CD ABE
6 * Système. . .
.... CADBE
7 * Système . . .
.... DBCAE
8 ‘ Système. . .
.... DCBAE
Tous ces systèmes sont visiblement en corrélation directe avec le premier, et l'on peut leur appliquer immédiatement les formules trouvées.
1 34 . Pour appliquer, par exemple, au quatrième
système la formule.
sin ( m + n ) = sin m . cos n + sin n . cos ro, qu’on trouve pour le premier, en égalant les doubles valeurs de B C , il n’y a qu’à établir la corrélation des valeurs qui entrent dans cette formule avec leurs correspondantes dans le quatrième système , comme il suit :
i* 1 Syst. . . mou B A E n ou C A E.
2* Syst ABE ouv — m y . .. . DBE ou n.
C’est-à-dire , qu’il faut substituer v — m à la place
de m dans la formule, et laisser n : alors cette formule deviendra
sin (-s- — (m — n)),
ou cos(m — tz)=cosot. cosn + sinwi . sinn, qui s’accorde avec une de celles du tableau formé (127).
l 35 . Il est à remarquer que la droite A F G coupe
B D perpendiculairement au point I ; car dans le triangle I À D , l’angle I A D étant , par hypothèse , égal àDACou»,etIDA égal àBCAou® — n, il suit que la somme de ces deux angles fait le quart de la circonférence : donc AID fait aussi le quart \ de la circonférence} c’est-à-dire, que AI est perpendiculaire à B D. Donc , réciproquement , en menant du point A la perpendiculaire A I sur B D , cette perpendiculaire passera par F. Par la même raison , en menant du point D une perpendiculaire D K. sur A B , elle passeroit aussi par le point F. Donc , dans le triangle AB D , les trois perpendicu- v laires A I , B E , DK, menées des trois angles sur les côtés opposés , se croisent toutes au point F. On. prouveroit de même que , dans le triangle ABC, les trois perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés se croiseroient toutes au point H ; et comme les angles m, n , sont pris à volonté, on peut en conclure que , dans tout triangle , les trois perpendiculaires menées des angles sur les côtés opposés , se croisent toutes en un même point.
DES FIGURES DE GEOMETRIE. g»
l 36 . Puisque l’angle G AD est, par construction , égal à l’angle CAD, l’arc G D sera égal à
l’arc CD. Donc, en général, si d’un point D, pris à volonté sur une circonférence, on mène deux
cordes quelconques DA, D B , et que des autres extrémités A et B de ces cordes , on leur mène les perpendiculaires AG, B C , prolongées jusqu’à la
circonférence, les arcs DG, DC, compris entre le premier point D et les nouveaux points d’intersection , seront égaux. D’où il suit , par exemple , que si l’on menoit la corde C G , elle seroit coupée perpendiculairement par le diamètre mené du point D; et que, réciproquement, la droite menée du point D, perpendiculairement à CG, passeroit par le centre du cercle.
1 37 . On pourroit, en partant toujours des notions que nous avons données (126), rapporter la théorie des quantités angulaires dont nous venons de parler à un principe plus général , qui consiste dans cette proposition connue , que , dans tout quadrilatère inscrit au cercle , le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.
Car, soit (fig. u)ACBDun semblable quadrilatère. Supposons l’arc AB = 2 a, AC — 2 b, DC = 2 c,
et par conséquent BD = a.(a-w — ( a-f-i-f-c)) , nous aurons donc (126)
96 DELACOftiliiLATÎOtf
A B = sin a ,
A C = sin b , -
DC = sin c y
BD = sin (a + b -f c),
B C = sin (a + b) f AD = sin (b + c).
Substituant ces valeurs dans l’équation
BC . ÂD = ÂB . DC +ÂC. BD, nous aurons sin(a+£) . sin(i+c)=sina. sinc+sinô. sin(a+è-j-c) , formule qui aura lieu quelles que soient les valeurs qu’on attribue aux angles a, b y c.
Supposons y par exemple , b + c — tr j on aura donc
sin (5 + c) = i, sin c = cos b ,
sin (a + 6+ c) = sin ( v + a) — cos a.
Donc la formule deviendra
sin ( a + b ) = sin a . cos b + sin b . cos a. Supposons b = *■ y nous aurons
sinô = i, sin (a-f i) = cosa, sin (5+c) = cose > sin ( a -f- b + c) = cos (a + c).
Donc la formule deviendra > coS ( a + c ) = cos a . cos c — sin a . sin c. Supposons c = — a ; nous aurons sinc = — sin a, sin(ô+c)=s:sin(i — a), sin ( a + b + c ) = sin b.
Donc la formule deviendra
sin ( b + a ) . sin ( b — a ) = sin* b — sin* a.
Soit
i by Googli
Soit c ~ 'a — a; on aura
sin c. 5=5 cos a, sin (b -f- c) = cos (a — b)>
sin (a + b + c) = cos b.
Donc la formule deviendra sin (a + b) . cos (a b) = sina . cos a + sin b . cos b.
Ainsi, cette seule proposition renferme toute la théorie des quantités angulaires.
108. Après avoir parlé du rapport de ces quantités , disons quelque chose du rapport des lignes. Il faut pour cela se rappeler que nous avons fait le diamètre du cercle = i ; et la valeur linéaire de ce diamètre ne pouvant entrer dans celles des sinus, cosinus, etc. parce que ceux-ci sont toujours del nombres abstraits, il n’y a rien à changer à cet égard dans Iqs rapports que nous avons trouvé exister 'entre eux. Mais s’il s’agit d’avoir les valeurs effectives des lignes de la figure, il faudra commencer par rendre les équations homogènes, en remettant à la place de l’unité, là où elle représente le diamètre, la valeur effective de ce même diamètre. Supposons donc le rayon = R, et par conséquent le diamètte = 2 R ; alors , pour rendre homogènes les équations trouvées, il faudra y mettre, au lieu des
valeurs A B , A C, BD, etc. celles-ci , AË
. ... ~ aft’aU’flft»
qui par-là deviendront des nombres abstraits, ainsi que l’est chacun des seconds membres de ces équations. . . , ■
y8 DE LA CORRÉLATION
l3g. Les formules ainsi transformées, pourront fournir plusieurs conséquences nouvelles. Par exemple, nous avons pour l’une d’elles
ÂB 3 + DC 3 =i.
Cette équation deviendra
^ + ou ÂB 3 + DC 3 = 4R 3 ,
HË ~ 4 R ’
qui nous apprend que si dans un cercle on mène deux cordes qui se coupent à angle droit au-dedans du cercle , la somme des quarrés de deux quelconques des côtés opposés du quadrilatère auquel ces cordes servent de diagonales , sera égale au quarré du diamètre, et par conséquent la somme des quarrés des quatre côtés de ce quadrilatère sera double du quarré de Ce même diamètre.
De même nous avons pour l’une des formules ,
ÂË 3 + BË 3 + CÊ’ + ÏHË J = 1 :
or , cette équation devient
ÂË 3 + BË 3 + CË 3 + DE 3 = 4 R*, ce qui nous apprend que si dans un cercle on mène deux cordes quelconques qui se croisent à angle droit , la somme des quarrés des quatre segmens sera égale au quarré' du diamètre.
Puisque BC = BE + EC, on aura
BC 3 =s= BË 3 + ËC 3 + a BË . ËC , et pareillement
AD 3 = ÂË 3 + ËD 3 +2ÂË.ËD;
Des figures de géométrie. g 9
ajoutant ces deux équations, et observant que, par la proposition précédente, on a
Ab + ED J + BE ! + CE 2 = 4 R*, et que par la propriété du cercle, on a BE . ËC = Âlî . ËD, il viendra
BC 3 -f ÂD 3 == 4 R* + 4AE. ËD; et comme par la propriété du cercle dont nous Venons de parler, le produit ÂË . ËD est le même pour toutes les cordes possibles coupées en deux segmens par le point E , il suit que > dans un cercle quelconque, si par un point E donné sur sa surface, on mène à volonté deux cordes qui se coupent à angle droit, la somme des quarrés de ces deux cordes sera toujours la même.
Nommons r la distance du point E au centre du cercle, ou le rayon de la circonférence concehtrique qui passeroit par le point E; les segmens formés par E sur le diamètre , passant par ce point , seront R + r, R — r; et leur produit sera par conséquent R* — r*. Donc on aura
ÂD . ËD = R* — r"; donc l’équation précédente deviendra BC 3 -+- ÂD 3 = 8 R 1 — 4 r*/ c’est-à-dire, que si d’un point quelconque pris sut la surface d’un cercle , on mène deux cordes quel* conques orthogonales , la somme des quarrés dé ces deux cordes sera toujours égale au double du quarrédu diamètre , moins quatre fois le quarré
DE LA CORRELATION de la distance du point d’ intersection des deux cordes au centre du cercle.
En fin , comme d’après les formules trouvées ( 1 27),
il est aisé de voir qu’on a aussi BC J + AH J = i, cette formule deviendra
