En rapportant tous les points du système à

l58 DE LA CORRÉLATION

l'un quelconque d'entre eux , on voit que la somme des quarrés des distances de ce point à tous les autres est égale à la somme des quarrés des distances de tous ces autres points au centre des moyennes distances de tous les points , y compris celui auquel on rapporte les autres ; plus le quarré de la distance de ce dernier à ce centre des moyennes distances, multiplié par le nombre des points du système proposé,

Si l'on fait la même chose successivement pour tous les points du système, et qu'on ajoute toutes les équations qui en résultent, on conclura que,

Si l'on a dans F espace un nombre quelconque . de points , et qu'on les joigne tous deux à deux "par des droites s la somme, des quarrés de toutes ces droites sera égale à la somme des quarrés des distances de tous les points du système proposé au centre de leurs moyennes distances , multipliée par le nombre de ces points.

Ou ce qui revient au même , la somme des quarrés des distances de tant de points qu'on voudra , pris dans l'espace au centre de leurs moyennes distances , est elle-même une quantité moyenne entre les quarrés des distances de tous ces points entre eux , en les considérant deux à deux.

218. Il est facile de reconnoître , dans tout ce que nous venons de dire, les propriétés de ce qu'on nomme en mécanique, centre de gravité; et en effet , ce que nous avons appelé centre des moyennes distances de plusieurs points , n'est autre chose

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l5c) que leur centre de gravité. C'est donc à la géométrie qu'appartient la notion de ce point, et ses propriétés mécaniques devroient être simplement déduites de celles qu'il est possible d'établir par la seule géométrie.

On sait d'ailleurs , depuis long-temps , par plusieurs propositions importantes, et particulièrement par le théorème du père Guldin , pour la quadrature des surfaces et la cubature des corps solides , l'avantage que peut tirer la géométrie elle - même de la considération des centres de gravité 5 mais cette marche n'est point naturelle. C'est donc une véritable lacune dans les traités de géométrie, que l'omission de ses propriétés fondamentales , et je pense que ce seroit faire une chose utile que de rétablir, à cet égard, l'enchaînement naturel des idées, en développant dans la géométrie même les propriétés du centre des moyennes distances 9 qui ne devient réellement centre de gravité qu'en mécanique.

219. Si d'un point ou foyer quelconque pris dans l'espace , on mène des droites ou rayons égaux et parallèles chacune à chacun des côtés d'un polygone plan ou gauche , et menées dans le même sens , et que d'un autre point quelconque pris dans V espace , on abaisse une perpendiculaire sur chacun de ces rayons , la somme des produits de chacun de ces rayons , par le segment de ce même rayon compris entre le foyer et le point où tombe la perpendiculaire abaissée sur lui, est

égale à zéro , en prenant en sens inverse ceux de ces segmens qui tombent , non sur les rayons même auxquels ils appartiennent , mais sur leurs prolongemens dans le sens opposé.

Soient en effet {fig. 25) F le foyer en question, FA, F B , F C , etc. les rayons partans de ce foyer , qui sont parallèles et égaux aux côtés d'un polygone donné et dans le même sens qu'eux. Soit R le point

d'où sont abaissées des perpendiculaires Ka, K£>

Kc, etc. sur ces différens rayons. Abaissons aussi

des points A , B , C , etc. des perpendiculaires AA' ,

BB' , CC, etc. sur FK , les triangles semblables AFA',KFa, donnent

FÂ:FK :: F"A':FÔ\?

donc . FA.Fa = FK.FA'.

Par la même raison on a

FB.F6 = FK.FB?,

etc. etc.

Ajoutant ensemble toutes ces équations , on a

FA. Fa + FB.Fè + etc.=FK (FA' + FB' + etc.) Mais il est clair que le triangle rectangle FA A' donne

FA'= FA . cos AFK , FB' = FB . cos BFK , etc. Donc (îgô)

FÂ7+ FB" + FC'+etc. = o,

en prenant négativement celles de ces valeurs auxquelles répondent des cosinus négatifs ou des angles

obtus.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. i6l obtus. Donc le second membre de noire équation s'évanouit. Donc nous avons

F A . FA + FB . ¥b -f etc. = o.

en prenant en sens inverse ceux des segmens Fa, F by qui répondent aux angles obtus dont nous venons de parler, ou qui tombent, non sur les rayons même auxquels ils appartiennent; mais sur leurs prolongemens dans le sens contraire. Ce qu'il falloit démontrer (1).

(1) Celte proposition est encore très-analogue à la théorie des vitesses virtuelles en mécanique; et cela vient de ce que plusieurs forces qui se font équilibre en tirant un mobile en différens sens , peuvent toujours être représentées par les côtés d'un polygone plan ou gauche ; c'est-à-dire , qu'on peut toujours imaginer un polygone dont les côtés soient tels, que les forces qui sont supposées se faire équilibre, soient parallèles et égales à chacun de ces côtés, et dirigés dans le même sens. De sorte que FA, FB, F C , F D , etc. peuvent représenter des forces qui se font équilibre autour du point F, comme il est aisé de s'en assurer par le parallélogramme des forces. Cela étant , si l'on conçoit que F se meuve , et que sa vitesse soit représentée par F K , tant pour sa grandeur que pour sa direction, les droites la, ï"b, Y c , etc. exprimeront cette même vitesse estimée dans le sens des différentes forces FA, FB, etc. qui lui sont appliquées. Donc l'équation trouvée apprend que la somme des produits de chacune des forces en équilibre autour d'un mobile F, multipliée jiar la vitesse de ce mobile estimée dans le sens de cette force , est égale à zéro : ce qui est, en effet, le principe général de l'équilibre.

Si les droites FA, FB, etc. étoient dans un même jîlan, ou représentoient les projections , sur un même plan , d'un système de, forces en équilibre autour d'un mobile F, on

220. Si dans le plan d'un polygone quelconque en mène une transversale qui coupe tous ses côtés prolongés , s'il le faut, il en résultera sur chacun des côtés deux segmens ; et par conséquent il y <iura en tout un nombre de segmens double du nombre des cotés du polygone. Cela posé , le produit formé par la moitié de tous ces segmens , comme facteurs , est égal au produit formé par l'autre moitié , en prenant tous ces segmens de manière que dans chacun des deux produits , il n' entre jamais deux de ces segmens qui aient pour extrémités un même angle du polygone ou un même point de la transversale.

Ironveroit , en comparant les autres côtés des triangles considérés ci-dessus

FA . K^+ FB . O -r-FC. K^ + etc.=o, en prenant en sens direct celles de ces quantités ou forces, FA, FB, FC, etc. qiû tendent à faire tourner dans un sens autour du point F ou de l'axe qu'il représente , et en sens inverse celles qui tendent à faire tourner en sens contraire : ce qui est le principe de la théorie des înomens.

Je termine cette note en observant que si un corps partant d'un point donné , se meut uniformément pendant le temps t, sur une direction donnée, avec une vitesse v; puis pendant ïe même temps t , avec la vitesse v', sur une autre direction t en partant du point où il éloit arrivé , ainsi de suite , il arrivera, après tous ces mouvemens partiels, au même point où il seroit arrivé s'il s'étoit mu j>endant le même temjjs t avec la vitesse résultante de toutes ces vitesse;- particulières; c'est-àdire , que cette résultante est le dernier des côtés du jJolygonft formé j)ar ces autres vitesses.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. i65

J'ai déjà démontré (i84) cette propriété pour le triangle -, il faut maintenant faire voir qu'elle s'étend à tous les polygones.

Soit ABCGHle polygone proposé (fig.26), nfla. transversale 5 supposons que d,k, m , l,fy soient les côtéss où cette transversale est rencontrée

par les points A B , B C , C G , GH , H A respectivement , il faudra donc prouver qu'on a

Ad.Bk.Cm.Gl.ttf=AfBd.Ck.Gm.ill9

Ad.BJb.Cm.Gl.Hf

ou = 1.

Af.Bd.Ck.Gm.nl

Menons la diagonale HB, et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre n de la transversale. Cette transversale coupant les trois côtés du triangle A B H aux points d9n,f, on aura ( i84 )

Ad.Bn . Hf=:Bd. Un . A/; Ad.llf Bd.Un 0U Af ~ Bn "'

substituant dans l'équation à démontrer ci-dessus

Ad. H/ ■

pour „ , sa valeur , qu on vient de trouver ,

cette équation se réduira à

Bh.Cm.Gl.Yin

Bn.ChTGnY.m ~~ * '

qu'il s'agit maintenant de démontrer. Or , le numérateur et le dénominateur de la fraction qui forme le premier membre , lesquels avoient chacun cinq facteurs, se trouvent déjà réduits l'un et l'autre à

l64 DELA CORRÉLATION

quatre , et la figure se trouve également réduite à un côté de moins , puisqu'elle est maintenant BCGH, le point A étant éliminé. Il est donc clair que par un raisonnement pareil, on abaissera encore le nombre des côtés du polygone d'une unité, et les termes de la fraction d'un facteur chacun , ainsi de suite ; c'est-à-dire, qu'on ramènera enfin la figure à un triangle , et les termes de la fraction à trois facteurs chacun , qui exprimeront la propriété de ce triangle, démontrée (i8i).

221. Si l'on imagine maintenant que ABCGH devient gauche , et que nf représente un plan qui le traverse, on verra que la même démonstration est applicable. Donc ,

Si un polygone quelconque , plan ou gauche , est coupé par un plan transversal qui forme sur chacun de ces cotés deux segmens , le produit de la moitié de tous ces segmens , comme facteurs , sera égal au produit de tous les autres , en les prenant de manière que dans chacun de ces deux produits il n'entre jamais deux facteurs qui aient pour extrémités un même angle du polygone ou un même point du plan transversal.

222. Si d 'un point quelconque (fig. 27) on mène des droites ou rayons à tous les angles d'un polygone proposé , chacun des angles de ce polygone se trouvera coupé par le rayon correspondant en deux autres angles ; de sorte que le nombre de ces nouveaux angles sera double du nombre des an-

DES FIGURES DE GEOMETRIE. |65 gles du polygone. Cela posé , le produit des sinus delà moitié de ces angles , comme facteurs , est égal au produit des sinus de tous les autres y en les prenant de manière qu'il n'en entre jamais dans le même produit deux qui aient le même sommet.

Soit A B C D E F le polygone proposé , G le point ou foyer d'où partent tous les rayons. Il faut donc démontrer qu'on aura

sinABG.sinBCG.sinCDG.sinDEG.sinEFG.sinFAG =sinCBG.sinDCG.sinEDG.sinFEG.sinAFG.sinBAG,

Or, le triangle ABG donne

ÂG : BG :: sin ABG : sin BAG. Le triangle BCG donne

BG : CG :: sin BCG : sin CBG.

Le triangle CDG donne

CG:DG :: sinCDG:sinDCG5

etc. etc, Multipliant ensemble toutes ces proportions', les deux premiers termes se trouvent identiques ; donc les deux autres sont égaux , ce qu'il falloit prouver. La même démonstration est évidemment applicable an cas où le polygone est gauche.

2 20. La projection de tout polygone fermé sur un plan quelconque étant elle-même un polygone fermé , tout ce que nous avons démontré pour un polygone quelconque est applicable à chacune de ses projections. Ainsi, par exemple, si l'on rapporte le système à trois plans perpendiculaires entre

ï66 DE LA CORRÉLATION

eux , on pourra appliquer à chacun des polygones qui forment les trois projections du polygone proposé , ce que nous avons dit de ce polygone luimême. Je ne m'étendrai pas sur cet objet ; j'observerai seulement comme propositions analogues à celles que j'ai démontrées , et utiles pour rapporter en effet les polygones à trois plans ou axes perpendiculaires entre eux ,

i°. Que le quarré d'une droite quelconque est égale à la somme des quarrés de ses trois projections sur les axes,

2°. Que le quarré de cette même droite est la moitié seulement de la somme des quarrés de ses trois projections sur les plans,

3°. Que le produit de deux droites quelconques par le cosinus de l'angle qu'elles forment , est égal à la somme des trois produits formés en multipliant les deux projections de ces droites sur chacun des axes,

4°. Que le cosinus d'un angle formé dans l'espace par deux droites quelconques , est égal à la somme des trois produits qu'on obtient en multipliant les deux cosinus formés par chacun des axes avec chacun des côtés de l'angle proposé.

5a . Que si trois plans quelconques, perpendiculaires entre eux, sont coupés par un même quatrième plan, la somme des quarrés des cosinus des angles formés par ce quatrième plan , et chacun des trois autres, sera égale au quarré du sinus total, et la

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 167 somme des quarrés des sinus sera double du même quarré du sinus total.

6°. Que si deux droites quelconques sont données dans l'espace de grandeur et de position, la première sera à la seconde comme la projection delà première sur la seconde esta la projection de la seconde sur la première.

PROBLÈME Vï.

224. Trouver les rapports qui existent entre les faces d'un polyèdre et les angles que ces faces forment entre elles.

Solution. La propriété qui sert de base à la théorie des polygones est également applicable aux polyèdres ; c'est-à-dire , que dans tout polyèdre , chacune des faces est égale à la somme de toutes les autres, multipliées chacune par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec la première.

On sait que la projection d'une surface plane sur une base avec laquelle elle forme un angle quelconque , est égale à cette surface multipliée par le cosinus de l'angle d'inclinaison. Si donc, dans unpolyèdre quelconque , on prend l'une des faces pour base j que de tous les angles de ce polyèdre on mène sur cette base des perpendiculaires,, et que ces perpendiculaires tombent toutes sur l'aire de cette même base , il est clair qu'elle sera égale à la somme des projections de toutes les autres faces. Donc chacune de ces projections étant égale à la face correspondante multipliée par le cosinus d'inclinaison.

la face prise pour base sera égale à la somme de toutes les autres, multipliées chacune par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec cette base.

2 20. Concevons maintenant que ce système primitif change par degrés insensibles , de manière que parmi les perpendiculaires abaissées des angles sur la face prise pour base , il s'en trouve qui tombent en dehors de l'aire. Comme le changement peut s'opérer sans qu'aucune de ces faces ni des angles passe par o ou par oo , il est clair que le principe est général. Dans ce cas^ les cosinus des angles obtus ont seulement des valeurs de corrélation négatives j mais il n'y a pour cela , comme nous l'avons déjà observé pour les polygones , aucun changement à faire dans l'énoncé de la proposition. Nous pouvons donc établir ce principe général :

Dans tout polyèdre , chacune des faces est égale à la somme de toutes les autres , multipliées chacune par le cosinus de V angle qu} elle forme avec la première.

220. Pour ne pas se tromper dans l'application de cette proposition , en prenant les supplémens des angles au lieu des angles même , on doit se rappeler ce que nous avons dit à ce sujet , en parlant des polygones ; c'est-à-dire, que les angles dont il s'agit sont toujours ceux qui sont formés par les côtés intérieurs des faces du polyèdre.