AE" + BE + CE + DE

12o. En effet, le diamètre étant représenté par 1 , chacun des angles qui ont leur sommet à la circonférence a ( 126 ) pour sinus la corde sur laquelle il est appuyé. Donc d'abord

B D = sin m , C D = sin n ,

ainsi qu'il est porté au tableau précédent. De plus , l'angle E étant droit par hypothèse, l'angle ABC est complément de m , et A C B complément de n. Donc on a aussi

AB = COS72, AC = cos/?z,*

et par la même raison , B A C étant m + n , on a

B C '= sin ( m + n ) , comme il est porté au tableau.

ts étant le quart de la circonférence, l'angle ABD ouABC + CBD sera ^ — /72 + n9 ou complément de m — n. Donc

AD = cos ( m — n ) , comme le porte le tableau.

Menons la droite A F prolongée jusqu'à la circonférence enG, et tirons B G. Puisque par l'hypothèse on a F E f= EC, on aura

donc BAG = m — n ;

donc BG= sin (m — n ).

Or, il est facile de voir que le triangle BGF est

isoscèle, c'est-à-dire , que B F = B G : donc

B F = sin (m — n ) , comme l'indique le tableau ; et par un raisonnement semblable , on verra que AH= cos {m -\- n ).

La somme des deux segmens B E , CE, est B G ou sin ( m + n ) , et leur différence est B F ou sin {m — n). Donc le plus grand,

B E — 7 sin ( m + tf ) + z sin (m — n ) ,. et le plus petit ,

CE = {sin (m + n) — ^sin(m — n), ainsi qu'il est porté au tableau j et par un raisonnement semblable , on verra que

AE = f cos ( m — n ) -{- \ cos ( m + n ) ? et. DE =7 cos ( 772— n ) — \co&{m-\-n).

Puisque B G est la somme des segmens B E,. G E,

et BF leur différence, le produit BC.BF, ou

sin ( m + n ) . sin ( m — n ) , sera la différence des

quarrés de ces segmensj c'est-à-dire, qu'on aura

BC.BF = Bl3 — Cl2:

mais le triangle rectangle A B E donne

BË2 = ÂB2 — AÊ%

et le triangle ACE donne

CE2 = AC3— IÊ\

Otant cette dernière de la précédente , on aura

BE2 — CE2 = AB2 — AC2 = cos2/z — coss madone B C . B F — cosa n — cos2 m, comme l'indique le tableau. De même on trouvera

AD. A H = cos {m — n ) . cos ( m + n ) = cos2 m — sin* n = cos3 n — sin2 m. L'angle E , qui est droit , ayant pour mesure la

moitié de la somme des arcs AB , CD , la somme de ces arcs fait moitié de la circonférence : donc la

somme des quarrés des deux cordes A B , DC; est égale au quarré du diamètre : donc

A B + D C ou sin3 n -f cos2 n = i , et pareillement ,

AC +BD = sin* m + cos* m; et puisque le triangle rectangle ABE donne... AB2 =ÂË2 + B~Ë2, et le triangle D C E

DC2 = CE2+ DE , on aura , en ajoutant ces équations ,

ÂB2+DC3 ou i=ÂË2 + BÊ2+CË2+LTË2, comme il est porté au tableau.

129. D'un autre côté, le triangle ABE donne AB ou cos tz : B E :: 1 : sin ma-

done B E =sin m . cosn;

et de la même manière , les triangles rectangles

ACE, BDE, DCE, donnent

C E = sin n . cos m ,

A E = cos m . cos n ,

D E = sin m . sin n , ainsi que l'indique le tableau.

Enfin 7 ajoutant ensemble la première et la seconde de ces dernières équations , on a

BE-fCE,

ou B C = sin(m 4- n) = sin m, cos n 4- sin n, cos m.

En retranchant , au contraire , la seconde de la première, on a

sin ( m — n) = sin m . cos n — sin n . cos m ;

en ajoutant la troisième et la quatrième ensemble, on a

cos (m — n ) = cos m . cos n + sin m . sin n ; et en retranchant, au contraire, la quatrième de la troisième, on a

cos ( m + n ) = cos m » cos n — sin m . sin n , conformément à ce que porte le tableau.

Toutes les formules portées dans ce tableau se

trouvent donc démontrées , et la figure g, dont il est la traduction analytique, représente d'une manière simple les rapports cherchés entre les sinus et cosinus des angles proposés, ceux de leur somme et ceux de leur différence. Je ne m'étendrai pas sur les nombreuses conséquences qu'on a tirées de ces rapports élémentaires, mon objet n'ayant été que d'en offrir l'ensemble sous un nouveau point de vue.

l5o. Dans les raisonnemens précédens , nous avons supposé m , n, et m -f n, moindres, chacun, que le quart de la circonférence : ainsi , les formules sont explicites pour cette hypothèse. On peut maintenant attribuer à m , n , d'autres valeurs quelconques, et même de négatives ; mais les nouvelles formules qui en résulteront, cesseront d'être immédiatement applicables au système que nous venons de considérer ; elles se rapporteront à d'autres systèmes corrélatifs , qu'on trouvera dans chaque cas particulier , en voyant quel est celui qui satisfait aux formules ainsi modifiées.

1 3 1 . Supposons , par exemple , que la droite B C se meuve parallèlement à elle-même , en se rapprochant du point A jusqu'au-delà du centre du cercle. L'angle BACouw + n deviendra obtus ; mais ni m , ni n , n'auront passé ni par o , ni par oo . Ainsi , leurs signes de corrélation ne changeront pas dans les formules trouvées, lorsqu'on voudra en faire l'application au nouveau système.