B'"D= — BD
Pour faire sentir l’inconvénient de ces sortes d’expressions, il n’y a qu’à remarquer qu’on a
BB 7 = BË + B 7 !.
Mettant pour B'E sa valeur tirée de l’équation précédente , on aura
BB' = o;
ce qui répugne. On trouvera de même
bt = bd + F 7 d,
qui , en substituant la valeur de B'"D tirée de l’équation B"’ D = — B D , se réduit pareillement à BB 777 = o j
DES FIGURES DE GEOMETRIE. ’jZ autre résultat que le bon sens repousse. En admettant ces résultats , on auroit
BB 7 . BT=o,
d’où suivroit , par exemple , que le quarré inscrit dans un cercle seroit o. On sent bien que si l’on admettait de pareilles conclusions en mathématiques , cette science de l’évidence seroi t bientôt tellement dénaturée, qu’on ne s’entendroit plus ; et cependant , en regardant les quantités B' E , B " D , comme négatives , il est bien difficile de se défendre du paralogisme. Il faut donc en revenir à la distinction que nous avons établie entre les quantités proprement dites ou valeurs absolues , et leurs valeurs de corrélation : car ce n’est point B' E , mais sa valeur de corrélation quiestégaleà — BE; c’est-à-dire, qu’on a, non pas B'E = — BE, mais — B' E = — B Ej et alors il n’y a plus matière au paralogisme.
Il 4 . Supposons le rayon de la circonférence AF A' F' représenté par 1 -, nommons <*• le quart de
la circonférence , et faisons A B = a ; nous aurons donc
AB=a,”ABB î = 2 sr — a, ABRB^a *•+«,
BF=-a-— a, FB'=ar— -a, FB'B"— w-J-a, FB'B , B' ,/ =3w — a BD=ginc, BE=cosa, AD— sin v a, FE=cosva, AD *=2 — sinva. AH=tanga,FG=cot a, CH=séc a, CG=coséc a, FE"=a — cos y a. En substituant ces valeurs dans le tableau général
de corrélation formé ci-dessus , il prendra une nouvelle forme.
11 5 . Mais avant d’opérer cette substitution, je remarque que, d’après ce qui a été dit (108), ce nouveau tableau sera encore susceptible d’une plus grande généralité : car si l’on suppose que le point B arrivé en B'" continue de circuler en rentrant dans le premier quart de la circonférence, et reprenant sa première position, il est clair que les sinus , cosinus , etc. reviendront à ce qu’ils étoient , et que le nouveau système ne différera du système primitif
qu’en ce que l’arc A B sera devenu
ABBB “B' 7 'B = 4 » + a, et que l’arc B F sera devenu
FB'BB"B = 3 v + a.
Supposons qu’il fasse encore un nouveau tour : l’arc A B deviendra 8 «■ 4- a , et B F, 7®+ a.
Enfin , s’il décrit un nombre m de circonférences entières , l’arc AB deviendra
et l’arc B F, (4 m — + sans que les sinus, cosinus, etc. aient changé. On pourra donc , dans le tableau , au lieu du premier terme a du premier système, mettre en général
DES. FIGURES DE GEOMETRIE. 76 4 m 4- a , et au lieu du second t* — a , mettre en général 4 /ra — 1 «• + a. En appliquant la même observation aux second, troisième et quatrième quarts de la circonférence , on formera le tableau général suivant de corrélation entre tous les systèmes possibles.
Syst. des arcs dont le dernierpoint tombe sur le 1 er arc de la circonférence
Syst. des arcs dont le dernier point tombe sur le 2 e arc de la circonférence
Syst. des arcs dont te \ dernierpoint tombe sur le 3 e arc de la circonférence
-+- 4 m + 2 . tr — a, — 4 m -f 1 . <*+ a,
+ 4/n + 2 .'sr+a, — 4/71+1. « — a,
Syst. des arcs dont le
dernier point tombe I
sur le 4° arc de /J + 4/« + 4 .' 0 ’— a, 4/1» + Ù . v + O,
circonférence V
+ sina, 4- cos a, + sinva, + cosva,
+ sina, — cos a, +(2 — sinva), + cos v a,
— sina, — cos a, +2 — sinva, +(2 — cosva),
— sina, +cosa, + sinva, +(3 — cosva),
• + tanga, + cota, +séca, + coséca.
— tanga, — cota, — séc a, + coséca.
+ tang a , + cot a , — séc a , — coséc a.
•-♦-tanga, — cota, +séca, — coséca.
116. Au moyen de ce tableau général de corrélation, si l’on avoit une ou plusieurs formules entre
les quantités qui composent le système primitif, c’est-à-dire, celui des arcs moindres que le quart de circonférence qui a été pris pour terme de comparaison , en substituant à leurs places les valeurs qui lui correspondent dans l’un quelconque des autres systèmes , les formules auroient encore lieu , et seraient immédiatement applicables à cet autre système. Et réciproquement, on peut passer de l’un quelconque des quatre systèmes à celui des trois autres que l’on voudra, en substituant les valeurs de corrélation des quantités qui composent ce dernier, aux valeurs de corrélation qui composent l’autre.
117. Il est à remarquer que, dans ce tableau, on peut prendre , tant pour l’arc a que pour le nombre m , ou seulement pour l’un des deux , une valeur négative. Il en résultera seulement (28) que les nouvelles formules neseront plus immédiatement applicables aux mêmes systèmes, mais à d’autres systèmes corrélatifs ; et l’on verra aisément que ces systèmes sont ceux qui naîtraient en faisant circuler B dans le sens contraire au premier , c’est-à-dire , dans le sens BB , "B"B , , au lieu que nous l’avions fait circuler dans le sens B B B" B' '.
118. Il suit encore de ce tableau, qu’il faut distinguer pour chaque arc , ainsi que pour ses sinus , cosinus, etc. deux valeurs, savoir rsa valeur absolue, et sa valeur de corrélation. La première est celle qui a lieu , abstraction faite du signe qui l’affecte dans
UES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 77 le tableau ; la seconde est cette même valeur prise collectivement avec le signe de corrélation.
Par exemple, le sinus de l’arc du troisième système , a pour valeur absolue sin a , la même que sa correspondante dans le système primitif ; mais sa valeur de corrélation est — sin a. C’est donc cette dernière valeur qu’il faut substituer ( 27 ) dans les formules du système primitif, au lieu de sa valeur primitive + sin a, pour rendre ces formules immédiatement applicables au cas où l’arc, qui , dans le système primitif, est a , devient , comme
on le suppose, 4 m + 2 . -a + a; c’est-à-dire, en général , répondant au troisième quart de la circonférence.
Il suit de- là que, dans le second système, par exemple, — cos a est la valeur de corrélation du cosinus de l’arc 4 m + 2 . ■ -a — a ; que dans le troisième , — sin a est la valeur de corrélation du sinus de l’arc 4 m -f- 2 . » + a ; ainsi de suite.
119. Lorsqu’on emploie dans le discours ou dans le calcul , les expressions d’arcs , de sinus , cosinus, tangentes , etc. ou leurs abréviations, sans prévenir s’il s’agit de leurs valeurs absolues ou de leurs valeurs de corrélation , on entend toujours qu’il s’agit de ces dernières; et lorsqu’on veut parler des valeurs absolues, on en avertit expressément. Mais cette observation ne peut porter que sur les arcs qui ne sont pas compris dans le premier quart de la circonférence, puisque pour ceux-ci , la valeur de corré-
78 DELA CORRÉLATION lation n’est pas différente de la valeur primitive.
Nous aurons donc dans le second système, par exemple ,
cos ( 4 m + 2 . <3- — a ) = — cos a ; dans le troisième ,
sin ( 4 m + 2 . «■ + a ) = — sin a;
ainsi des autres j c’est-à-dire, que le tableau général de corrélation nous fournit cette série d’équations :
/sin ( 4 m v a } = sin a
jsin (4 m + a . — a) = sin a
Jsin (4 m + a . -s- + a) = ■ — sin as - ,
Vsin (4 — a) — — sin a
r cos (4m«- + o) = cos a '
jcos (4 m + 2 . — a) — — cos a
J cos (4m + 2 . & + a) — — cos a *cos (4m* — a ) = cos a
sin v ( 4 m «r + a ) = sin v a
sin v(4/7î+ 2 . & — a) = 2 — sin v a
sin v (4 m + 2 ./s -f a) = 2 — sin v a sin v ( 4 m « — a ) = sin v a
cos v( 4 m* + a) = cos v a cos v ( 4 m + 2 . « — a) = cos v a cos v ( 4 m + 2 . « + a ) = 2 — cos va cos v ( 4 /re « — a) = 2 — cos va
DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE, ’tang (4 ot't + a) = tang a |tang (4 m + 2 . 3 — a) = — tang a |tang (4 m + 2 . v + a) = tang a tang (4 mu — a) = — tanga
i cot (4/7Z3-j-a) = cot a cot ( 4 m + a . 3 — a ) = — cot a
jcot ( 4 m 4- a . 3 4 - a) = cot a . cot (4 m 3 — a) — — cot a
séc (4mir + a) = séc a séc ( 4 m, 4- 2 . <a — a ) = — séc a séc (4/» + 2. 34 - a ) = — séc a séc ( 4 m 3 — a) = séc a
, coséc (4 to^ + o) = coséc a Jcoséc (4ra + 2 .3 — a ) = coséc a
jcoséc (4m + a , ® + a) = — coséc a coséc (4/72-3 — a) = — coséc a
120 . L’arc B F ou 3 — a, qui forme le second terme du tableau dans le système primitif, est le complément de l’arc a : ainsi , le second terme , pour chacun des autres systèmes, est la valeur de corrélation correspondante. Par exemple , dans le second système, le second terme — ( 4 m + î . 3 4 - a ) est la valeur de corrélation du complément de l’arc, qui a lui-même pour valeur de corrélation le premier terme 4 m + a . 3 — a; ce qu’on exprime (119)
8o DE LA CORRÉLATION f
en disant que le second terme est le complément du premier ; et comme dans les quatre systèmes la somme faite du premier terme et du second est toujours on en conclut que la somme faite d’un arc et de son complément, est toujours le quart de la circonférence ; ou, ce qui revient au même , on nomme en général complément d’un arc ce qu’il faut lui ajouter pour faire le quart de la circonférence ; mais d’après ce qu’on vient de dire , cela ne s’applique immédiatementqu’aux arcs moindres que le quart de cette circonférence. Pour tous les autres, ce n’est pas des arcs eux-mêmes , mais seulement de leurs valeurs de corrélation que ces définitions doivent s’entendre.
1 2 1 . Il en est de même du supplément d’un arc , lorsqu’on dit que ce supplément est ce qu’il faut ajouter à l’arc pour faire une demi-circonférence.
Cela s’entend des valeurs de corrélation seulement, à moins que l’arc n’appartienne au système primitif, c’est-à-dire, ne soit moindre que le quart de la circonférence.
1 2 2 . Par la série des équations trouvées ci-dessus , on voit , par exemple ,
Que les sinus et cosinus verses de tout arc quelconque ( c’est-à-dire (ît g), leurs valeurs de corrélation ) sont positifs ;
Que la sécante est toujours du même signe que le cosinus ;
Que la cosécante est toujours du même signe que le sinus j
Que
DES FIGURES DE GEOMETRIE. 8l
Que la tangente et la cotangente sont toujours de mêmes signes ;
Que le signe de la tangente et celui de la cotangente sont toujours + lorsque le sinus et le cosinus sont de mêmes signes, et — lorsqu’ils sont de signes différens ;
Que le cosinus de tout angle obtus est négatif;
Que les cosinus de deux arcs égaux, mais l’un positif, l’autre négatif, sont égaux entre eux ;
Que le sinus de tout arc plus grand que la demicirconférence , mais moindre que la circonférence entière, est négatif ou positif, suivant qu’au contraire l’arc lui-même est positif ou négatif;
Que le sinus d’un arc est toujours égal au sinus de son supplément ;
Que le cosinus d’un arc est toujours égal à — le cosinus de son supplément;
etc. etc. etc.
123. Ces propriétés particulières peuvent se démontrer chacune isolément , sans recourir au tableau général de corrélation. Par exemple , on sait que, pour tout arc moindre que le quart de la circonférence, on a
cos a : sin a :: 1 : tang a ;
sin a
donc tang a = ;
cos a
donc ( 20 ) la même équation a lieu pour tous les systèmes possibles, en substituant à ces quantités primitives leurs valeurs de corrélation; donc si le
sinus et le cosinus d’un arc quelconque ont le même signe de corrélation , la tangente aura - 4 - pour le ■sien, et — si les signes de corrélation du sinus et du cosinus sont différens, ainsi que le portent les propositions particulières qu’on vient de voir.
Pareillement on a
cos a: 1 :: 1 : séc a ;
donc séc a = — - — ;
cos a i
donc le signe de corrélation de la sécante est toujours le même que celui du cosinus ; ce que nous exprimons ( x 19) en disant que la sécante est toujours de même signe que le cosinus. Cela se rapporte à ce que nous avons déjà dit ( 11 1 ).
124 . Je me suis fort étendu sur cet exemple familier pour développer davantage les principes exposés précédemment , et montrer combien il est essentiel de distinguer exactement dans un système de quantités , les valeurs de corrélation des valeurs absolues , et de tout rapporter à un système primordial , lorsqu’on ne veut jamais procéder que d’une manière claire et satisfaisante pour l’esprit. Cette marche, au surplus, n’apporte aucunes nouvelles difficultés de plus , et sert , au contraire , à en prévenir beaucoup.
1 2 5 . Il paroîtroit plus naturel de comparer directement un arc à sa corde même qu’à son sinus , qui est la moitié de la corde d’un arc double; et il est probable qu’on a commencé par en user ainsi. L’in-
DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 85 • vention des sinus doit sa naissance aux efforts qu’on a faits pour trouver la résolution des triangles. On a pu s’appercevoir bientôt que cette résolution , en général , pouvoit toujours se ramener à celle des triangles rectangles. On a donc pris pour terme de comparaison un triangle rectangle d'une base donnée , dont l’hypoténuse , par exemple , étoit représentée par i;ona calculé ce triangle pour tous les cas possibles, d’après cette hypothèse, et l’on a dressé des tables où ce calcul se trouve tout fait. Ces tables sont précisément celles qu’on nomme tables des sinus. C’est l’idée très-juste et très-lumineuse qu’en donne depuis long-temps Lacroix dans ses Cours , et sur laquelle il a formé le plan de sa Trigonométrie.
126. Soit (fig- 8), sur l’hypoténuse BC de ce triangle rectangle, ABC, prise pour diamètre, décrite une circonférence , elle passera par le sommet A de l’angle droit. Or, je dis qu’en représentant l’hypoténüse B C par 1 , le côté A B est le sinus de l’angle ACBj car si du centre D on mène à A C la parallèle DH, il est clair qu’elle tombera sur le milieu de A B : donc le sinus de A D H ou A C B est
ÂH ÂB BD BC ’
ou , à cause de B C = 1 , on aura sin A C B = A B ;
Si SE LA COURE L A TI O N
c’est-à-dire, que le sinus de l’angle A CB est égal à la corde sur laquelle il est appuyé dans ce cercle, dont le diamètre est 1 ; et comme tout autre angle, tel que AFB, appuyé sur la même corde, et ayant son sommet à la circonférence , a la même mesure, on peut dire en général ( attendu que dans différens cercles , les cordés des arcs d’un même nombre de degrés sont proportionnelles aux diamètres) que le sinus de tout angle inscrit dans un cercle quelconque , est égal à la corde sur laquelle il est appuyé , divisée par le diamètre.
C’est sous ce rapport que j’envisagerai la théorie des quantités angulaires dans la question suivante.
