DG.BG^CG. AG

ainsi des autres.

lo4. Mais la figure proposée a aussi d'autres propriétés qui doivent éprouver des modifications , suivant la corrélation de position des points A, B, C , D , entre eux. Par exemple , j'ai remarqué, dans un autre écrit, une propriété assez curieuse de la figure que nous considérons ici ; c'est

que la somme des trois droites DA, DB, DC, menées du point D à chacun des trois autres A , B , C, est égale à la somme faite du diamètre du cercle AB A'C , circonscrit au triangle A B C , et du diamètre du cercle , qui seroit inscrit à ce même triangle.

Or, cette propriété est également applicable à chacun des autres points A, B, C, mais avec une modification qui se tire de la corrélation de position des points , et qui consiste en ce que , quand l'un des angles devient obtus , la perpendiculaire abaissée de cet angle, sur le côté opposé, devient inverse , et par conséquent sa valeur de corrélation négative. Ainsi , par exemple , pour le triangle BDC , où l'angle D est obtus, la somme faite du diamètre du cercle inscrit , et du diamètre du cercle circonscrit, est égale, non pas à la somme des droites A B , A C , AD , mais à cette même somme modifiée par le changement du signe de corrélation de AD ; c'est-à-dire, ÂÏF + ÂC — ÂD.

155. Les perpendiculaires AH, B G, CF , décomposent le triangle ABC en trois quadrilatères AFDG, BFDH, CGDH, dont chacun a deux angles droits opposés en diagonale , et par conséquent est inscriptible dans un cercle. On peut donc appliquer à chacun d'eux les propriétés connues des quadrilatères inscrits.

1 56. Soit dans l'un d'eux A FD G , par exemple ,

menée la diagonale FG, qui joint les deux angles droits, et proposons-nous d'en trouver le rapport

avec l'autre diagonale AD du même quadrilatère*

Pour cela concevons sur AD , comme diamètre, une circonférence décrite ; cette circonférence passera

par les points F et G y F G sera donc une corde da

FG ce cercle, et par conséquent (126) sin. FAG= •

donc on aura

FG = AD. sinFAG,

ce qui donnera le rapport cherché par cette proportion FÔf: ÂJJ :: sinFAG: 1.

107. Puisqu'en nommant R le rayon du cercle ABA'C nous avons aussi

RC sinFAG ou sin BAC = ,

on aura , en substituant cette valeur dans l'équation précédente ,

FG=A° : BC ouFG:AD::BC:2R.

Î98. Pour faire une application de ce que nous venons de dire particulièrement sur les quadrilatères à deux angles droits opposés , tels que celui dont nous venons de parler, soient {fig. i5 ) trois circonférences tracées dans un même plan -, on demande qu'il soit tracé une quatrième circonfé" rence , qui soit tangente aux trois autres.

Soient A , B , C , les centres des trois circonfé rences données ; X , celui de la circonférence cherchée. Formons le triangle ABC, et du centre X, menons à chacun des autres une droite. Du même

point X , menons sur A B et B C les perpendiculaires XE , XF, et joignons E, F, par la diago-

naleÊF.

Les angles BEX, BFX, étant droits l'un et l'autre, si l'on conçoit sur BX , comme diamètre, une circonférence tracée , elle passera par les points E, F, et par conséquent (i56) on aura

ËF = BX.sinABC;

ou élevant au quarré ,

ËF2==BX2 . sin2 ABC.

D'un autre côté , dans le triangle E B F , on a

ËF2 = ËB2 + BF2 — 2ËB.BF. cosABC:

égalant donc ces deux valeurs de EF% on aura BX2 . sin2 ABC=EB2 -f BF2— 2EB.BF.c0s ABC. Cela posé, soient x le rayon de la circonférence cherchée, A,B,C, les rayons des circonférences qui ont leurs centres respectifs aux points de mêmes dénominations ; a , b , c , les côtés du triangle ABC, respectivement opposés aux angles A , B , C ; et enfin m ,n } le sinus et le cosinus de l'angle connu ABC. L'équation trouvée ci- dessus deviendra donc ,

(B -f- x)3 m2 = ËB2 +~BF2 — -sEB . BF . m

Il reste donc à trouver E B et B F en valeur de x , pour avoir une équation qui ne renferme que cette inconnue , avec des quantités données.

Or , dans le triangle X B A , on a

ËB2 — ÂË2 = BX — ÂX2,

ou mettant pour AE sa valeur AB — - EB ou c — -E0,

DES FIGURES DE GEOMETRIE. lit

pour "X sa valeur B -j- x, pour AX sa valeur A + x 9 on aura

2ËB. c — c*=B* — Att+ (2B— -aA)*,

Btt — Aa+ ca+ (2B- 2A)»

ou EB= — -

On trouve de la même manière ,

Ba — Ca + aa 4- (2B-2C)a?