Quoique les deux équations aa — xx—yy

et aa — x V -\-y 'y = o ne puissent être ramenées à la même forme en changeant les signes des quantités x \y, on peut cependant y parvenir, mais c'est en mettant, non pas — y à la place de jp'; maisj/ V — 1 à la place dey' ou/v +1 j car alors on a évidemment — y* y au lieu de + y'y\ et les deux équations se trouvent ramenées à la même forme.

On voit par-là que, quoiqu'il n'existe entre deux systèmes ni corrélation directe, ni corrélation indirecte, il est possible, s'il y a corrélation complexe , qu'on parvienne à établir entre les quantités mêmes qui composent ces systèmes une sorte de corrélation particulière, qui consiste, lorsqu'on a établi comme à l'ordinaire la corrélation des valeurs absolues, non à changer les signes de + en — , ou les coeniciens de + 1 en — 1 , mais ces mêmes coefficiens de V + 1 en V — 1 5 c'est-à-dire, que lorsqu'il y a corrélation indirecte entre les fonctions des quantités , il existe entre ces quantités mêmes une sorte de corrélation que j'ai désignée sous le nom de complexe, et qu'on peut aussi appeler imaginaire. Elle est complexe en tant qu'on la considère dans les fonctions de ces quantités primitives ; et imaginaire en tant qu'on la considère dans les quantités elles-mêmes.

243. Nous avons vu que toute équation où il n'entre que des quantités élevées au quarré, appartient également , et sans changement désignes, à tous les systèmes qui sont entre eux , soit directement, soit indirectement corrélatifs. Mais la même

i8o DE LA CORRELATION

chose n'a pas lieu pour ceux qui n'ont entre eux qu'une corrélation complexe, puisqu' alors , pour rendre les formules du système primitif immédiatement applicables à l'autre, il peut y avoir telle quantité dont le coefficient se change de V -f i enV — 1 ; ce qui fait quç le quarré de l'une devient inverse à l'égarddu quarré de l'autre.

244. Si dans les deux systèmes considérés cidessus, on cherche la corrélation qui existe entre le système des qugntités a, C^+j), (x — y), d'une part , et celui des quantités a, ( x'+y' ) , ( x — y' ) , de l'autre , on trouve que cette corrélation est également complexe ; car la seconde équation est aa+ [x + y') (x — y') = o. Mais en changeant les signes de ces quantités ( x' -\- y') et ( x — y ) , ou de l'une d'entre elles seulement , on ne donne pas pour cela à cette équation la même forme qu'à la première aa — xx — y y == o. Pour les ramener à la même forme, il faut mettre pour*' + y\x ' +y 'y — i, et pour l'autre, x' — y' V — i. Ainsi, la corrélation complexe indique encore dans ce cas une corrélation imaginaire entre les nouvelles quantités comparées; ou, si l'on veut, nne corrélation en partie complexe et en partie imaginaire.

245. Nous avons vu que lorsqu'en cherchant la solution d'un problême, on trouve pour l'inconnue une valeur négative, c'est une preuve que la question n'a pas été mise exactement en équation, ou plutôt, qu* la véritable solution se trouve mêlée

DES FIGURES DE GEOMETRIE. i8ii avec une autre solution qui se rapporte, non au système examiné , et sur lequel le raisonnement a été établi, mais à un autre système qui est, avec le premier , en corrélation indirecte.

De même, lorsqu'on cherchant la solution d'umtproblême, on trouve pour l'inconnue une valeur imaginaire, c'est une preuve que la solution se rapporte, non au système examiné, et sur~.lequel le raisonnement a été établi , mais à un autre qui n'a ,. avec le premier, qu'une corrélation, complexe.

Mais ce nouveau système n'est pas moins existant que celui qui est en simple corrélation indirecte ; il y a seulement des changemens plus sensibles à opérer dans les signes ou coefficiens j les rapports des quantités corrélatives n'en sont pas moins réels -y ils sont seulement plus éloignés, plus disparates, moins faciles à saisir; parce que n'est pas sur les valeurs primitives même que les changemens de signes doivent s'opérer , mais sur des fonctions plus ou moins compliquées de ces mêmes valeurs pour rendre les formules de ce système i nmédiatement applicables au système transformé.

24G* Soit, par exemple, unr système de trois lignes droites, a, x,y3 liées par cette condition, que y soit moyenne proportionnelle entre la somme des» deux autres et leur différence.

x pouvant être plus petite que a ou plus grande y je dois choisir entre les deux hypothèses pour établir mon raisonnement. Je suppose donc &<iar et

j'ai r d'après la condition donnée ,