques, susceptibles d’étre contrôlés par l’expérience.

La vérification empirique qu’une loi mathématique comporte peut être rigoureuse ou approchée. On peut vérifier par l'expérience une propriété des nombres, comme celle qui a été énoncée au n° 31 ; et dans ce cas la propriété se vérifiera rigoureusement sur tous les exemples qu’il plaira de choisir. On peut aussi vérifier par l'expérience une proposition de géométrie, comme celle-ci : les bissectrices des trois angles d’un triangle se coupent en un même point ; mais en ce cas la vérification, comme celle d’une loi physique, n’aura lieu qu'approximativement , avec une approximation d'autant plus grande qu'on opérera avec plus de soin et en s'aidant d'instruments plus parfaits. Au reste il y a des propositions de géométrie qui admettent une vérification empirique rigoureuse, par exemple celleci : le nombre des angles solides d’un polyèdre, ajouté au nombre de ses faces, donne une somme supérieure

de deux unités au nombre de ses arêtes. En général,

tout ce qui peut se vérifier par dénombrement, supputation ou calcul (c’est-à-dire à l'aide de signes conventionnels auxquels l'esprit impose une valeur fixe et déterminée) admet une vérification rigoureuse : toute vérification qui implique une opération de mesure ou une construction à l’aide d'instruments physiques, ne

saurait être qu'approchée.

AAA. Le mode de vérification est ordinairement le plus sûr criterium pour discerner à quel ordre de spéculations mathématiques appartient telle ou telle proposition. Si je veux vérifier la proposition du n° 51, je serai obligé de prendre des exemples numériques; et par conséquent la proposition appartient essentiellement à la théorie des nombres, quand même j'aurais fait usage de symboles algébriques pour la démontrer, ou quand même je me serais appuyé sur des propositions d’algèbre dans la démonstration. L’algèbre ne figure alors que comme langue ou instrument. Au

contraire , si Je veux vérifier la formule de New-

ton [27] (ab ar Part M Dons pr,

dans le cas d’un exposant entier, je donnerai à l’exposant »7 une valeur entière, telle que 4, et sans avoir besoin d'attribuer à a et à d des valeurs numériques, j'élèverai le binome a+-4 à la quatrième puissance

par les règles ordinaires, ce qui me donnera un résul-

tat identique avec celui que donne le second membre de l'équation précédente. J'aurai vérifié ainsi un théorème qui fait partie de l’algèbre, en tant que science propre et corps spécial de doctrine ; et j'aurai fait ainsi toucher du doigt la distinction qui n'était établie qu'à l’aide de considérations abstraites, dans le numéro cité. Enfin, si j'attribue à l’exposant » une valeur fractionnaire, ce qui changera le second membre de l'équation précédente en une série d'un nombre infini de termes, et si j affirme que la formule ainsi étendue subsiste encore , il me faudra, pour vérifier l’assertion , donner à a et à d des valeurs numériques, celle de à étant une petite fraction de celle de «&, et je trouverai ainsi qu'en prenant dans le second membre un nombre de termes de plus en plus grand, j'approche de plus en plus de la valeur du premier membre, calculée directement. Ce mode de vérification du théorème ainsi étendu montre qu'il rentre alors dans la logistique transcendante (138), dont l’une des branches a pour objet de calculer les limites numériques vers lesquelles tendent les séries d'un nombre infini de termes , qui se succèdent suivant une loi donnée. ‘

142. L'une des parties des mathématiques , celle qui a pour objet la théorie des chances, nous offre l'exemple d'un mode singulier de vérification par l'expérience. On trouve a priort, par les règles des

combinaisons, que la probabilité d'amener un sonnez

avec deux dés ordinaires est -; et le résultat du calcul direct, comme tout autre résultat d'arithmétique, peut d'abord se contrôler par le dénombrement effectif des combinaisons : mais en outre, si l'on construit deux dés, en prenant toutes les précautions pour qu'ils soient autant que possible réguliers et homogènes, et si on les projette un grand nombre de fois, on devra trouver que le nombre des sonnez amenés est sensiblement - du nombre total des coups; et voilà pourquoi la théorie des chances embrasse un ordre spécial de spéculations mathématiques et positives, et non pas seulement une classe de problèmes d’arithmétique et des rapports purement intelligibles. La vérification empirique du résultat trouvé a priori comportera d'autant plus d'exactitude, qu'on aura d’une part apporté plus de soin à la construction des instruments aléatoires, et d’autre

part multiplié davantage le nombre des épreuves.

4453. Si, dans l'exposition des doctrines mathématiques, on rencontirait des principes, des idées, des conclusions qui ne pussent être soumises au criterium de l'expérience; si l’on trouvait dans les écrits des géomètres des discussions relatives à des questions de théorie que l'expérience ne pourrait trancher, on serait averti par cela seul que ces questions ne sont pas, à proprement parler, mathématiques ou scienti-

fiques ; qu'elles rentrent dans le domaine de la spécu-

lation philosophique dont la science, quoi qu’on fasse, ne peut s'isoler complétement, et dont elle ne s'isolerait, si la chose était possible, qu'aux dépens de sa propre dignité.

Soit, par exemple, la question du passage du commensurable à l'incommensurable (16), qui se présente à chaque pas en géométrie, en mécanique, et en général quand il s’agit de rapports entre des grandeurs continues. Il est clair que lorsqu'un raisonnement a conduit à établir de tels rapports dans l'hypothèse de la commensurabilité, quelque petite que soit la commune mesure, on a établi tout ce qui peut se vérifier par l'expérience : car, dès qu'il s’agit de passer à des mesures effectives, on ne peut entendre par grandeurs incommensurables que celles dont la commune mesure est d'autant plus petite que l’on opère avec des intruments plus parfaits. Lors donc que les géomètres, non contents de cette simple remarque, se mettent en frais de raisonnements pour prouver que le rapport établi dans le cas de la commensurabilité subsiste encore quand on passe aux incommensurables; lorsqu'ils imaginent à cet effet divers tours de démonstration, directs ou indirects; lorsqu'ils admettent les uns et rejettent les autres, souvent sans tomber d'accord entre eux, en réalité ils ne font, n1 de la géométrie, ni de la mécanique, ni des mathématiques proprement dites : ils font (et à Dieu ne

plaise que nous les en blâmions , nous qui dépensons

à ce travail, où à un travail du même genre, le peu de forces que nous pouvons dépenser !) ils font l’analyse et la critique de certaines idées de l'entendement, non susceptibles de manifestation sensible; ils se placent sur le terrain de la spéculation philosophique ; ils font ce qu'on est convenu de désigner, ce que bien des gens décrient sous le nom de métaphysique, et nullement de la science positive.

Nous en dirions autant, à plus forte raison, des théories sur les valeurs négatives, imaginaires, infinitésimales : théories qu'il faut bien aborder, qu'il n’y a pas moyen d'éluder dans l'exposition didactique de la science du calcul, mais que chaque géomètre conçoit à sa manière, et qui sont un objet immanent de controverses que ne peuvent trancher, ni des démonstrations formelles, ni le contrôle de l'expérience, tandis que tout le monde est d'accord sur les résultats positifs et vraiment scientifiques ; chacun sachant, par exemple, quelles règles il faut appliquer pour trouver infailliblement les racines négatives d'une équation algébrique, soit qu'il adopte sur les racines négatives la manière de voir de Carnot , de d’Alembert ou de tout autre. L'union intime et pourtant la mutuelle indé-

pendance de l'élément philosophique et de l'élément

scientifique dans le système de la connaissance hu-

maine se manifestent ici par ce fait bien remarquable : que l'esprit ne peut régulièrement procéder

à la construction scientifique sans s'appuyer sur une

théorie philosophique quelconque, et que néanmoins les progrès et la certitude de la science ne dépendent point de la solution donnée à la question philoso-

phique.

42/4. Nier la philosophie des mathématiques, c'est donc tout simplement nier l’une des conditions de la construction rationnelle et régulière des mathématiques ; et nier la philosophie en général, c’est nier l’une des conditions de la construction du système général des connaissances humaines. Mais, d'un autre côté, confondre l'élément philosophique avec l'élément scientifique de la connaissance; prétendre, comme on le fait si souvent aujourd'hui, que la philosophie est la science ou une science, c'est tomber dans un abus de langage aussi préjudiciable à la vérité qu'aux intérêts de la cause qu'on veut servir : car il ne manquera pas de gens qui prouveront tres-bien que la philosophie n’est ni la science, ni une science; et qui, de ce que la philosophie n’est pas ce que ses adeptes voudraient qu'elle fût, seront portés à conclure que ce n’est rien ; et tenteront de mutiler l'esprit humain, en condamnant à l’inaction ou à l'impuissance l’une de ses plus nobles facultés.

Effectivement, conclure que toutes les théories philosophiques sont indifférentes et de nulle valeur au fond, parce qu'on ne peut pas en finir, par le calcul

ou par l'experimentum crucis de Bacon, avec deux

théories philosophiques contradictoires, ce serait comme si l’on niait le goût et le beau dans les arts, parce qu'on ne peut pas prouver, par syllogisme ou par expérience, la supériorité d’une toile de Rubens sur le méchant tableau qu'un homme, au goût bizarre, a la fantaisie de préférer. Le sentiment du vrai en philosophie appartient à cette faculté supérieure de l'esprit qui saisit l'ordre et la raison des choses; qui procède par analogie et par induction plutôt que par jugement déductif, en sorte qu’elle ne peut être soumise au contrôle du calcul ou de la déduction syllogistique ; qui opère sur des idées et des rapports purement intelligibles, et qui des lors ne peut pas davantage être soumise au contrôle de l'expérience sensible.

445. Au premier rang des questions philosophiques, en mathématiques comme ailleurs, se placent celles qui portent sur la valeur représentative des idées. On en a vu de nombreux exemples dans tout ce qui précède. L’algebre n'est-elle qu'une langue conventionnelle, ou bien est-ce une science ayant pour objet des rapports qui subsistent entre les choses, indépendamment de l'esprit qui les conçoit ? Tout le calcul des valeurs négatives, imaginaires, infinitésimales n'est-il que le résultat de règles admises par conventions arbitraires ; ou toutes ces prétendues conventions ne sont-elles que l'expression nécessaire

de rapports que l'esprit est obligé sans doute de repré:-

PTE

senter par des signes de forme arbitraire, mais qu'il ne crée point à sa guise, et qu'il saisit seulement, en vertu de la puissance qu'il a de généraliser et d’abstraire? Voilà ce qui partage les géomètres en diverses écoles ; voilà le fond de la philosophie des mathématiques, et c’est aussi le fond de toute philosophie. Comme toute connaissance , depuis la plus grossière jusqu à la plus raffinée, implique un rapport entre un objet percu et une intelligence qui le perçoit, la forme de la connaissance peut toujours de prime abord être attribuée indifféremment à la constitution de l'intelligence qui perçoit, ou à la constitution de l’objet percu : de même que le déplacement relatif des diverses parties d'un système mobile peut de prime abord être indifféremment attribué au. déplacement absolu de l’une ou de l’autre partie du système. Mais il y a des analogies, des inductions philosophiques qui ménent à préférer telle hypothèse à telle autre logiquement admissible, et qui même en certains cas sont de nature à exclure tout doute raisonnable, bien qu'il n y ait pas de démonstration formelle ou d'expérience possible, pour réduire à l'absurde la contradiction sophistique.

Démontrer logiquement que certaines idées ne sont point de pures fictions de l'esprit, n'est pas plus possible qu'il ne l’est de démontrer logiquement l'existence des corps; et cette double impossibilité n'arrête

pas plus les progrès des mathématiques positives que

ceux de la physique positive. Mais il y a cette différence, que la foi à l'existence extérieure des corps fait partie de notre constitution naturelle, est, comme on dit, une croyance du sens commun, bien qu'en ceci l'induction philosophique puisse venir au besoin à l'appui du sens commun; tandis qu'il faut se familiariser, par la culture des sciences, avec le sens et la valeur de ces idées spéculatives sur lesquelles on ne tomberait pas sans des études scientifiques. C'est ce qu'exprime ce mot fameux attribué à d’Alembert : 4{lez en avant, et la foi vous viendra; non pas une foi aveugle, machinale, produit irréfléchi de l'habitude, mais un acquiescement de l'esprit, fondé sur la perception simultanée d’un ensemble de rapports qui ne peuvent que successivement frapper l'attention du disciple, et d’où résulte un faisceau d’inductions auxquelles la raison doit se rendre en l'absence d’une démonstra-

tion logique que la nature des choses rend impossible.

446. La philosophie des mathématiques consiste encore essentiellement à discerner l’ordre et la dépendance rationnelle de ces vérités abstraites dont l'esprit contemple le tableau; à préférer tel enchaînement de propositions à tel autre aussi irréprochable logiquement (78 et 115), parce qu'il satisfait mieux à la condition de faire ressortir cet ordre et ces connexions, tels qu'ils résultent de la nature des choses,

indépendamment des moyens que nous avons de

Jan PUR A ON

transmettre et de démontrer la vérité. Il est évident que ce travail de l'esprit ne saurait se confondre avec celui qui a pour objet l'extension de la science positive; et que les raisons de préférer un ordre à un autre, sont de la catégorie de celles qui ne s'imposent

point par voie de démonstration logique.

447. Nous avons dit que les sciences mathématiques ont pour caractère essentiel de s'appuyer uniquement sur des principes que la raison saisit sans le secours de l'expérience, de manière pourtant que les résultats de la théorie puissent être constamment contrôlés par l'expérience. Du moment qu'on invoque des principes, des lois ou des faits qui ne peuvent être donnés, ou qui du moins, dans l'état de nos connaissances, ne sont donnés que par l'expérience, on sort du cadre des mathématiques pures, on entre dans le domaine de ces sciences mixtes, que l’on connaît sous le nom de sciences physico-mathématiques ou sous toute autre dénomination analogue. Ainsi, la partie de la statique où l'on traite des conditions d'équilibre d’un système de forces appliquées à des points que l’on suppose invariablement liés entre eux, est une branche des mathématiques pures comme la géométrie; car les notions premières sur lesquelles toute cette théorie repose, ne sont pas des résultats de l'expérience, ou bien ne dépendent de l'expérience que

comme en dépendent les notions premières qui nous

servent à construire la théorie de l'étendue figürée. Au contraire, la science de l'équilibre des fluides appartient à la physique mathématique, car elle se fonde sur un principe de physique que l'expérience proprement dite a seule pu donner, au moins dans l’état trèsimparfait de nos connaissances sur la constitution des corps, savoir le principe de l’égale transmission de la

pression en tous sens.

448. Si les idées que nous avons exposées sont justes ; s'il n'est pas permis de dire avec Vico que «nous démontrons les vérités géométriques parce que nous les faisons, » il est clair que les conditions qui fixent le cadre des mathématiques pures doivent tenir, d'une part à la manière d’être des choses, d'autre part à l'organisation de l'esprit humain; et des lors il est peu probable, «a priori, qu'on puisse soumettre les mathématiques pures à une classification systématique du genre de celles qui nous séduisent par leur simplicité et leur symétrie, quand il s’agit d'idées que l'esprit humain crée de toutes pièces et peut arranger à sa guise, sans être gêné par l'obligation de reproduire une vérité indépendante de lui. Chose remarquable ! les mathématiques, sciences exactes par excellence, sont du nombre de celles où il y a le plus de vague et d'indécision dans la classification des parties, où la plupart des termes qui l’expriment se

prennent, tantôt dans un sens plus large, tantôt dans

un sens plus rétréci, selon le contexte du discours et les idées propres à chaque auteur, sans qu’on soit parvenu à en fixer nettement et rigoureusement l’acception dans une langue commune. Les études qui précèdent en ont fourni de nombreux exemples; et si nous avons parfois proposé de préciser d’une certaine manière des acceptions restées ambigués ou indécises, ç’a été par le besoin de rendre provisoirement notre pensée; nullement avec la prétention de fixer définitivement la langue, que n'auraient pas manqué de fixer depuis longtemps, si la chose était possible, tant d'hommes éminents qui l’ont travaillée. Toutes les fois qu’un rapport est parfaitement déterminé de sa nature, on tombe bientôt d'accord d’un signe précis pour l’exprimer. Le vague de la langue accuse souvent l'imperfection de notre connaissance de l'objet, et alors la langue se corrige par le progrès de nos connaissances; mais il accuse plus souvent encore l’impossibilité absolue d'exprimer avec les signes du langage, en leur conservant toujours la même valeur fixe, des rapports dont nous ne disposons pas, et qui admettent malgré nous des modifications continues (27). C'est ce qui arrive à l'égard des termes employés pour diviser en compartiments le domaine des mathématiques; et rien ne montre mieux, contre Vico , que l'objet des mathématiques existe hors de l'esprit humain, et indépendamment des lois qui gouvernent notre intelligence.

Quand même on pourrait imaginer de tels compartiments bien délimités, il faudrait que la classification offrit l’exacte traduction des rapports que ces compartiments auraient entre eux; et c'est ce que la nature des choses rend encore impossible. Par la forme même du langage, nos idées s'enchaînent dans le discours suivant l’ordre que les géomètres qualifient de linéaire (409); et comme il n'arrive que très-accidentellement qu'un tel ordre corresponde, même grossiérement , à l'ordre réel des choses, tel que la pensée le conçoit, on a recours à l’artifice des tableaux synoptiques, sorte de construction géométrique à deux dimensions, moyen bien insuffisant encore, auquel il est évident qu'on substituerait souvent avec avantage une construction géométrique à trois dimensions, si l'on avait des moyens commodes de la réaliser physiquement. Mais, plus fréquemment encore, l’espace, avec ses trois dimensions, ne suffirait pas pour nous donner une image sensible des rapports très-multipliés, ou même infiniment multipliés, qu'ont entre elles les diverses parties d'un système, objet de l’intuition intellectuelle; et ceci s’observe notamment pour le système des mathématiques. La théorie des nombres relève de celle de l’ordre et des combinaisons; et, sous un autre aspect, le calcul des combinaisons est une application de l’arithmétique. Des faits d’arithmétique ont leur raison dans certaines lois

de l'algèbre, et des faits d’algèbre ont leur raison