BD = BÂ — AD

et dans le système transformé, on a au contraire BD'==AD'-- BÂ.

Donc BD' est inverse ; donc sa valeur de corrélation est négative; donc pour avoir la formule correspond dante au système transformé, il n'y a qu'à substituer dans la formule du système primitif , -7-BD' à la place de B D. On trouveroit de même les "modifications qu'apporteroit toute autre mutation dans le système.

Q,3« Si, dans la formule de la proposition, on suppose AD = o ou BD = BA, DE deviendra A E , et la formule pourra se réduire à celle ci :

ÂE\BC = AB\ËC+AC2.BË — BC.BË.ËC^

par laquelle étant donnés les trois côtés d'un triangle et les segmens faits sur l'un d'eux , on trouvera la droite menée de l'angle opposé au point de séparation des deux segmens, et réciproquement..

96. On voit qu'il n'est pas toujours nécessaire pour trouver les cliangemens à opérer dans les formules, d'établir en entier la corrélation des figures;

il suffit le plus souvent d'une légère attention pour reconnoître quelles sont les quantités qui deviennent inverses , et dont les valeurs doivent par conséquent changer de signes. Mais il est essentiel d'en connoître le principe ; et dans les cas compliqués, il est nécessaire de l'appliquer dans toute son étendue.

97* Il est encore à remarquer que l'énoncé technique d'une proposition comme celle qu'on vient de voir , ne suppose pas qu'on ait sous les yeux le tracé de la figure, et qu'elle le supplée ; car l'énoncé même de la proposition précédente apprend , sans gue la figure soit tracée , qu'elle est composée de deux triangles ABC, B D E , et de deux lignes droites , contenant chacune trois points rangés dans un ordre donné , lesquels sont , pour la première , A, D, B, rangés dans l'ordre indiqué ADB; et pour la seconde B, E, C, rangés dans l'ordre BEC. Or , avec ces données , on a tout ce qu'il faut pour construire la figure proposée ; ce qui ne pourroit avoir lieu sans beaucoup de longueurs en langage ordinaire. Ainsi , l'énoncé technique contient une sorte de description symbolique qui renferme ellemême implicitement la description graphique. Ce n'est pas qu'il ne soit très-utile de s'aider de cette dernière 5 mais il l'est souvent aussi de pouvoir s'en passer , et de n'avoir à opérer que sur les symboles. C'est même en cela que consiste un des plus grands avantages de l'algèbre, pouvoir se passer de l'inspection de la figure aussi-tôt que ses propriétés en sqnt traduites en phrases analytiques. Le reste de

cet écrit fournira plusieurs occasions de développer davantage ces idées.

PROBLÈME Ier.

98. D'un point quelconque C pris pour centre (fîg- 6) , soit décrite une circonférence A F A' F', et soient tracés dans cette circonférence deux diamètres A A', F F', perpendiculaires l'un à l'autre.

Sur le premier quart A F de la circonférence , soit pris à volonté un point B , et de ce point , soient menées les perpendiculaires B D, BE, sur les diamètres A A', F F', respectivement ; soient enfin menées du point A une tangente indéfinie H A H', du centre C par B , la sécante indéfinie C H 5 et du point F, la tangente F G.

Cela posé, prenant pour terme de comparaison ou système primitif la figure ABCDEFGH, on propose d'établir la corrélation qui existe entre ce système primitif et les divers systèmes corrélatifs gui peuvent être formés , en supposant que le point B prenne successivement d'autres positions quelconques sur la cii*confércnce tracée.

Solution. Il faut, d'après ce qui a été dit, concevoir que les rapports existans entre les quantités qui composent le système proposé, soient exprimées par des formules qui ne contiennent que ces mêmes quantités, et dans lesquelles les signes 4- et — n'aient d'autre emploi que celui d'indiquer des opérations

exécutables sur ces mêmes quantités ou valeurs absolues ; et la question est de trouver comment on peut rendre ces formules immédiatement applicables au système transformé, lorsque le point B passe par degrés insensibles de sa position actuelle à une autre quelconque sur la circonférence tracée.

99. Imaginons d'abord que le point B se meuve sur le premier quart de la circonférence, soit en se rapprochant du point A , soit en se rapprochant du point F, et que , pour chacune de ces positions , on établisse le système corrélatif à celui qu'on a pris pour terme de comparaison; c'est-à-dire, qu'on mène les lignes correspondantes à celles qui entrent dans la composition du système ci-dessus ; tous ces systèmes particuliers ne seront autre chose que le premier système transformé de diverses manières , par degrés insensibles.

Mais il est évident que le point B n'étant pas sorti de ce premier quart de circonférence, et n'ayant par conséquent passé ni par le point A , ni par le point F, aucune des quantités du système n'aura passé ni par o, ni par 00 . Donc le système transformé sera toujours demeuré en corrélation directe avec le système primitif ( 1 6) ; donc tant que le point B ne sortira pas de ce premier quart de circonférence , aucune des valeurs du système transformé ne deviendra inverse ; donc les formules du système primitif lui seront immédiatement applicables.