FORCES TROUBLANTES

* •{ Sect. ni. } •

périodiques dans la distance de la planète au soleil et affecte la forme et la position de l’orbite dans son propre plan. La troisième, que l’on peut appeler force normale, agit perpendiculairement au plan de l’orbite , occasione les inégalités périodiques qui ont lieu dans la latitude de la planète, et affecte la position de l’orbite par rapport au plan de l’écliptique.

L’on a observé que le rayon vecteur d’une planète, se mouvant dans une orbite parfaitement elliptique, parcourt des aires égales dans des temps égaux; — circonstance indépendante de la loi de la force, et qui serait la même, soit qu’elle variât ou non, en raison inverse du carré de la distance, pourvu seulement qu’elle fût dirigée vers le centre du soleil. Il suit de là que la force tangentielle, n’étant pas dirigée vers un centre, occasione une certaine inégalité dans la description des aires, ou, ce qui revient au même, trouble le mouvement de la planète en longitude. La force tangentielle, tantôt accélère et tantôt retarde le mouvement de la planète, tandis que d’autres fois elle ne produit aucun effet. Si les orbites de deux planètes étaient circulaires, une compensation complète aurait lieu à chaque révolution de ces deux planètes, parce qu’alors les arcs dans lesquels s’effectuent les accélérations et les retards seraient symétriques de chaque côté de la force troublante. Car il est évident, que si le mouvement était accéléré dans une certaine étendue, et ensuite retardé d’autant, il arriverait à la fin du temps que le mouvement serait exactement le même que s’il n’avait subi aucune altération. Mais comme les orbites des planètes sont des ellipses, cette symétrie ne se conserve pas : la planète se mouvant inégalement dans son orbite, il est certaines positions dans lesquelles elle se trouve plus directement, et pendant plus long-temps, sous l'influence de la force troublante, que dans d’autres. Quoiqu'il y ait des multitudes de variations qui se compensent

f Sect. IU. ] MOUVEMENT DES APSIDES.

dans de courtes périodes, ii en est d’autres, dépendant de certains rapports particuliers entre les temps périodiques des planètes, qui ne se compensent que lorsque les deux corps ont accompli une, ou même plusieurs révolutions. Une inégalité périodique de ce genre, et dont la période n’embrasse pas moins de 918 années, se l'ait remarquer dans les mouvemens de Jupiter et de Saturne.

La force radiale, c’est-à-dire, cette partie de la force troublante qui agit dans la direction de la ligne joignant les centres du soleil et de la planète troublée, n’exerce aucun effet sur les aires, mais elle occasione certains changcinens périodiques de peu d’étendue, dans la distance de la planète au soleil. Nous avons déjà démontré que la force qui produit un mouvement parfaitement elliptique, varie en raison inverse du carré de la distance, et qu’une force subordonnée à quelque autre loi ferait mouvoir le corps dans une courbe d’une nature très différente. Or, la force troublante radiale varie directement comme la distance; et comme elle se combine quelquefois avec l’intensité de l’attraction du soleil sur le corps troublé, en l’augmentant par conséquent, tandis que d’autres fois elle lui est opposée, et par suite la diminue, il arrive que dans l’un et l’autre cas elle fait dévier l’attraction solaire de la loi rigoureuse de la gravité, et l’action entière de cette force centrale composée sur le corps troublé, est ou plus grande ou plus petite que ce qui est nécessaire pour le mouvement parfaitement elliptique. Lorsqu’elle est plus grande, la courbure de l’orbite de la planète troublée au moment où elle quitte son périhélie 1 , c’est-à-dire, le point où elle est le plus rapprochée du soleil , est plus grande qu’elle ne le serait dans l'ellipse, qui amène la planète à son aphélie *, c’est-à-dire, au point où elle est le plus

* Note 60. — > Note 61.

24 MOUVEMENT UES APSIDES. [SeCt. IH.]

éloignée du soleil , avant qu’elle ait parcouru une étendue de i8o°, ainsi qu’elle le ferait si elle n’était pas troublée. De sorte que dans ce cas , les apsides ou extrémités du grand axe, avancent dans l’espace. Quand la force centrale est moindre que ne l’exige la loi de la gravité, la courbure de l’orbite de la planète, est moindre que la courbure de l’ellipse. De sorte que la planète , en abandonnant son périhélie, parcourrait plus de i8o° avant d’arriver à son aphélie, ce qui fait rétrograder les apsides dans l’espace '. Le double cas du mouvement progressif et du mouvement rétrograde se présente dans le cours de la révolution des deux planètes; mais les cas du mouvement progressif l’emportent sur ceux du mouvement rétrograde. Nous devons ajouter toutefois que le mouvement effectif des apsides dépend encore de la force tangenticlle 1 , qui accélère et retarde alternativement la vitesse de la planète troublée. Une augmentation dans la vitesse tangenlielle de la planète diminue la courbure de son orbite, et équivaut à une diminution de la force centrale. Une diminution de la vitesse tangenlielle, qui augmente la courbure de l’orbite, équivaut au contraire à un accroissement de la force centrale. Ces fluctuations, dues à la force tangenlielle, occasioncnt alternativement, et de la manière dont nous l’avons expliqué tout à l’heure3, un mouvement progressif et un mouvement rétrograde dans les apsides. Comme le premier de ces mouvemens l’emporte sur le second , la force qui en résulte se joint à la force radiale, et il arrive quelquefois que le mouvement direct des apsides s’en trouve presque doublé. Le mouvement des apsides peut être représenté , en supposant une planète en mouvement dans une ellipse, tandis que l’ellipse elle-même tourne lentement autour du soleil dans le même plan 4. Ce mou-

» Note 6a. — * Note 5g. — 5 Note 6a. — * Note 63.

[ Sect. III.] VARIATION DE l’excentricité. 25

vement du grand axe, qui est direct dans toutes les orbites, excepté celle de Vénus, est irrégulier et si lent, que le grand axe de l’orbite de la terre met plus de i,o()3,83o ans à accomplir une révolution sidérale ■, c’est-à-dire, à revenir aux mêmes étoiles; et 20,937 ans à compléter sa révolution tropique *, ou à revenir au même équinoxe. La différence entre ces deux périodes provient d’un mouvement rétrograde du point équinoxial , lequel rencontre l’axe dans son mouvement direct, avant qu’il ait accompli sa révolution sidérale. Legrand axe de l’orbite de Jupiter ne met pas moins de 200,610 ans à accomplir sa révolution sidérale, et 22,748 ans à exécuter sa révolution tropique, par l’effet de l’action perturbatrice de Saturne seulement.

Une variation dans l’excentricité de l’orbite de la planète troublée est une conséquence immédiate des déviations de la courbure elliptique, occasionées par l’action de la force troublante. Quand la route que suit le corps en allant de son périhélie à son aphélie, est plus courbée qu’elle ne devrait l’être, par suite des forces troublantes, elle tombe en dedans de l'orbite elliptique, l’excentricité est diminuée, et l’orbite se rapproche de la forme circulaire; quand la courbure est moindre qu’elle ne devrait l’être, la route de la planète tombe en dehors de l’orbite elliptique3, et l’excentricité est augmentée; durant ces changemens, la longueur du grand axe n’éprouve aucune altération, l’orbite s’aplatit seulement ou devient plus bombée 4. Ainsi la variation qui a lieu dans l’excentricité provient de la même cause qui occasione le mouvement des apsides 5. Il existe une liaison inséparable entre ces deux élémens; ils varient simultanément et ont la même période; si bien que, tandis que le grand axe accomplit sa révolution eri

• Note 64. — * Note 65. - J Note 6s. — 4 Note 66. — * Note

MOUVEMENT DES NŒUDS. [ SeCt. III. |

une période immense de temps, l’excentricité augmente et diminue de quantités extrêmement petites, jusqu’à ce qu’enfin,à chaque révolution des apsides, elle revienne à sa grandeur première. L’excentricité terrestre diminue à raison de \i milles environ ( i5 lieues à peu près) annuellement ; et si elle devait décroître également, il s’écoulerait 37,527 ans avant que l’orbite de la terre devint un cercle parfait. L'action mutuelle de Jupiter et de Saturne occasionc des variations dans l’excentricité de leurs deux orbites; la plus grande excentricité de l’orbite de Jupiter correspond à la plus petite de l’orbite de Saturne. En ne calculant que l’action de ces deux planètes seules, le temps que ces vicissitudes mettent à s’accomplir embrasse une période de 70,414 ans; mais si l’on calculait l’action de toutes les planètes, le cycle s’élèverait à des millions d’années.

Nous voici arrivés maintenant à l’examen de cette partie de la force troublante qui agit perpendiculairement au plan de l’orbite, en occasionant des perturbations périodiques dans la latitude, des variations séculaires dans l'inclinaison de l’orbite, et un mouvement rétrograde de se» nœuds sur le vrai plan de l’écliptique1. Cette force tend à élever* le corps troublé au-dessus du plan de son orbite, ou à le pousser au-dessous, suivant les positions relatives des deux planètes à l’égard du soleil, considéré comme fixe. Il résulte de cette action , que le plan de l’orbite du corps troublé tend, tantôt à coïncider avec le plan de l’écliptique, et tantôt à s’en écarter. Conséquemment, ses nœuds avancent ou rétrogradent alternativement sur l’écliptique 3. Quand la planète troublante 4 est dans la ligne des nœuds de la planète troublée, elle n’affecte ni la latitude, ni l’inclinaison, parce qu’alors les deux planètes sont

» Note 67. — * Note 68. — 5 Note 69. — 4 Note 70.

igitized by GOOÿfe

[Sect. ni.] VARIATION DE L’INCLINAISON.

dans le même plan. Quand elle est perpendiculaire à la ligne des nœuds, et que l’orbite est symétrique de chaque côté de la force troublante, le mouvement moyen de ces points, après une révolution du corps troublé, est rétrograde et accéléré; mais quand la planète troublante est placée de telle sorte que l’orbite de la planète troublée n’est pas symétrique de chaque côté de la force troublante, ainsi que cela a lieu la plupart du temps, alors l’action produite varie de toutes les manières imaginables. Les nœuds sont donc constamment dans un état de mouvement progressif ou rétrograde, d’inégale vitesse ; mais comme la compensation n’a pas lieu, c’est, en définitive, le mouvement rétrograde qui prédomine.

A l’égard des variations qui s’opèrent dans l’inclinaison , il est évident que lorsque l’orbite est symétrique de chaque côté de la force troublante, toutes ces variations se trouvent compensées après une révolution du corps troublé, et ne sont autre chose que des perturbations qui s’exercent sur la latitude de la planète; de sorte qu’aucun changement séculaire n'a lieu dans l’inclinaison de l’orbite. Quand, au contraire, cette orbite n’est pas symétrique de chaque côté de la force troublante, il arrive toujours, quoique plusieurs des variations en latitude soient transitoires ou périodiques, qu’après une révolution complète du corps troublé, une partie reste non compensée, ce qui produit un changement séculaire dans l’inclinaison de l’orbite par rapport au plan de l’écliptique. Il est vrai qu’une partie de ce changement séculaire dans l’inclinaison est compensée par la révolution du corps troublant, dont jusqu’ici le mouvement n’a pas été pris en considération, de manière qu’une perturbation compense une autre perturbation; mais, en définitive, l’inclinaison est affectée d’une variation permanente relativement, laquelle ne se trouve

28 VARIATION DE L’INCLINAISON. [ SeCt. III.]

compensée que lorsque les noeuds ont accompli une révolution entière.

Les variations de l’inclinaison sont extrêmement petites’ comparativement au mouvement des nœuds, et la même sorte de liaison inséparable qui existe entre les variations des excentricités et les mouvemens des grands axes existe également entre leurs variations séculaires. Les nœuds et les inclinaisons varient simultanément, leurs périodes sont les mêmes, et elles sont très grandes. Les nœuds de l’orbite de Jupiter mettent, d’après l’action de Saturne seule, ^6,261 ans à accomplir une révolution, et ce n’est même qu’une révolution tropique. Jusqu’à présent nous n'avons considéré que l’influence d’un seul corps troublant; mais quand l’action et la réaction de tout le système sont prises en considération, chaque planète en particulier subit l’effet de toutes les autres , et exerce à son tour une action analogue sur elles; de là résulte que les inclinaisons et les excentricités sont dans un état constant de variation; que les grands axes de toutes les orbites accomplissent des révolutions continuelles, et qu’en somme un mouvement rétrograde des nœuds de chaque orbite s’accomplit sur chacune des autres orbites. L’écliptique* elle-même est en mouvement, par suite de l’action mutuelle de la terre et des planètes, de sorte que le système entier est un phénomène composé, d’une complication extrême, dont l’origine remonte à des siècles inconnus. A l’époque actuelle, les inclinaisons de toutes les orbites vont en diminuant; mais cette diminution s’effectue si lentement, que l’inclinaison de l’orbite de Jupiter n’est environ que de six minutes moindre aujourd’hui qu’elle ne l’était au temps de Ptolémée.

> Note 67. ’ Note 71.

[ SeCt. XII.] MOUVEMENS MOYENS ET GR. AXES.

Mais au milieu de toutes ces vicissitudes, les grands axes et les mouvemens moyens des planètes restent constamment indépendans des changemens séculaires; ils sont tellement liés par cette loi de Képler, savoir; que les carrés des temps périodiques sont proportionnels aux cubes des distances moyennes des planètes au soleil que les uns ne peuvent varier sans affecter les autres. Et il est reconnu que toutes les variations qui ontlieu sont passagères, et De dépendent que des positions relatives des corps.

Il est vrai que, suivant la théorie, la force troublante radiale devrait , jusqu’à un certain point, altérer d’une manière permanente les dimensions de toutes les orbites, et les temps périodiques de toutes les planètes. Par exemple, les masses de toutes les planètes qui accomplissent leurs révolutions en dedans de l’orbite d’une autre planète quelconque, telle que Mars, ajoutent leur propre masse à la masse du soleil , dont la force attractive se trouvant ainsi augmentée, doil par conséquent contracter les dimensions de l’orbite de cette planète, et diminuer son temps périodique; tandis que les planètes extérieures, relativement à l’orbite de Mars, doivent produire l’effet contraire. Mais la masse de toutes les planètes et de leurs satellites pris ensemble est si petite, comparativement à celle du soleil, que ces effets sont tout-à-fait insensibles, et n’ont pu être découverts que par des considérations théoriques. De plus, comme il est certain qu’aucune autre puissance n’occasione des changemens permanens dans les grands axes et dans les mouvemens moyens, on peut en conclure qu’ils sont invariables.

A. l’exception de ces deux élémens, il parait que tous les corps sont en mouvement, et chaque orbite dans un état de changement perpétuel. Quelque imperceptibles, pour a:nsi dire, que soient ces changemens, il est permis de supposer que, par la suite des temps, ils s’accumuleront au

STABILITÉ DU SYSTÈME

[Sect. III.

point de déranger tout l’ordre de la nature, d’altérer les positions relatives des planètes, de mettre fin aux vicissitudes des saisons, et d’occasioner des collisions qui transformeront en un triste chaos notre système aujourd’hui si rempli d’harmonie. Il est naturel de rechercher s’il n’existe pas quelque preuve que la nature sera préservée d’une si terrible catastrophe. L’observation ne peut nous être d’aucun secours dans celte recherche , l’existence de la race humaine n’occupant qu’un faible point dans la durée de la création comparativement à ces grandes variations qui embrassent des myriades de siècles; mais il existe une autre preuve simple et convaincante. Toutes les variations du système solaire, tant séculaires que périodiques, sont exprimées analytiquement par les sinus et co-sinus 1 d’arcs circulaires, qui augmentent avec le temps; et, comme un sinus ou un co-sinus ne peut jamais excéder le rayon, et ne peut, quelle que soit la durée du temps, qu’osciller entre les points zéro et l’unité, il suit de là que lorsque les variations auront mis un temps considérable à s’accumuler jusqu’à leur maximum, par de lents chungcmens, elles décroîtront dans les mêmes proportions qu’elles avaient augmenté, jusqu’à ce qu’elles arrivent à leur plus petite valeur; alors, recommençant une nouvelle course, leur mouvement d’oscillation se trouvera ainsi avoir toujours à peu près la même valeur moyenne. Ceci, toutefois, ne serait pas exact si les planètes se mouvaient dans un milieu résistant1; car alors, l’excentricité et les grands axes des orbites varieraient avec le temps, de sorte que la stabilité du système finirait par être détruite. L’existence d’un tel fluide est évidemment reconnue aujourd’hui; et quoiqu’il soit si rare, que jusqu’ici ses effets sur les inouvemens des planètes aient été tout-à-fait insensibles, on ne peut dou-

* Note 7a. — * Note 73.

[SeCt.llI.] STABILITÉ DU SYSTÈME.

ter pourtant que, dans l’immensité des temps, il ne modifie

les formes des orbites planétaires, et ne puisse même à la fin occasioner la ruine de notre système, qui en lui-même ne renferme aucun principe de dèstruction, à moins qu’un mouvement de l’ouest à l’est n’ait été imprimé à ce fluide par les corps du système solaire, qui tous, de tout temps, ont accompli dans ce sens leurs révolutions autour du soleil. Un tel tourbillon ne produirait aucun effet sur les corps qui se mouvraient avec lui, mais il influerait sur les mouvemens de ceux qui tourneraient en sens contraire.

L’on a généralement supposé que les trois circonstances suivantes étaient nécessaires pour prouver la stabilité du système: les petites excentricités des orbites planétaires, leurs petites inclinaisons, et les révolutions de tous les corps, tant planètes que satellites, dans un seul et même sens. Ces circonstances fournissent incontestablement les moyens de prouver que les changemens s’accomplissent dans des limites très resserrées. Cependant, quoique suffi* santés, elles ne sont pas des conditions nécessaires; la périodicité des termes dans lesquels sont exprimées les inégalités suffit (quoique nous ignorions l’étendue des limites et la période de ce grand cycle, qui probablement embrasse des millions d’années) pour nous donner la certitude qu’elles ne dépasseront jamais le point au-delà duquel elles pourraient altérer la stabilité et l’harmonie du grand tout que la nature entière tend si merveilleusement à conserver.

Le plan de l’écliptique lui-même, quoique supposé fixe à une époque donnée, pour la commodité du calcul astronomique, est sujet à une petite variation séculaire de 47^,55, occasionée par l’action réciproque des planètes; mais comme cette variation est aussi périodique} et ne peut excéder 9.° /, a', l’équateur terrestre, qui est incliné de a3° 27* 2 G environ à l’écliptique, ne coinciderajaniais avec ce plan ; de sorte qu’il ne pourra jamais y avoir de printemps

STABILITÉ DU SYSTÈME

[Sect. ni.]

perpétuel *. La rotation de la terre est uniforme; ainsi, le jour et la nuit, l’été et l’hiver, continueront à suivre le cours de leurs vicissitudes tant que le système existera ou jusqu’à ce que quelques causes étrangères viennent en troubler l’harmonie.

Yonder starry sphere

01 planets , and of lix’d , in ail lier whecb Rescmbles nearest 111a7.es intricate ,

Eccentric , intervolvcd, yet rcgnlar,

Tlien niost, vrheu raost irrcgular tliey seem.

( Paradisc Lost.

Danses mystérieuses ,

Labyrinthes mouvans des corps brillans des cieux ,

Qui venant, revenant, se croisant dans leurs jeux ,

Même dans leurs erreurs au grand ordre fidèles ,

Mêlent sans les brouiller leurs rondes éternelles.

( Traduction de Jacques Delille.)

La stabilité de notre système a été établie par Lagrange. « Cette découverte, dit le professeur Playfair, doit rendre » le nom de Lagrange mémorable à jamais dans les fastes » de la science, et le faire révérer par ceux qui se plaisent » à la contemplation de tout ce qui est excellent et suv blime. » Après la découverte des lois mécaniques des orbites elliptiques des planètes par Newton, la découverte que fit Lagrange de leurs inégalités périodiques , est sans contredit la vérité la plus sublime de l’astronomie physique; et, à l’égard de la doctrine des causes finales elle peut être considérée comme la plus grande de toutes.

Malgré la permanence de notre système, les variations séculaires des orbites planétaires auraient extrêmement em-

■ Note 75.