PROBLÈME IV

166. Trouver les rapports qui existent entre les côtés d'un quadrilatère quelconque , ses diagonales , les segmens et les angles qui en résultent^

Solution. Soit ABDC (fîg. 16 ) le quadrilatère

proposé : prolongeons les côtés AB, DC, jusqu'à ce qu'ils se coupent au point F , et pareillement les

côtés opposés AC, B D , jusqu'à leur rencontre au point Gi Menons enfin les deux diagonales AD, BG, nous trouverons dans cette figure trente-trois choses, à considérer ; savoir y dix-huit droites et quinze angles. Ces dix-huit droites sont, 1°. les quatre côtés du quadrilatère et ses deux diagonales, lesquels ensemble, au nombre de six, ont cette propriété commune , que chacun est la droite qui joint deux des quatre angles du quadrilatère; 20. les douze segmens formés deux à deux sur chacun des côtés ou des diagonales" dont nous venons de parler. Quant aux quinze angles, ce sont ceux qui sont formés par ces mêmes côtés ou diagonales y pris deux à deux : sur quoi il est à observer que je compte pour un seulement chacun de ces angles et son supplément. Or f de ces trente-trois choses à considérer, il est clair qu'il suffit rd'en connoître cinq quelconques, pourvu que ce ne soient pas cinq angles , et qu'elles ne soient pas implicitement renfermées les unes dans

Il8 DE LA CORRÉLATION

les autres , pour que tout le reste de la figure soit

déter

mine.

167. Pour découvrir les propriétés de cette figure, je commence par considérer seulement les quatre côtés du quadrilatère proposé avec leurs huit segmens , en supprimant les deux diagonales: elle se réduira donc à ABCDFG (Jig. 17), dans laquelle on voit qu'il se trouve quatre triangles ABG, ACF, FBD, GCD. Chacun de ces triangles est formé par trois côtés du quadrilatère , et n'en a par conséquent aucun qui soit pris sur le quatrième. Par exemple, le second, ACF, n'a aucun de ses côtés pris sur BG, tandis que les trois autres triangles ont chacun un des leurs pris sur cette même droite BG. Je forme, pour chacun de ces derniers , la proportion qui existe entre ses deux autres côtés

non pris sur BG et les sinus des angles opposés, en les disposant comme il suit :

AB:ÂG :: sin. AGB :sin. ABG FD:FB :: sin.FBG:sin.FDB CG.CD:: sin.CDG.sin.CGD.

Multipliant ensemble ces trois proportions, et réduisant en observant que les angles qui sont égaux ou supplémens l'un de l'autre ont le même sinus , on aura

ÂB . FD , CG = ÂG . F B . CD.

168, Mais à cause des changemens d'ordre qu'on peut faire éprouver aux quatre points donnés

A, B, C, D, il est clair que lafigure contient douze systèmes corrélatifs , le premier compris , desquels chacun doit donner une équation semblable à la précédente. Voici le tableau de corrélation de construction de ces douze systèmes , avec les équations correspondantes , en prenant celle que nous venons de trouver pour la première.

Tableau général de la corrélation de construction des douze systèmes.

i°TSyst. ABCDFG...lB.FD.CG=Ii&.FB.CD 2e Syst. BDACGF...BD. GC. ÂF=BF. GD. ÂCJ 5e Syst. DCBAFG...DC.FÂ.BG=DG .FC.BÂ| lit Syst. CADBGF...CÂ.GB.DF=CF.GÂ.DB 5e Syst AFGDBC...ÂF.BD.GC=ÂC.BF.GJ3 6e Syst. FDAGCB...FD. CG. ÂB=FB. CD. ÂGJ 7e <yj^.DGFABC...DG.BÂ.FC=DC.BG.FÂ| 8e 4S>^.GADFCB...GA.CF.DB=GB.CA.DF

9e Syst. BFGCAD...BF. ÂC . GD=ÏÏD . AF. GC 1 oe Syst. CGFBAD...CG . ÀB . FD=CD . ÂG . FBJ iie*Sy5^.FCBGDA...FC.Ï5G.BÂ==FÂ.DC.BGj 12e Syst. GBCFDA...GB.DF.CÂ=GÂ.Ï)B.CF

16^. La formation de toutes ces équations est sans aucune difficulté , dès qu'on en a une , et que la corrélation de construction est établie, puisqu'il n'y a qu'à suivre la correspondance des points. Ces

douze équations se réduisent à quatre; les quatre premières , les quatre du milieu ou les quatre dernières ; car chacune d'elles se trouve répétée trois fois : par exemple, la première, la sixième et la dixième sont les mêmes; de même que la seconde , la cinquième et la neuvième. Or , les quatre premiers systèmes ne sont autre chose que le quadrilatère proposé ABCD; c'est-àdire, dont les quatre angles A, B, C, D, sont tous saillans : les quatre systèmes du milieu ne sont que le quadrilatère AFDG, qui a les trois angles saillans A, F, G, et l'angle rentrant D : et enfin les quatre derniers systèmes sont la figure BFCG, dont les quatre angles sont saillans, et qui forme deux triangles opposés par le sommet , mais à laquelle on peut également donner le nom de quadrilatère , puisqu'il a aussi quatre cotés , et donne , comme on le voit , les mêmes résultats que le quadrilatère proposé.

170. Ces trois quadrilatères ont chacun leurs quatre côtés pris sur les quatre mêmes droites , et forment entre eux trois figures indirectement corrélatives ; mais comme les équations que nous tirons de l'une ne sont qu'à deux termes, elles sont immédiatement applicables aux deux autres.

17 !• On peut remarquer, en passant, que des six points A , B , C, D , F, G , qui forment les angles des trois quadrilatères en question, il y en a toujours trois en ligne droite , et qje ces trois points forment deux à deux, par leurs distances, trois côtés

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 121 qui appartiennent respectivement aux trois quadrilatères. Par exemple, F, D, C, sont en ligne droite, et de plus DC est un des côtés du quadrilatère ABDC; FD , l'un des côtés du quadrilatère

A F D G ; et F C , l'un des côtés du quadrilatère BFCG.

172. Nous venons devoir que les douze équations trouvées se réduisent à quatre. Par exemple, aux quatre premières , ces quatre équations se réduisent elles-mêmes à trois ; car multipliant ensemble la première et la troisième, on obtient le même produit qu'en multipliant ensemble la seconde et la quatrième.

En multipliant en croix les deux premières, on a