AK . DK = BR . CK

Cet énoncé technique renferme toute la théorie des droites qui se coupent , soit au-dedans, soit audehors d’un cercle ; car il exprime que si sur une circonférence quelconque (Jlg. 3 et 3 ), on prend à volonté et dans quel ordre on veut , quatre points A , B , C , D ; que , par deux quelconques d’entre eux, comme A et D, on mène une droite AD, et par les deux autres B et C , une seconde droite B C, qui coupe la première , soit au-dedans , soit audehors de l’aire du cercle, au point K, on aura

ÂK. DK = BK. CK.

91* Il est aisé d’appercevoir qu’on seroit bientôt exercé à cette espèce de langage , et qu’il en résultèrent une très-grande simplification dans l’énoncé des propositions. Je ne doute pas que cette méthode, perfectionnée et étendue à toutes les parties des mar thématiques, ne donnât lieu à une sorte de calcul particulier, qu’on pourroit appeler de corrélation, fondé sur l’arrangement systématique des lettres ou signes pris pour représenter les objets et leurs divers rapports.

92. Pour en donner encore un exemple moins simple, soit un triangle ABC ( fig . 5) ; prenons sur les côtés AB, BC, les points D, E, à volonté, et proposons-nous de trouver les rapports qui existent entre les trois côtés du triangle A B C et ceux du triangle B D E.

Par les propriétés connues des triangles , on a dans le triangle ABC,

ÂC 2 = ÂB 2 + BÜ 2 — 2 ÂB . BC . cos AB C, et dans le triangle B D E ,

DE 2 = BË 2 + BD 3 — 2 BË . BD . cos AB C.

Multipliant la première de ces équations par BE, BD ,. la seconde par A B . BC , et retranchant ensuite ces deux équations ainsi transformées l’une de l’autre y puis réduisant , on a

{JC 3 — ÂB 2 — BC 2 ). BË. BD==(DË 3 -~^ a ~BD).ÂB.BC

équation qui exprime une propriété de la figure pro-

54 DELA CORRÉLATION posée , telle que des six choses que renferme cette équation , cinq étant données , on trouveroit la sixième. Or, s’il falloit exprimer cette propriété par une proposition entièrement conçue en langage ordinaire, cette proposition seroit assez compliquée ;

* mais dans le langage technique , où la formule elle-

même est donnée par l’énoncée , il est facile d’exprimer la proposition comme il suit :

ABC, BDE, ADB,BEC, donnent (ÂC 3 -AB J — BCO . BÈ • BD=(DÊ 3 — BË a — BD ’). AB.BC.

93. Pour appliquer cette proposition à d’autres cas , par exemple , au cas où les points D , E se trouveroient, non sur les droites mêmes AB, B C, mais sur leurs prolongemens, il faudroit établir la corrélation des figures j et par la corrélation de position des points placés sur les mêmes droites, on verroit quelles sont celles des quantités de la formule qui deviennent inverses , et on donneroit à leurs valeurs le signe de corrélation — . Les valeurs de corrélation ainsi trouvées, il n’y auroit plus qu’à les substituer dans les formules de la proposition.

94 . Supposons, par exemple, que tout restant d’ailleurs le même, le point D se meuve dans la direction AB, et vienne se placer au point D', au-delà du point B, de manière que DE devienne D' E ; il est clair que des six quantités AB, AC, BC, BD, B E , D E, du système primitif, et qui entrent dans

DES FIGURES DE GEOMETRIE* 55 la formule de la proposition , il n’y a que B D qui puisse devenir inverse, en se transformant en B D', car aucune des autres ne passe ni par o , ni par oo .

Quant à B D', elle est réellement inverse} car dans le système primitif, on a

BD==BÂ — ÂD,

et dans le système transformé, on a au contraire . BD'==ÂD— BÂ.

Donc B D' est inverse; donc sa valeur de corrélation est négative; donc pour avoir la formule correspondante au système transformé, il n’y a qu’à substituer dans la formule du système primitif, — BD' à la place de BD. On trouveroit de même les modifications qu’apporteroit toute autre mutation dans le système.

90. Si, dans la formule de la proposition , on suppose AD = o ou B D = B A , DE deviendra A E , et la formule pourra se réduire à celle-ci :

ÂË 3 . BC = ÂB 3 . ËC + ÂG 3 . BË — BC . BË . ËC r

par laquelle étant donnés les trois côtés d’un triangle et les segmens faits sur l’un d’eux , on trouvera la droite menée de l’angle opposé au point de séparation des deux segmens, et réciproquement.

96. On voit qu’il n’est pas toujours nécessaire pour trouver les changemens à opérer dans les formules, d’établir en entier la corrélation des figures;

56 DELA CORRÉLATION il suffit le plus souvent d’une légère attention pour reconnoître quelles sont les quantités qui deviennent inverses , et dont les valeurs doivent par conséquent changer de signes. Mais il est essentiel d’en connoître le principe ; et dans les cas compliqués , il est nécessaire de l’appliquer dans toute son étendue.

97. Il est encore à remarquer que l’énoncé technique d’une proposition comme celle qu’on vient de voir , ne suppose pas qu’on ait sous les yeux le tracé de la figure , et qu’elle le supplée ; car l’énoncé même de la proposition précédente apprend , sans que la figure soit tracée , qu’elle est composée de deux triangles ABC, BDE, et de deux lignes droites , contenant chacune trois points rangés dans un ordre donné , lesquels sont , pour la première , A, D, B, rangés dans l’ordre indiqué AD B; et pour la seconde B, E, C, rangés dans l’ordre BEC. Or, avec ces données, on a tout ce qu’il faut pour construire la figure proposée ; ce gui ne pourroit avoir lieu sans beaucoup de longueurs en langage ordinaire. Ainsi , l’énoncé technique contient une sorte de description symbolique qui renferrûe ellemême implicitement la description graphique. Ce n’est pas qu’il ne soit très-utile de s’aider de cette dernière ; mais il l’est souvent aussi de pouvoir s’en passer , et de n’avoir à opérer que sur les symboles. C’est même en cela que consiste un des plus grands avantages de l’algèbre , pouvoir se passer de l’inspection de la figure aussi-tôt que ses propriétés en sont traduites en phrases analytiques. Le reste de

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 5j cet écrit fournira plusieurs occasions de développer davantage ces idées.

PROBLÈME I er .

98. D’un point quelconque C pris pour centre (fig- 6) , soit décrite une circonférence A F A' F', et soient tracés dans cette circonférence deux diamètres A A', F F’, perpendiculaires l’un à l’autre.

Sur le premier quart A F de la circonférence , 6oit pris à volonté un point B , et de ce point , soient menées les perpendiculaires BD, BE , sur les diamètres A A', F F', respectivement ; soient enfin menées du point A une tangente indéfinie H A H', du centre C par B, la sécante indéfinie CH j et du point F, la tangente F G.

Cela posé , prenant pour terme de comparaison ou système primitif la figure ABCDEFGH, on propose d? établir la corrélation qui existe entre ce système primitif et les divers systèmes corrélatifs qui peuvent être formés , en supposant que le point B prenne successivement d’autres positions quel conques sur la ùirconférence tracée.

Solution. Il faut, d’après ce qui a été dit , concevoir que les rapports existans entre les quantités qui composent le système proposé, soient exprimées par des formules qui ne contiennent que ces mêmes quantités, et dans lesquelles les signes 4 - et — n’aient d’autre emploi que celui d’indiquer des opérations

58 DE LA CORRÉLATION exécutables sur ces mêmes quantités ou valeurs absolues $ et la question est de trouver comment on peut rendre ces formules immédiatement applicables au système transformé, lorsque le point B passe par degrés insensibles de sa position actuelle à une autre quelconque sur la circonférence tracée.

99* Imaginons d’abord que le point B se meuve sur le premier quart de la circonférence, soit en se rapprochant du point A , soit en se rapprochant du i point F, et que , pour chacune de ces positions , on

établisse le système corrélatif à celui qu’on a pris pour terme de comparaison ; c’est-à-dire , qu’on mène les lignes correspondantes à celles qui entrent dans la composition du système ci-dessus ; tous ces systèmes particuliers ne seront autre chose que le premier système transformé de diverses manières , par degrés insensibles.

Mais il est évident que le point B n’étant pas sorti de ce premier quart de circonférence , et n’ayant par conséquent passé ni par le point A, ni par le point F, aucune des quantités du système n’aura passé ni par o, ni par oo . Donc le système transformé sera toujours demeuré en corrélation directe avec le système primitif ( 1 6 ) ; donc tant que le point B ne sortira pas de ce premier quart de circonférence, aucune des valeurs du système transformé ne deviendra inverse ; donc les formules du système primitif lui seront immédiatement applicables.