On peut évidemment regarder chacun des

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l6g

sommets des angles solides du polyèdre , comme une face infiniment petite; et de plus lui attribuer une direction quelconque. Donc la proposition énoncée fait voir que pour ce cas , la somme des produits de toutes les faces du polyèdre , multipliées chacune par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec cette face infiniment petite , est égale à zéro ; et comme les. angles formés par un plan quelconque avec deux autres plans parallèles sont visiblement égaux entre eux , nous pouvons établir ce principe général :

La somme des faces d'un polyèdre quelconque 9 multipliées chacune par les cosinus de l'angle qu'elle forme avec une surface plane quelconque donnée dans V espace , est égale à zéro.

228. Soient a, by c, dt etc. les faces d'un polyèdre ; c'est-à-dire , les surfaces des polygones qui for-

ment ces faces : représentons par a b, ac, bc, etc. les angles formés par ces faces prises deux à deux ; on aura donc , par le principe établi ( 2 25 ) ,

a=b . cos a b -\- c . cos a c-\- etc.

b = a. cos a b -\- c . cos b c + etc. etc. etc.

Multipliant la première de ces équations par a , la seconde par b , la troisième par c , etc. puis ajoutant ensemble toutes ces équations , on aura

aa4-&2 + ca + etc.-=2ab.cosa b-\- 2ac.cosa c + etc. c'est-à-dire, qu'en général.

Dans tout polyèdre , la somme des quarrés des faces qui le terminent est égale au double de la somme des produits de toutes ces faces multipliées deux à deux , et par le cosinus de l'angle qu'elles comprennent.

220,. Si, au lieu d'ajouter toutes les équations trouvées ci-dessus, on retranche l'une d'entre elles , la première , par exemple , de la somme de toutes les autres, on en conclura que le quarré de l'une quelconque des faces qui terminent un polyèdre est égal à la somme des quarrés de toutes les autres faces , moins le double de la somme des pro~ duits de toutes ces autres faces multipliées deux à deux y et par le cosinus de l'angle qu'elles comprennent.

200. Supposons , par exemple, que le polyèdre se réduise à une pyramide triangulaire , et que les trois faces qui partent du sommet soient perpendiculaires entre elles , les cosinus des angles que formeront ces trois faces entre elles seront tous zéro. Donc le quarré de la base de cette pyramide sera égal à la somme des quarrés des trois autres faces j c'est-à-dire que,

Dans toute pyramide triangulaire dont trois faces sont perpendiculaires entre elles , le quarré de la quatrième face est égal à la somme des quarrés des trois premières,

23 1. Imaginons dans l'espace trois autres plans parallèles aux trois faces qui partent du sommet de

la pyramide proposée , chacune à chacune. Ces trois plans seront par conséquent aussi perpendiculaires entre eux, et les trois projections de la base sur ces nouveaux plans , seront évidemment égales , respectivement aux trois autres faces, chacune à celle de ces faces , qui lui est parallèle. Donc , puisque le quarré de cette base est égal à la somme des quarrés des trois autres , il sera aussi égal à la somme des quarrés de ses trois projections.

De plus, il est évident que des surfaces égales tracées dans un même plan , ont des projections aussi égales en surface sur tout autre plan donné. Donc , si l'on substitue à la place de la base de la pyramide en question , un polygone de forme quelconque qui lui soit égal en surface , les projections de ce polygone seront respectivement égales aux projections correspondantes du triangle, qui est la base de la pyramide. Donc ce triangle pouvant être de grandeur quelconque, on peut en conclure ce principe connu :

Le quarré de l'aire d'un polygone quelconque est égal à la somme des quarrés de ses trois projections sur trois plans perpendiculaires entre eux.

202. Il est à remarquer que dans la pyramide triangulaire que nous avons considérée , chacune des trois faces qui sont supposées perpendiculaires entre elles , est la projection même delà base sur le plan qui contient cette face, et que de plus cette base est à son tour la somme des trois triangles qui forment sur elle les projections des trois autres faces

de la pyramide ; c'est-à-dire, que cette base est la somme des trois projections de projection : et comme d'après ce qui vient d'être dit, le même raisonnement est applicable à tout autre polygone, on peut en conclure , qu'en général ,

La surface d'un -polygone quelconque est égale à la somme des trois projections de projection , formées en projetant d'abord le polygone proposé sur trois plans perpendiculaires entre eux , et projetant ensuite de nouveau chacune de ces projections sur le plan du polygone proposé.

200. Au lieu du quarré de l'aire d'un polygone, on peut prendre le produit des surfaces de deux potygones égaux chacun à ce premier polygone ; et si l'on suppose qu'ensuite l'un de ces deux polygones devienne double , triple, quadruple, etc. l'autre demeurant le même, le produit de ces deux polygones deviendra également double , triple , quadruple. De même, chacune des projections du polygone supposé variable , deviendra aussi double , triple , quadruple ; et par conséquent le produit des projections des deux polygones sur chaque plan, deviendra aussi double, triple, quadruple, etc. c'està-dire , qu'en général ,

Le produit des surfaces de deux polygones tracés dans un même plan est égal à la somme des trois produits formés , en multipliant les projections de deux polygones faites sur chacun de trois plans quelconques perpendiculaires entre eux.

2o4. Si , au lieu d'ajouter ensemble toutes les

DES FIGURES DE GEOMETRIE. I70 équations trouvées (228), on en ajoute seulement un certain nombre quelconque d'une part, et toutes les autres d'une autre part, et qu'ensuite on retranche cette dernière somme de la première , on trouvera que,

Dans tout polyèdre la somme des quarrés d'un nombre quelconque des faces qui le terminent , moins deux fois la somme des produits de toutes ces faces multipliées deux à deux , et par le cosinus de l'angle qu'elles comprennent , est égale à la somme des quarrés de toutes les autres faces , moins deux fois le produit de ces autres faces , multipliées aussi deux à deux , et par le cosinus de l'angle qu'elles comprennent.

235. Concevons que d'un point quelconque m pris dans l'intérieur d'un polyèdre , on mène une droite à chacun des angles solides j le polyèdre se trouvera partagé en autant de pyramides qu'il y a de faces, toutes ayant leur sommet au même point m ; et la solidité de ce polyèdre sera égale au tiers de la somme de ces faces, multipliées chacune par la hauteur de la pyramide correspondante ; c'est-àdire, par la perpendiculaire abaissée du point m sur cette face. Si l'on fait la même chose d'un autre point m' pris aussi dans l'intérieur du polyèdre , on obtiendra une somme semblable, qui sera pareillement égale au solide du polyèdre. Donc, si l'on retranche ces deux sommes l'une de l'autre , la différence sera zéro. Donc le triple de cette différence sera aussi zéro. Donc, si dans l'intérieur d'un po-

lyèdre on prend deux points quelconques (m, m' ) , la somme des produits de chacune des faces du polyèdre par la perpendiculaire abaissée sur elle du premier de ces points ( m ) , moins la somme des produits de chacune de ces mêmes faces par la perpendiculaire abaissée sur elle du secondpoint (m') , sera zéro.

2 56. Si l'on conçoit maintenant que ce système primitif change en vertu d'un mouvement quelconque des points m , m' , il est évident que ces perpendiculaires resteront directes à l'égard du système primitif , tant que ces points ne sortiront pas de l'intérieur du polyèdre; mais s'ils en sortent, les perpendiculaires qui viendront à tomber sur le revers des faces ou sur leurs côtés extérieurs , auront passé par o et seront devenues inverses. Donc la proposition précédente aura encore lieu en prenant négativement les valeurs des perpendiculaires qui tombent sur le revers des faces. Ainsi cette proposition peut être regardée comme générale , quelle que soit la position des points au-dedans ou au-dehors du polygone.

207. Imaginons maintenant qu'une des faces se meut parallèlement à elie-niéme, tant que les deux points m y m seront du même côté de cette face; le produit de cette même face par chacune des perpendiculaires abaissées de ces points sur elle, augmentera ou diminuera de la même quantité, soit que cette face s'éloigne ou qu'elle se rapproche de

ces points. Donc la différence des produits ci-dessus restera encore la même. Si les points m , m' , sont au contraire de différens côtés à l'égard de cette face , le produit de cette même face par la perpendiculaire abaissée sur elle du point m, augmentera évidemment autant que le produit de cette même face par la perpendiculaire abaissée sur elle du point m' diminuera ; ou réciproquement le premier produit diminuera autant que l'autre augmentera. Mais comme l'un de ces produits a lieu en sens inverse , puisqu'il répond à la perpendiculaire qui tombe sur le revers de la face , il suit que sa valeur doit être prise négativement, ainsi que les augmentations oïl diminutions qu'il éprouve ; tandis que l'autre produit , ainsi que ses augmentations et diminutions , devront être pris positivement. Donc la différence de ces produits restera encore la même , puisque si l'un augmente positivement d'une certaine quantité , l'autre diminuera de la même quantité , mais négativement, c'est-à-dire que ces produits, ou plutôt leurs Valeurs de corrélation , augmentent ou diminuent toujours de la même quantité. Donc la proposition continuera d'avoir lieu , quel que soit le mouvement de cette face 5 et comme on peut dire la même chose de toutes les autres faces , la même proposition aura lieu , quel que soit le mouvement de chacune des faces du polyèdre parallèlement à ellemême, et celui des points m, m' , soit au-dedans , soit au-dehors du polyèdre. Cela posé, concevons que toutes ces faces se meuvent ainsi parallèlement

à elles-mêmes , jusqu'à ce qu'elles viennent toutes se croiser en un point donné K. Nous pourrons conclure que si, par un point donné K, l'on fait passer autant de polygones qu'il y a de faces dans un polyèdre proposé, lesquels soient égaux et parallèles chacun à chacune de ces faces , et tourné dans le même sens qu'elle, et qu'on prenne à volonté , dans l'espace , deux autres points quelconques m, m ; la somme des produits de chacune de ces faces par la perpendiculaire abaissée sur elle du point m , en prenant négativement celles de ces perpendiculaires qui tombent sur le revers des faces, moins la somme des produits de même nature relatifs au point m'y sera égale à zéro.

2^8. Supposons maintenant que le point m aille coïncider avec le point K , par où passent tous les polygones. Les perpendiculaires abaissées de ce point sur les polygones qui s'y croisent , seront égales cha- . cune à zéro. Donc la somme des produits relatifs à ce point m sera égale à oj donc la somme des pro- , duits relatifs au point m , qui lui est égale, sera aussi égale à zéro j donc en général,

Si par un point quelconque pris dans l'espace , on fait passer plusieurs polygones égaux et parallèles chacun à chacune des faces d'un polyèdre , quelconque , et tourné çers le même côté qu'elle , la somme des produits de la surface de chacun de ces -polygones par la perpendiculaire abaissée sur lui d'un point quelconque pris dans l'espace , en prenant négativement celles de ces perpendiculaires

laires qui tombent sur le revers de ces polygones , sera égale à zéro.

Des corrélations complexes" et des imaginaires,

23o,. Il est possible que deux systèmes de quantités ne soient entre eux ni directement, ni indirectement corrélatifs, et que cependant leurs quarrés , par exemple, ou d'autres fonctions quelconques de ces quantités , se trouvent en corrélation. C'est ce que j'appelle corrélation complexe.

Supposons , par exemple, qu'un système soit composé des quantités a, x , y ; un autre des quantités

a , x\y -, et qu'on ait les deux équations

aa — xx — yyz=.o et aa — x' x' -f-j/y' = o, les deux systèmes a , x , y , et a , x\ y , ne sont entre eux ni directement, ni indirectement corrélatifs ; car on auroit beau changer les signes de ces quantités , les équations précédentes ne pourroient jamais être ramenées à la même forme, puisque -{-y et-— y 9 par exemple, donnent toujours le même quarré -f y*- Mais quoiqu'il n'y ait ni corrélation directe , ni corrélation indirecte entre les quantités mêmes qui composent les deux systèmes considérés; il y a corrélation indirecte entre les quarrés de ces mêmes quantités ; c'est-à-dire, que, si au lieu des deux systèmes en question , nous en considérons deux autres j le premier, composé des quantités aa, xx, yy ; le second , des quantités aa , x x, y y 5 ces deux nouveaux systèmes seront entre eux en corrélation in-

directe. Et en effet , pour ramener ces deux équations à la même forme, il suffit de changer le signe de la dernière y'y' . Or , c'est ce que j'exprime en disant qu'il y a corrélation complexe entre les quantités a , x, y du premier système, et les quantités #, x\y'y du second.

24o. Il est évident que lorsqu'il y a corrélation directe entre deux systèmes de quantités, il y a aussi nécessairement corrélation directe entre les fonctions pareilles de ces mêmes quantités. Ainsi , lorsqu'il n'y a entre deux systèmes de quantités qu'une corrélation complexe, celle qui existe entre leurs quarr es ou autres fonctions quelconques, ne peut être qu'une corrélation indirecte.

24 1. Pour qu'il y ait corrélation complexe entre deux systèmes de quantités , il n'est pas nécessaire que les fonctions de ces quantités entre lesquelles existe la corrélation indirecte soient toutes de même nature; par exemple, toutes les quarrés des quantités primitives. Car , par exemple , quoiqu'il n'y ait aucune corrélation simple entre le système des quantités a, x,y, et celui des quantités a,x' y\ si Ton a a4— **— a>a = o et a4— x'*+ <**/*= o , il y a corrélation indirecte entre le système composé des quantités a4, xiyyi, et celui des quantités a4, *'4, a*y*\ et par conséquent il y a corrélation complexe entre le système des quantités a , a ; , y9 et celui des quantités a, x\y.