HR LE, A
La limite y est alors l’une des racines de l'équation
KT + ko (HE) 7 4h = 0.
L’une des racines y’ est toujours égale à 4 ; une autre
y" est toujours positive et > ou <71, suivant qu'on a
RH... Hmk,< ou > 1; les autres racines sont négatives ou imaginaires et constamment étrangères au problème arithmétique de la détermination de la limite des quantités [pb], pour laquelle il faut prendre, tantôt la racine y' et tantôt la
racine y”, ainsi qu on l’a expliqué sur le cas le plus simple *.
* Le problème énoncé dans le texte est au fond le même que celui qui a pour objet de déterminer la probabilité de la durée des descendances masculines ou des familles, problème dont M. Bien-
aymeé s’est occupé.
37. Prenons maintenant un problème qui tienne à la physique, et proposons-nous de calculer la profondeur à laquelle un corps est tombé d’après le temps écoulé entre le commencement de la chute et l'instant où l'oreille a perçu le bruit causé par le choc du corps au terme de sa chute. Si l’on désigne par £ ce temps exprimé en secondes, par g le double de l’espace que décrit un corps en tombant librement dans le vide pendant la première seconde de sa chute, par A la vitesse uniforme du son ou l’espace qu'il décrit en chaque seconde, par x la profondeur inconnue ; et si l'on néglige la résistance de l'air, on a pour l'équation
du problème + 6; [e]
d'ou l'on tire, en faisant évanouir le radical,
224 ht)e +80, [a]
et en résolvant h h 55 2h + gt) VAR Age).
Les deux racines sont de même signe, et toutes deux positives, à cause que k, g et t désignent, d’après l / , . ° .: ,
énoncé, des nombres positifs; mais il n’y a que la plus petite de ces racines qui satisfasse à la question, puisque, d'après l'énoncé, on doit nécessairement
avoir
MAD Ed NS UP CSG SE SO SO TS A ES RE Ed 0 à Re EN à 07
Au fond, il n’y a non plus que cette racme qui satisfasse à la véritable équation du problème, savoir à l'équation [c] : l’autre satisfait à une équation de forme
distincte, quoique analogue,
AE LR 7 | vi Ni ue [e]
et si les deux racines satisfont à l’équation [d], c'est que l'équation [c], aussi bien que l'équation [c|, conduit à l’équation [4], lorsqu'on élève au carré pour faire disparaître le radical et amener la résolution algébrique : ce qui est nécessité par la nature de l'al-
gébre et non par celle de la question.
38. L'équation [c|] répond à une question physique analogue et qu'on peut énoncer en ces termes : Déterminer, en faisant abstraction de la résistance de l'air, la hauteur d’où est tombé un corps pesant, dépourvu de vitesse initiale, d’après le temps qui s’est écoulé entre l'instant où le corps est arrivé au point le plus bas de sa course, et l'instant où l'oreille a perçu en ce point le bruit d’une explosion ou d’un signal quelconque, qui se faisait au lieu et au moment où le COrps a commencé de tomber, lorsque d’ailleurs on suppose que l'arrivée du corps précède l'audition du signal. La plus grande racine de l'équation [d] résout ce problème qui se trouve ainsi algébriquement as-
7 . 4 d Lé , À SOCIE OÙ ConjugueE avec celui du numero précédent.
