PROBLÈME V

190. Trouver les rapports qui existent entre les côtés et les angles d'un polygone quelconque fermé.

Solution. On sait que dans le triangle qui est le plus simple de tous les polygones , chacun des côtés est égal à la somme des deux autres, multipliés chacun par le cosinus de l'angle qu'il forme avec le premier : et de ce principe on peut déduire toutes les propriétés du triangle ; car si l'on suppose que A , B , C , soient les trois angles , a , b , c , les côtés respectivement opposés à ces angles , ce principe donnera les trois équations suivantes :

a = b . cos C -V c . cos B b = a . cos C+ c. cos A c = a . cos B + b . cos A.

Ces trois équations renferment les six choses à considérer dans le triangle , représentées par a,b ,c, cos A , cos. B , cos. C , et par conséquent trois d'entre elles étant données , sauf l'exception connue des trois angles, ces équations suffiront pour faire trouver le reste , en éliminant successivement les inconnues par les règles ordinaires de l'algèbre.

1Q,4. Mais cette propriété n'appartient pas seulement au triangle , elle est commune à tous les polygones , et s'étend même aux polygones gauches ; c'est-à-dire, qui n'ont pas tous leurs angles dans le même plan.

l4o DE LA CORRELATION

En effet , prenons pour terme de comparaison ou système primitif, un polygone A CD F GB (figio) , tel qu'en prenant l'un des côtés AB pour base, et abaissant de tous les autresangles C,D,F,G, des perpendiculaires Ce, De?, Ff, Gg, sur cette base, toutes ces perpendiculaires tombent entre le point A

et le point B. Je dis que cette base AB sera égale à la somme des côtés ÂC, CD, DF, FG, GB ; multipliés chacun par le cosinus de l'angle qu'il forme avec cette même base AB, en les prolongeant s'il en est besoin , ainsi que la base, jusqu'à ce qu'elle soit coupée par eux tous.

En effet , on a évidemment

ÂB = Xc' + 7d+df+Jg-{-gB; or, le triangle CAc donne

Ac = AC . cos CAc.

Pareillement en prolongeant CD jusqu'au point m

de la direction de la base AB,ona, à cause des triangles semblables mCc , mDd,

cd:CD :: me : m C,

, me

ou cd = CD

mC

Or , il est clair que

= cos Cm c.

mC Donc cd = CD . cos Croc.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l4l Le même raisonnement ayant visiblement lieu pour tous les autres côtés DF, F G , GB , la proposition avancée s'en suit nécessairement pour ce cas, quel que soit le nombre des côtés du polygone.

1Q.5. Concevons maintenant que ce système primitif vienne à se transformer d'une manière quelconque par degrés insensibles, tous les nouveaux polygones qui en résulteront seront autant de systèmes corrélatifs ; et pour leur rendre immédiatement applicable la proposition que nous venons d'établir sur le système primitif, il suffit d'y substituer à chacun des côtés et des angles dont il s'y agit , sa valeur de corrélation.

Supposons donc que ACDFGB (fig. 21 ) représente le système transformé , nous avons à comparer cette figure avec la première. Mais il est clair que cette transformation a pu s'opérer sans qu'aucune des quantités dont il s'agit ait passé ni par o ni par 00. Seulement les angles et les côtés qui sont les seules quantités dont il soit parlé dans la proposition , auront pu diminuer ou s'agrandir par la mutation, mais non jusqu'à o ou à 00. Donc la proposition est immédiatement applicable à tous les systèmes corrélatifs possibles. Donc , en général ,

Dans tout polygone , un côté quelconque est égal à la somme de tous les autres , multipliés chacun par le cosinus de l'angle qu'il forme avec le premier.

19k' Lorsque l'angle formé par la base et l'un

|42 DELACORRELATIOK

des côtés, est obtus, la valeur de corrélation du co-* sinus devient négative (122)5 mais il n'y a rien à changer pour cela dans l'énoncé de la proposition ; car nous avons dit (119) que par ces expressions de sinus , de cosinus , etc. on entendoit toujours les valeurs de corrélation , et non les valeurs absolues, à moins qu'on n'avertît expressément du contraire. Ainsi , par le cosinus d'un angle obtus , par exemple , on entend la valeur absolue, du cosinus de cet angle, prise collectivement avec son signe; et c'est cette valeur collective qu'on exprime dans le calcul par la caractéristique cos.

Il en est de même , en général , dans l'algèbre , pour toutes les espèces de quantités. Ce ne sont jamais ces quantités même , mais toujours leurs valeurs de corrélation dont on parle , à moins qu'on n'en avertisse expressément dans chaque cas particulier , ou une fois pour toutes , par une dénomination spéciale , comme je l'ai fait au commencement , en réservant l'expression de quantités pour désigner les valeurs absolues ; c'est même ce qui distingue particulièrement l'analyse delà synthèse, où l'on ne peut jamais raisonner que sur des objets réels et effectifs (1).

(1) Je crois que toute autre distinction entre la synthèse et l'analyse est illusoire. La synthèse est, dit-on, l'art de s'élever graduellement des vérités les plus simples aux plus composées, par le rapprochement et là combinaison des premières ; tandis que l'analyse est l'art de décomposer une vérité compliquée en ses principes élémentaires ; c'est-à-dire , l'art

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l43

197. Pour ne pas se tromper dans l'application de la proposition précédente , il faut donc bien prendre garde à ne pas confondre les angles que forment entre eux les côtés , avec les supplémens de ces mêmes angles , puisque deux angles supplémens l'un de l'autre ont bien pour leurs cosinus respectifs , les mêmes valeurs absolues , mais non le même signe de corrélation , celui du cosinus des angles obtus étant toujours — .

de vérifier de proche en proche si une proposition ou un résultat quelconque proposé , s'accorde avec ces principes élémentaires ou axiomes , et s'en trouve une conséquence nécessaire. Mais il est évident que les raisonnemens à faire dans l'un et l'autre cas, sont les mêmes pris dans un ordre rétrograde. Ce n'est donc pas une différence essentielle entre les deux méthodes , et l'on ne voit pas là ce qui donneroit à l'une un si grand avantage sur l'autre.

Les caractères ou signes que l'une emploie , tandis que l'autre n'emploie communément que le langage ordinaire , n'établissent pas par eux-mêmes une distinction plus réelle ; car dans la synthèse on emploie souvent ces signes comme singles abréviations) et l'on ne fait pas pour cela de l'analyse. Et réciproquement , une formule analytique traduite en langage ordinaire , ne devient pas pour cela une proposition synthétique.

Mais ce qui distingue essentiellement les deux méthodes, c'est qu'en synthèse les signes ne sont véritablement que des abréviations , qu'elles n'indiquent jamais que des combinaisons possibles , des opérations exécutables , parce qu'en synthèse l'esprit ne perd jamais de vue son objet , qu'il faut que cet objet soit réel et net, ainsi que tous les rapprochemens et toutes les combinaisons qu'on en l'ait. Dans l'analyse , au contraire, on admet des objets qui n'existent pas; on le^ repré-

Pour cela, il faut distinguer l'intérieur et l'extérieur du polygone. Or, dans le système primitif ^ nous avons établi notre raisonnement sur les angles formés par les faces intérieures des côtés du polygone, et non par les faces extérieures. Ce sont donc toujours celles-là qu'il faut considérer dans toutes les mutations qui arrivent. Par exemple, nous disons que A c est égal à A C , multiplié par le cosinus de l'angle que forme le côté A C avec la base A B ;

sente par des hiéroglyphes aussi bien que ce qui est effectif. On mélange les êtres réels avec les êtres de raison ; puis par des transformations méthodiques, on pai*vient à éliminer ou chasser ces derniers du calcul : alors ce qu'il y avoit d'inintelligible dans les formules disparoit ; il reste ce qu'une synthèse subtile auroit sans doute pu faire découvrir. Mais ce résultat, on l'a souvent obtenu par une voie plus courte, plus facile, et presque par pur mécanisme , lorsqu'il auroit fallu des efforts prodigieux pour y parvenir autrement. Tel est l'avantage de l'analyse , et par conséquent celui des modernes sur les anciens.

Au nombre des êtres de raison ou des objets qui n'existent pas , et que cependant on représente par des symboles , sont les quantités dites négatives , lorsqu'elles sont isolées ou précédées de quantités moindres qu'elles ; car soit qu'on les regarde comme moindres que o , soit qu'on les regarde comme prises en sens contraire des quantités positives , elles sont également inintelligibles , et l'on seroit exposé à tirer des conséquences fausses, soit de l'une , soit de l'autre de ces notions.

En effet, dans le premier cas, on dira que , puisqu'on a le droit de négliger dans le calcul une quantité qui est o , à plus forte raison doit-on avoir celui de négliger une quantité moindre que o. Dans le second cas, on dira que, dans une courbe, comme le cercle ou la parabole, si l'axe coupe les

or,

DES FIGURES DE GEOMETRIE. i45

or , AC forme avec AB deux angles CAc, et C Ara, mais il ne s'agit point de ce dernier dans la proposition ; il n'est question que de l'angle CAc, formé par la face intérieure de C A et la face intérieure de AB , ce dont on peut se faire une idée sensible , si l'on imagine , par exemple , que la paroi intérieure du polygone est de couleur blanche , et les faces -extérieures de couleur noire , car alors il ne s'agira dans la proposition , que des angles formés par les

ordonnées en deux parties égales , l'une d'elles étant négative pendant que l'autre est positive , la somme des deux est o ; que par conséquent aussi l'aire de la courbe est o, ainsi que le solide de révolution, etc. Rien ne pourra faire connbître , par exemple encore , si , la sécante d'un arc étant positive , celle de son supplément est positive ou négative ; car celle-ci fait un angle avec la première , et ne peut être dite par conséquent, ni dans le même sens qu'elle, ni dans un sens contraire. Mais comme la sécante du premier de ces arcs est positive, on se croira au moins bien fondé à affirmer que la sécante de ce même arc augmenté de la demi-circonférence, est aussi positive , puisqu'elle se confond exactement avec la pi-emière, tant pour sa grandeur que pour sa direction ; et cependant on sera dans l'erreur, puisque la sécante d'un arc dont le dernier point tombe sur le troisième quart de la circonférence , est toujours négative.

Il convient donc de distinguer , comme je l'ai fait , les quantités, qui sont des objets réels, des valeurs , qui sont ces mêmes quantités prises collectivement avec leurs signes ; c'està-dire, de simples formes algébriques , lesquelles ne donnent souvent des phrases intelligibles qu'aprèâ avoir éprouvé diverses transformations qui dégagent les quantités effectives de ces signes par lesquels éloient indiquées des ojaérations non exécutables.

l46 DE LA CORRÉLATION

faces de couleur blanche. Dans cette supposition , il faut imaginer que si l'on prolonge chacun des ■côtés indéfiniment, chaque faoe conserve la même couleur dans toute son étendue. Ainsi en prolongeant AB et CD jusqu'en, m , on voit , d'après cette notion , que l'angle Cm A est formé par la face blanche de CD et la face blanche de AB, prolongées l'une et l'autre ; mais qu'au contraire l'angle m C A est formé par la face blanche de CD prolongée, et la face noire de C A.

1C)8. Il faut appliquer la même notion aux plans qui forment les faces d'un polyèdre. Lorsqu'on parle des angles formés par ces plans entre eux, c'est toujours delà partie qui regarde l'intérieur du polyèdre ou son prolongement du même aspect , qu'on entend parler ; c'est-à-dire , qu'en supposant la paroi intérieure de ce polyèdre de couleur blanche, et cette couleur étendue sur le même côté de cette face indéfiniment prolongée , l'angle est toujours censé celui qui est formé par les deux parois blanches, ou si l'on veut, parles deux parois noires entre elles ; car ces deux angles sont opposés par le sommet, et par conséquent égaux , tandis que l'angle formé par la paroi blanche et la paroi noire , entre elles j n'est que le supplément de celui que l'on considère.

Au reste, tout ceci n'est que pour aider l'imagination. La règle générale est qu'il faut toujours partir du système primitif, et le suivre graduelle-

ment dans toutes ses transformations, pour savoir ce que devient chacun des angles, chacun des côtés , et reconnoître ainsi les quantités correspondantes.

199. Supposons que par l'effet de cette transformation graduelle, le polygone devienne gauche; c'est-à-dire, que les points A, C, D, F, G, B, cessent de se trouver tous dans un même plan , la droite A B {fig. 20 ) n'en sera pas moins la somme des segmens Ac, cd , df ', etc. Mais comme les droites CD , AB , même prolongées , peuvent ne plusse rencontrer, il faut savoir ce que deviennent les valeurs de corrélation. Pour cela , au lieu des perpendiculaires CcfT)d9 F/ , etc. concevons que ce soient des plans perpendiculaires à*AB, et passant toujours par les angles C, D , F , etc. menons par le point c une droite cD' , parallèle â CD, jusqu'au plan Dd; par d une droite dP' , parallèle à DF, jusqu'au plan F/, etc. Or, il est évident que cD7 sera égale à CD, dF' égale àDF, etc. Donc ~cd sera égale à CD' ou CD , multipliée par le cosinus de l'angle formé par cD' et cd, df sera, égale à DF multipliée par le cosinus de l'angle formé par dF' et dF , etc. Donc la proposition générale est applicable au cas présent, en prenant pour valeur de l'angle Cmc du système primitif, l'angle ~D'cd rdu système transformé , ainsi des autres ; et comme en menant par un point quelconque de l'espace des droites parallèles à A B, DC, D F, et dans le même sen?

l48 I>È LA CORRÉLATION

qu'elles , elles formeront évidemment les mêmes angles que cD' et ce?, dV et df, etc. Il suit que la proposition que nous avons énoncée (1 95) est applicable à tous les polygones possibles , et même gauches , en comprenant en général, sous le nom d'angle formé par deux droites, même lorsqu'elles ne sont pas dans un même plan , celui que formeroient entre elles deux autres droites menées d'un point quelconque pris à volonté dans l'espace , parallèlement aux premières, et dans le même sens qu'elles respectivement.

200. cd est , comme on le voit , le segment formé sur AB , entre les deux perpendiculaires abaissées des extrémités C, D, de la droite CD , et ainsi des autres df,fg, etc. C'est ce que j'appellerai en général projection d'une droite sur une autre; c'est-à-dire, que cd est la projection de CD

sur AB : ainsi la projection d'une droite sur une autre, est la portion de cette dernière comprise entre les perpendiculaires abaissées sur elle des deux extrémités de la première.

Or, il est clair , d'après ce qu'on vient de dire , que la projection d'une droite sur une autre est égale à la première de ces droites, multipliée par le cosinus de l'angle formé entre ces deux mêmes «Jroites.

201 . On peut évidemment regarder le point qui forme le sommet de chacun des angles d'un polygone

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l4$

comme un côté infiniment petit. Un pentagone , par exemple, peut être regardé comme un hexagone dont l'un des cotés seroit infiniment petit. On peut , de plus , attribuer à ce côté infiniment petit , une di-» rection quelconque; et comme les angles que, d'après les notions précédentes, formera cette direction avec tous les autres côtés du polygone , sont les mêmes que ceux que formeroit avec ces mêmes côtés toute autre droite parallèle à la première, il suit évidemment , qu'en général ,

La somme des côtés d'un polygone quelconque t. soit plan y soit gauche , multipliés chacun par le cosinus de l'angle qu'il forme apec une droite tracée dans l'espace et dans un sens donné , est égale à zéro.

202. Soit (fg. 22)ABCDEFun polygone inscrit : supposons tous les arcs AB, BC, CD, égaux ,. excepté le dernier , dont la corde est A F , et qui est égal à la somme de tous les autres. Nommons 2 a chacun de ces autres arcs égaux : soient n leur nombre , et î le diamètre du cercle. Nous aurons donc ( 126)

AB = sin a- 9 BC = sin a y etc. AF= sin n a.

De plus l'angle B A F formé par le côté A F et î© côté A B , sera évidemment n — 1 . a ; l'angle fornid. par le même côté A F et le côté BC sera n — 3 . a y l'angle formé par A F et CD sera n — 5 . a , etc.

Donc , par la proposition établie ( i*)5 ) , nom aurons

l5o DE LA CORRELATION

sin na=sina. cosn — 1 . a-f sina.cosrc — 5.a-\-,etc. équation dans laquelle le second membre aura n termes,

Supposons n a = circonférence entière, est par conséquent sin n a = o , l'équation précédente deviendra , en divisant tout par sin a»

cos/z — i.a +COS/Z— 3 , a +costz — 5 ,a+ etc. = o, qui conduit à une théorie connue sur les arcs, en progression arithmétique.

2o3. Soient en général a, £, c, d, etc. les côtés d'un polygone quelconque proposé plan ou gauche,

ab,açrbc) etc. les angles formés par les cotés deux à deux (76).

Cela posé, en prenant successivement pour bases ces côtés a, b , c , etc. nous aurons , par le principe établi (195),

çt, = b , cos a b 4- c . cos a c + d . cos a d 4- etcv

b = a . cos a 6 + 0 . cos èc + J. cos b d -\- etc.

c = a. cos ac -\- b . cos bc ■%■ d . cos c </ + etc..

etc. etc. etc.

Multipliant la première de ces équations par ay la seconde par b , la troisième par c , etc. puis ajoutant ensemble toutes ces équations , on aura

#a + &~ + c* + etc. =2 ab. cosab+ ùae . cos a c+ etc. c'est-à-dire, que cfo/zs tout polygone plan ou gauche 3 la somme des quarrés des côtés est égale au double de la somme des produits de ces côtés mul-~

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l5i tipliés deux à deux, et par le cosinus de V angle qu'ils comprennent.

204. Si , dans la démonstration de cette proposition , au lieu d'ajouter ensemble toutes les équations , on retranche la première de la somme de toutes les autres , on aura , en transposant ,

aft==è2+c*+cî2+etc 2(£c.cosfo+&G?.cos£G?-f etc.);

c'est-à-dire, que d'ans tout polygone le quarré de l'un quelconque des côtés est égal à la somme des quarrés de tous lès autres côtés , moins deux fois les produits de tous ces autres côtés > multipliés deux à deux y et par le cosinus de V angle qu'ils comprennent.

Par exemple, dans un triangle dont les angles

sont A, B, C, et les côtés respectivement opposés

/v a , b, c , (ip,3 ) puisqu'alors b c devient A ^ on aura

à1 = b* + ca — 2 b c . cos A ,.

propriété familière du triangle..

200. Si dans la démonstration de la proposition trouvée (so5), au lieu d'ajouter ensemble toutes les équations , on en ajoute seulement un certain nombre à volonté, d'une part, et d'une autre part toutes les autres ; qu'ensuite on retranche cette dernière somme de la première , on en conclura qu'en général ,

Dans tout polygone , plan ou gauche , la somme dés quarrés d'un nombre quelconque de côtés- , moins, deux fois la somme- des produits de ces côtés

Kl

multipliés deux à deux , et par le cosinus de l'angle qu'ils comprennent , est égale à la somme des quarrés de tous les autres côtés , moins deux fois la somme des produits de ces cotés multipliés deux à deux , et par le cosinus de V angle qu'ils comprennent.

206. Si le polygone vient à changer déforme, les côtés restant néanmoins toujours les mêmes, de manière qu'il n'y ait de changement que dans les angles , la somme des quarrés des côtés restera la même ; donc la valeur que nous ayons trouvée (2o5) être égale à cette somme de quarrés, demeurera aussi la même. Donc en général ,

Si un polygone , plan ou gauche , se transforme d'une manière quelconque en demeurant néanmoins toujours fermé, et la grandeur des côtés restant toujours la même , la somme des produits de tous ces côtés, multipliés deux à deux , et par le cosinus de l'angle compris, sera une quantité constante.

207. Concevons que d'un peint ou foyer quelconque pris dans l'espace , on fasse partir autant de droites qu'il y a de côtés dans un polygone, plan ou non , et que ces droites soient égales et parallèles chacune à chacun de ces côtés , et menées dans le même sens qu'eux ; concevons de plus , par le même point , une autre droite indéfinie , menée suivant une direction quelconque : il suit de ce qui a été dit (201) , que dans ce système de lignes la

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l53 somme des produits de toutes celles qui le composent , sauf la dernière , multipliées chacune par le cosinus de l'angle qu'elles forment avec cette dernière, est égale à zéro.

208. Soit {fig. a3) F le foyer en question FA , F B , F C , etc. les droites ou rayons parallèles et égaux aux côtés du polygone proposé , chacun à chacun , et dans le même sens. Formons un nouveau polygone ABCDGF, en joignant les extrémités de ces rayons. Enfin , par le point ou foyer F, qui réunit toutes les autres extrémités, menons

à volonté une droite L F K , et concevons un plan MFN, qui lui soit perpendiculaire.

Suivant ce qui vient d'être dit , la somme des rayons du polygone ABCDGH, multipliés chacun par le cosinus de l'angle qu'il forme avec LK, est égale à zéro.

Or , chacun de ces rayons multiplié par la valeur absolue du cosinus de l'angle qu'il forme avec LR , est évidemment égal à la perpendiculaire abaissée de son extrémité sur le plan MN. Mais il est facile de voir que la valeur de corrélation de ces cosinus étant supposée positive pour les points A, B, C , qui se trouvent d'un quelconque des côtés du plan MN , sera négative pour les points H, C, D, qui se trouvent de l'autre côté. Donc la somme des perpendiculaires abaissées des extrémités des rayons ou des angles du polygone A BCDFGH sur le plan MN, est égale à zéro, en prenant positivement

l54 DE LA CORRÉLATION

celles qui tombent sur un des côtés du plan , et négativement celles qui tombent sur l'autre.

209. Concevons maintenant un autre plan quelconque AKcr, parallèle à MN, je dis que la droite F K sera égale à la somme des perpendiculaires menées de tous les angles du polygone ABCDFGH sur ce nouveau plan , divisée par leur nombre ou par le nombre des angles. En effet , chacune d'elles est évidemment égale à FK , plus ou moins la perpendiculaire menée du même angle sur le plan MN, suivant que ce point est au-dessous ou au-dessus de ce dernier plan , par rapport à l'autre AKc. Donc la somme de toutes les perpendiculaires menées sur ARc, est égale à autant de fois F K qu'il y a d'angles j plus une somme que nous venons de prouver

être égale à zéro. Donc FK est réellement , comme on vient de le dire , égale à cette somme des perpendiculaires menées de tous les angles sur AKc, divisée par le nombre des angles. FK est donc la distance moyenne de tous ces angles au plan ARc: et comme nous avons pris LK à volonté, il suit que la distance du foyer F à un plan quelconque est la distance moyenne entre celles de tous les points du polygone au même plan. Appelons donc ce foyer centre desmoyennes distances; chacune des droites qui, comme L F K , passe par ce point , ligne ou axe des moyennes distances ; et chacun des plans qui, comme M N, passe par ce même point, plan dès moyennes distances*

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l55

2 1 0. Nous pouvons donc conclure que ,

Dans tout polygone , plan ou gauche , il y a un centre des moyennes distances , dont la propriété est que la distance de ce point à un plan quelconque est égale à la somme des distances de tous les angles du polygone à ce plan ( en prenant en sens inverse celles qui se trouvent du côté où la somme est la plus petite ) , divisée par le nombre de ces angles.

211. D'où il suit que si ce plan passe par le centre même des moyennes distances, la somme des distances de ce plan aux angles qui se trouvent d'un même côté , est égale à la somme des distances de ce même plan aux angles qui se trouvent de l'autre.

212. Comme les distances d'un point à trois plans donnés suffisent pour déterminer la position de ce point dans l'espace, il est clair que dans chaque polygone il ne peut y avoir qu'un seul centre des moyennes distances.

21 5. Dans tout polygone fplan ou gauche , la somme des quarrés des distances de tous les angles à un point quelconque pris dans l'espace, est égale à la somme des quarrés des distances de ces mêmes angles au centre des moyennes distances ; plus le quarré de la distance du premier point pris dans V espace à ce centre des moyennes distances , mul~ liplié par le nombre des angles du polygone.

Soit en effet ABCD (fig. 4) un polygone quelconque, F le centre des moyennes distances , K un

i56 DE LA CORRÉLATION

autre point quelconque pris dans l'espace ; et soient menées de chacun des angles A , B , C , D , deux droites, Tune au point F , l'autre au point K. Cela posé , dans le triangle AFK, nous aurons (ao4)

XK2=ÂF2 + FK2— IÂF . FK . cos AFK

BK3=BF3+FK2- sBF.FK.cosBFK,

etc. etc.

Ajoutant ensemble toutes ces équations, et nommant n le nombre des angles du polygone > nous aurons

ÂR2+BK24-CKa+etc.

=TF2+BF3 + CF2 + etc. + 7z.FK* — 2F K ( AF . cos AFK + BF . cos B FK + etc. ).

Mais (195) la valeur qui multiplie 2F K dans le dernier terme du second membre, est égale à zéro: donc l'équation se réduit à

AK2 + BK2 + CK2 + etc.

= ÂF2 + BF2 + CF2 + etc. + «FK3, ce qu'il falloit prouver.

21 4. Soit, dans l'espace, un système quelconque de points. On pourra toujours les concevoir réunis par une suite de lignes droites formant le périmètre d'un polygone , dont ces points , par conséquent , peuvent être considérés comme les sommets des angles. On pourra donc appliquer à ce système la proposition précédente. Donc,

Si ayant dans l'espace un système quelconque de points , on imagine une surface sphérique d'un

DES FIGURES DE GEOMETRIE. \5f

diamètre quelconque dont le centre soit celui des moyennes distances de tous les points , la somme des quarrés des distances de ces mêmes points à un autre point quelconque pris sur la surface de la sphère, sera égale à la somme des quarrés des distances de ces mêmes points pris dans l'espace, au centre de la sphère 9 ou des moyennes distances ; plus au quarré du rayon de cette sphère , multiplié par le nombre de ces mêmes points pris dans F espace. u4insi cette somme sera la même pour tous les points de la surface sphérique.

2 15. Si tous les points pris dans l'espace se trouvent dans un même plan , on pourra appliquer à une circonférence quelconque tracée dans ce plan , et ayant pour centre celui des moyennes distances de tous ces points , ce que nous venons de dire en général de la surface sphérique.

216. Supposons que ces points forment les sommets des angles d'un polygone régulier quelconque , on en pourra conclure que

La somme des quarrés des distances de tous les angles d'un polygone régulier à l'un quelconque des points d'une circonférence dont le centre est le même que celui du polygone et le rayon à volonté , est égale à la somme faite du quarré du rayon du polygone et du quarré du rayon de la circonférence , multipliée par le nombre des côtés du polygone.