PROBLÈME II
127. Tracer une figure qui représente les principaux rapports existons entre les sinus et cosinus de deux angles proposés , les sinus et cosinus de leur somme , et les sinus et cosinus de leur différence.
Solution. Soient m et n les deux angles proposés, que je suppose d’abord chacun , ainsi que leur somme m + /z, moindres que le quart de la circonférence, afin de les rapporter plus facilement aux formules du système primitif dont il a été question dans le problème précédent. Supposons de plus m^>n, et nommons 's l’angle droit.
Traçons à volonté une droite AD {fig-ty), ét faisons d’un côté de cette droite l’angle BAD = /«,
DES FIGURES DE GEOMETRIE. S.J et de l’autre , l’angle C A D = «. Par un point E pris à volonté sur A D , menons B C qui lui soit perpendiculaire ; inscrivons le triangle ABC dans un cercle, et supposons, pour plus de simplicité, le diamètre de ce cercle représenté par 1 ; menons enfin les deux droites BD, CD, et faisons E F = C E et EH=DE. Cela posé, je dis qu’on aura les formules suivantes* qui expriment les rapports demandés.
ÀB = cos n AC = cos m B D = sin m CD = sin n
BC
sin m cos n + sin n cos m
-(■ = sin ( m + n) l = sin m cos n H — f = cos(m — n)
( = cos m cos n ■+■ sin m sin n
—■ — — — — f = sin ( m — n )
B F ou BE — EC{
[ = sin m cos n — sin n cos m
. — — -, — — f = cos ( m + n )
A1Ï ou AL — DE <
fc
cos m cos n ■
sin m sm n
— f=7sin(m + «) -fîsin(m — n) ' — : sin m cos n
CE
XË
f = x sin ( tu + n) — ^ sin (tu — >ri) l — sin n cos m
T f = icos(wï — n) + \cos (m + n)
= cos m cos n
— \cos{ m — n)
— j cos
— sin m sin»
C = sin (m + n) . sin(m — n )
B C . BF< = sia* m — sin* n
/ == cos* n — cos* m '* /
f = cos ( m — n ) . cos ( m + n )
AD . AH l = cos * m — sin * n ( — cos* n — sin* m
n’+Dc*jïf" +cos '' 1
ÂC ! +BD-{ï S j n ' m + C ° S ‘“
ÂË 3 + BÊ 3 + CË 1 + D'É 3 = i.
1 28. En effet, le diamètre étant représenté par 1 , chacun des angles qui ont leur sommet à la circonférence a ( 126 ) pour sinus la corde sur laquelle il est appuyé. Donc d’abord
B D == sin m , C D = sin n , ainsi qu’il est porté au tableau précédent. De plus , l’angle E étant droit par hypothèse, l’angle ABC est complément dem, et A C B complément de n. Donc on a aussi
AB = cos n, AC = cos m; et par la même raison , B A C étant 772 + 72 , on a
BC = Sin ( 772 + 72 ) ,
comme il est porté au tableau.
•sr étant le quart de la circonférence, l’angle ÀBD ouABC-t-CBD sera -ar — 772 + 72 , ou complément de 771 — 72 . Donc
DES FIGURES DE GEOMETRIE. 87 A D = cos ( m — n) t comme le porte le tableau.
Menons la droite A F prolongée jusqu’à la circonférence en G y et tirons B G. Puisque par l’hypothèse on a F E ?= EC, on aura
GAD = DAC = n.‘ donc BAG = m — n ;
donc B G = sin ( m, — n ).
Or, il est facile de voir que le triangle B GF est isoscèle, c’est-à-dire , que B F = B G : donc BF = sin ( m — n),
comme l’indique le tableau ; et par un raisonnement semblable , on verra que A H = cos ( m + n ).
La somme des deux segmens B E , CE, est B C ou sin (m + n) , et leur différence est B F ou sin (m — n). Donc le plus grand,
BE =x s i n { m + n ) ."F î s * n ( m n ) * et le plus petit ,
CE = 1 sin ( m + n ) — \ sin ( m —n ) , ainsi qu’il est porté au tableau ; et par un raisonnement semblable, on verra que
AË = ;cos (/7t — n) + 7 cos (m + n), et DE = ; cos ( m — n ) — icos(m + »).-
Puisque BC est la somme des segmens B E, C E ,
et B F leur différence, le produit B C ►BF, ou
sin ( m + n ) . sin ( m — n ) , sera la différence des
quarrés de ces segmensj c’est-à-dire, qu’on aura
J3C . BF = BË S — Cl 3 :
mais le triangle rectangle A B E donne Bl a = ÂB J — ÂË a , et le triangle ACE donne
CË a = ÂC a — ÂË a .
Otant cette dernière de la précédente , on aura B E a — CE a = A B a — A C a = cos* n — cos* madone B C . B F = cos* n — cos‘m, comme l’indique le tableau. De même on trouvera
AD. AH = cos ( m — n ) . cos ( m + n )
— cos* m — sin* n = cos* n — sin’m.
L’angle E , qui est droit , ayant pour mesure la
moitié de la somme des arcs AB, CD , la somme de ces arcs fait moitié de la circonférence : donc la
somme des quarrés des deux cordes AB, D C , est égale au quarré du diamètre : donc
A B a + D C a ou sin* n -f- cos* n — 1 et pareillement ,
A C a + B D a =s sin* m + cos* m,* et puisque le triangle rectangle A B E donne. . .
A B a = A E a + B E a , et le triangle DCE
DC 3 = CE 3 + D E a , on aura, en ajoutant ces équations ,
Tb’+DC 3 ou 1 = XË 3 + BË 3 + CE 1 + DK’, comme il est porté au tableau.
129. D’un autre côté, le triangle ABE donne AB ou cos n : B E " 1 : sin m; , donc B E = sin m . cos n;
et de la même manière , les triangles rectangles ACE, BDE, DCE, donnent
C E = sin n . cos m,
A£ = cos m . cos n ,
D E =.sin m . sin n , ainsi que l’indique le tableau.
x Enfin , ajoutant ensemble la première et la seconde de ces dernières équations, on a
BË + CE,
ou B C = sin(/ra+ ra) = sin m. cos n +sin n. cos m.
En retranchant, au contraire, la seconde de la première , on a
sin (m — n) = sin m . cos n — sinra . cos m; en ajoutant la troisième et la quatrième ensemble, on a
cos ( m — n ) = cos m . cos n + sin m . sin n ; et en retranchant, au contraire, la quatrième de la troisième, on a
cos (/»+«•) = cos m . cos n — sin m . sin n, conformément à ce que porte le tableau.
Toutes les formules portées dans ce tableau se
go DE LA CORRÉLATION
trouvent donc démontrées , et la figure g, dont il est la traduction analytique, représente d’une manière simple les rapports cherchés entre les sinus et cosinus des angles proposés, ceux de leur somme et ceux de leur différence. Je ne m’étendrai pas sur les nombreuses conséquences qu’on a tirées de ces rapports élémentaires , mon objet n’ayant été que d’en offrir l’ensemble sous un nouveau point de vue.
1 . 50 . Dans les raisonnemens précédens , nous avons supposé m , n, et m + n, moindres, chacun, que le quart de la circonférence : ainsi , les formules sont explicites pour cette hypothèse. On peut maintenant attribuer km, n, d’autres valeurs quelconques, et même de négatives ; mais les nouvelles formules qui en résulteront, cesseront d’être immédiatement applicables au système que nous venons de considérer j elles se rapporteront à d’autres systèmes corrélatifs , qu’on trouvera dans chaque cas particulier, en voyant quel est celui qui satisfait aux formules ainsi modifiées. y .
1 3 1 . Supposons , par exemple , que la droite B G se meuve parallèlement à elle-même , en se rapprochant du point A jusqu’au-delà du centre du cercle. L’angle BACoum + n deviendra obtus ; mais ni m, ni n, n’auront passé ni par o , ni par oo . Ainsi, leurs signes de corrélation ne changeront pas dans les formules trouvées, lorsqu’on voudra en faire l’application au nouveau système.
l3i.‘ Supposons maintenant que BC se meuve
DES FIGURES DE GEOMETRIE. gi
parallèlement à elle-même dans le sens opposé, c’est-à-dire, en s’éloignant du point A, et qu’en-
suite la droite AD se meuve aussi parallèlement à elle-même, en s’éloignant du centre, jusqu’à ce que le point E d’intersection de cette droite avec BC, tombe hors du cercle ( fig . io ) ; je dis qu’alors l’angle n ou CAD sera devenu inverse. En effet, cet angle a évidemment passé par o au moment où le point E s’est trouvé sur la circonférence, et par conséquent en coïncidence avec C et Dj et de plus, dans le système primitif, on avoit
CAE = C AB — BAE; tandis que dans le nouveau, on a, au contraire,
CAE = BAE — CAB.
Quant à l’angle m, il reste direct, puisqu’il n’a évidemment passé ni par o, ni par oo . Donc pour savoir dans ce cas ce que deviennent les formules , il n’y a qu’à changer, dans le second membre de chacune, le signe de /z, et l’on trouvera la valeur de corr^atjon du premier membre regardé comme inconnue. Ainsi , l’on pourra juger si ce premier membre reste lui-même direct , ou devient inverse. C’est ce qu’on peut voir aussi directement sur chacune des quantités qui entrent dans ce premier membre. Par exemple , on voit que D E est inverse , puisque , dans le nouveau système , on a
DÊ = ÂË — ÂD;
tandis que dans le système primitif, on avoit DË = AD — ÂË.
De même , C E est inverse , puisque dans le premier système , on avoit
CE == BC — BË,
et que dans le second , on a
CË = Bl — BC.
CD est également devenue inverse ( 122), puisqu’elle est le sinus de l’arc CAD qu’on vient de voir
être devenu inverse. Quant aux quantités AB, AC, BD, BC, AD, B E , A E , aucune d’elles n’a passé ni par o, ni par 00 . Elles sont donc restées directes, et nous pouvons par conséquent établir entre les deux systèmes la corrélation suivante :
1 ,r 5 /s^ +XS; +€,+rô, +œ, +BCi + ÂD, +BÊ^+C^+Âi; +DK a* Syst. +ÂB,+ÂC,+BD,— CD,+BC,+II 5 ,+BË,— ^ CË^ÂË,— DËl
Si donc l’on vouloit rendre les formules trouvées immédiatement applicables au nouveau système , il suffiroit, après avoir, comme nous l’avons dit cidessus , changé dans le second membre de chacune le signe de n , de changer également, dans le premier membre , le signe de celles des quantités énumérées dans ce tableau de corrélation , qui , d’après ce même tableau, seraient devenues inverses.
, On peut de la même manière établir la corrélation du système primitif avec le nouveau système, quelques transformations qu’il éprouve.
l 35 . La figure primitive elle-même , sur laquelle a été fait le raisonnement, fournit huit systèmes
DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 95 corrélatifs au premier , celui-ci compris , puisque chacun des quatre angles A, B, C,D, peut être placé le premier en ordre de deux manières différentes , comme il suit :
Corrélation de construction des points.
i** Système . . .
