BF

Substituant donc ces valeurs de E B et-BF dans l'équation trouvée ci-dessus , nous aurons

■C24-gs+(qB — 2C).o?

(B*— As+ca+(2B— 2A).^.(Ba— C2+a2+f2B— 2C).x)

2 a c équation qui ne monte qu'au second degré.

169. J'observerai , en passant, une propriété particulière des circonférences , qui , comme celles dont on vient de parler , sont dans un même plan et se touchent {fig- i4 ). C'est qu'en général, si une circonférence (ABC) en touche à la fois deux autres (ADG, BFH,) la droite ( AB ) menée par les deux points (AB) de contingence , ira couper ces dernières circonférences en deux points ( D , F) , tels que si de chacun de ces points on mène un diamètre ( DG, FH ) à la circonférence sur laquelle il est placé , ce diamètre sera

112 DELA CORÎIELATÎON

■parallèle a la ligne des centres ( KB, KAi) des deux autres circonférences.

Si le rayon de l'une de ces circonférences devient infini , cette circonférence pourra être prise pour une ligne droite {fig. i5 ) , et par conséquent si une circonférence (ABC) touche à la fois une autre

circonférence (FCG) et une droite (AE) données t la droite ( A C G ) menée par les deux points de contingence passera nécessairement par Vune des extrémités du diamètre (FG)^ cette seconde circonférence , perpendiculaire à la droite donnée. Les mêmes propriétés ont lieu lorsqu'une sphère en touche à la fois deux autres, parce qu'alors les trois centres et les deux points de contingence sont nécessairement dans un même plan. Ces propriétés sont utiles pour tracer des cercles et des sphères tangentes , sous certaines conditions données. Je reviens à l'objet du problême que nous nous sommes proposé.

1DO. Pour trouver les rapports qui existent entre les douze angles et les dix -huit droites de la figure proposée ( 147 ) , je rapporte toutes ces quantités à trois d'entre elles,, lesquelles suffisent évidemment pour terminer toute la figure , pourvu que ce ne soient pas trois angles ; mais pour plus d'uniformité dans l'expression de ces rapports, j'introduis dans le calcul une nouvelle droite, qui servira de terme de comparaison à toutes les autres. Je choisis pour ce terme de comparaison le

rayon

DES FIGURES DE GEOMETRIE. n3 rayon du cercle circonscrit au triangle ABC, et je nomme ce rayon R. Je prends , avec ce rayon , les deux angles B AD , C AD , et ces trois quantités sont celles auxquelles je rapporte toutes les autres dans le tableau suivant, dont la formation ne peut souffrir de difficultés , d'après les résultats du problême précédent. On verra qu'outre les dix-huit droites dont j'ai parlé, j'ai compris dans ce tableau les trois droites FÏÎ , GÎÏ , FG.

l6l. Je donnerai à ce tableau la forme d'un énoncé technique, comme il suit. D'après les notions données ( y'ô et suw. ).

Soient A B C , D pris sur l'aire du triangle ; ÂB1 CD, ÂC1 BÏ> , BC1 ÂD, R le rayon du cercle circonscrit ; vs V angle droit 3 on aura

Valeurs des angles.