PROBLÈME III

l4'2. Trouver les rapports existons entre les côtés d’un triangle quelconque r les perpendiculaires menées des angles sur les côtés opposés , les segmens formés sur ces côtés et ces perpendicu-

102 DELA CORRÉLATION laires , et enfin les angles résultans de cette construction.

Solution. Il est aisé de voir que la solution du problème précédent fournit la solution de celui-ci j car si l’on inscrit le triangle ABC proposé dans un

cercle ( fig . 12 ), et qu’ayant prolongé la perpendi- ■ / culaire A H jusqu’à la circonférence en A’, on mène

B A', C À', il est évident que le quadrilatère ABC A' est une figure pareille à celle qui a été calculée dans le problème précédent. Nous pouvons donc en déduire les formules cherchées ; mais avant d’y procéder , je placerai quelques observations sur l’espèce de symétrie qu’offre cette figure.

1 43, D’abord j’ai démontré dans le problème précédent , que les perpendiculaires menées des trois angles À, B, C, sur les côtés opposés, doivent se croiser toutes en un même point D; mais chacun des angles A, B, C, est, à cet égard , dans le même cas que le point D \ c’est-à-dire , que, de même que le point D est celui où se croisent les perpendiculaires menées des angles du triangle ABC sur les côtés opposés , le point A, par exemple , comme on le verra facilement , est celui qù se croisent les perpendiculaires menées des trois angles du triangle B CD sur les côtés opposés ; et de même des autres. Ainsi , les quatre points A, B, C, D, fqrment , trois à trois, un triangle tel, que les trois perpendiculaires menées des angles de ce triangle sur les côtés opposés , se croisent toutes au quatrième de ces

DES FIGURES DE GEOMETRIE. loâ points. La figure est donc un système de quatre points réunis deux à deux par des droites qui se trouvent telles , que chacune de celles qui passent par deux de cés points , coupe perpendiculairement celle qui passe par les deux autres.

144. Cette figure a de plus la propriété qu’en faisant passer par trois quelconques des quatre points A, B, C, D, par exemple, par A, B, C, une circonférence, si l’on prolonge les perpendiculaires abaissées des angles du triangle ABC, jusqu’à la circonférence en A', B', C', il en résultera trois quadrilatères inscrits à diagonales orthogonales, tels que celui que nous avons examiné dans le problème précédent, savoir, A B A / C, BCB' A, CAC' B, dans lesquels on a les triangles parfaitement égaux et semblables deux à deux , B D C et B A' C, A D B et A C' B, ADC et AB'C.