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l82 DE LA CORRELATION

a 4- * •' y • • y ' et — x ou yy ==aa — xx. Concevons maintenant que ce système varie par degrés insensibles , de manière que a devienne moindre que x. La proportion précédente ne peut plus avoir lieu , et il faut qu'elle soit pour ce cas, a -f * : y ::y: x — a ou yyzzzxx — aa.

Or , les deux systèmes que nous venons d'examiner ne sont ni directement , ni indirectement corrélatifs , puisqu'en changeant d'une manière quelconque les signes des quantités primitives, je ne puis ramener les équations à la même forme ; et quoiqu'employés à résoudre la même question généralement posée , les deux cas particuliers qu'elle renferme sont assez disparates pour qu'on ne puisse établir entre les deux systèmes qu'une corrélation complexe. Cette corrélation complexe ouimaginaire existe en effet , puisqu'en changeant le signe du quarré yy de -4- en — , c'est-à-dire , son cofficient de +ien — i , ou celui de la quantité simple y de V + * en V — i , la dernière de ces équations devient identique avec la première.

247. Ainsi , quoique la valeur y=V aa — xx que donne la première pour y , devienne imaginaire lorsque x devient plus grande que a , il n'en existe pas moins un autre système auquel cette formule peut devenir immédiatement applicable. Mais ce n'est plus par le simple changement du signe des quantités primitives qu'on peut trouver le nouveau système; c'est par un changement de signe fait à

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l85 des fonctions de ces quantités ; ou , si l'on ne veut opérer que sur les quantités mêmes, ce ne sera plus en changeant les signes de + en — , mais les coefïï-

ci en s de V +1 en V — 1. Ce changement effectué donne

yy=.xx — aa ou y = Vxx — aa;

formule immédiatement applicable au système où x^a, lequel est compris comme l'autre dans la question générale proposée.

248. On voit donc que lorsqu'en cherchant la solution d'une question proposée, on trouve diverses racines, les unes positives, d'autres négatives, d'autres imaginaires , on peut conclure que la question qu'on s'est proposée n'est que partielle , qu'elle n'est qu'un cas particulier d'une question plus générale; que les racines positives donnent la solution de cette question partielle ; que les racines négatives donnent celles d'autres questions partielles qui ne diffèrent des premières que parce que quelques - unes des quantités considérées y deviennent inverses \ et qu'enfin les racines imaginaires donnent celles d'autres questions partielles faisant toujours des cas particuliers de la question générale , mais différant des premières en ce que ce ne sont plus les quantités elles-mêmes considérées qui deviennent inverses^ mais telles ou telles fonctions de ces mêmes quantités. Si c'est un avantage d'avoir ainsi , par la solution d'un cas particulier, l'indication de plusieurs autres questions analogues, et de pouvoir géné-

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raliser les solutions, c'est aussi un inconvénient de ne pouvoir séparer lorsqu'on le voudroit les questions partielles les unes des autres. Or , il faudroit, pour y parvenir, pouvoir décomposer les équations dans toutes leurs racines, soit réelles , soit imaginaires j ce qu'on ne peut guère espérer.

24g, Supposons qu'on trace une courbe dont l'équation soit yy==^aa — xx , et une autre dont l'équation soit y y = xx-*—aa. Ces deux courbes formeront donc deux systèmes qui ne seront ni directement , ni indirectement corrélatifs , mais seulement en corrélation complexe. Ainsi , ces deux courbes , sans être liées d'une manière aussi intime que le seroient, par exemple, les deux branches de la même courbe , ayant pour équation yy=aa — xxy dont Tune ne diffère de l'autre qu'en ce qu'elles sont placées de différens côtés par rapport à l'axe; ces deux courbes , dis- je , ne laisseront pas d'avoir beaucoup de propriétés semblables ou analogues. Et en effet, la première est un cercle ayant a pour demidiamètre ou demi-axe ;etl'autre,j^=x.*; — aa estime hyperbole équilatère, ayant aussi a pour demi axe: or, on sait l'analogie qui existe entre ces deux cour-» bes. Sans entrer en détail à cet égard , observons entre elles quelques points de rapprochement.

Ayant donc mené par un point quelconque A (fig. 28) deux droites orthogonales B C, DF, chacune égale au diamètre 2 a , et prolongé ces droites indéfiniment, décrivons, en prenant B C pour axe,

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l85 la circonférence B D C F , et l'hyperbole B m n avec son opposée Gm'n'.

D'un point quelconque m de l'hyperbole, menons aux deux sommets B , C, les droites Bm, Cm ; du point g, où cette dernière coupe la circonférence, menons B g; des points m, g, menons les ordonnées mS, gr; enfin, du point B, menons B V L perpendiculaire à B C , et qui coupe m C au point V.