AC 3 + BD J = 4 R

c’est-à-dire, que la somme des quarrés de deux côtés quelconques perpendiculaires Vun à Vautre , est égale au quarré du diamètre du cercle circonscrit.

l5l. Toutes ces propositions peuvent être réunies en une seule, sous forme technique, comme il suit :

A, B, C, D, à volonté sur un même plan , cir ABC, rayon R ,

ÂB" 1 CD, Te" 1 BD, BC 1 AD,

ÂB’CD=j=F, ÂC ’BD#=G, BC*ÂD#=H,

donnent

i°. ÂF.BF = CF.DF,

a». AD. HD = BD. GD,

3% ÂF a +~BF a + CF a + DF J =f 4 R%

4°. ' AD a + BC a = 4 R*.

162 . Toutes ces formules étant à deux termes seulement, ou ne renfermant que des valeurs éle-

vées au quarré, sont immédiatement applicables à tous les systèmes corrélatifs , comme le porte dans l’énoncé technique cette expression A , B , C , D , à volonté , dans un même plan ; c’est-à-dire, rangés dans un ordre quelconque, pourvu qu’ils soient placés dans un même plan.

153. Ainsi , par exemple , sans sortir de la figure proposée , on peut substituer dans ces formules deux quelconques des quatre points A,B,C,D, l’un à l’autre. Par exemple, dans la première, mettons D à la place de A, et A la place de D ; AB C D deviendra donc DB CAj c’est-à-dire, que F deviendra G : substituant donc dans la première formule , A pour D, D pour A, G pour F, on aura

DG . BG =' CG . AG , ainsi des autres.

154. Mais la figure proposée a aussi d’autres propriétés qui doivent éprouver des modifications , suivant la corrélation déposition des points A, B, C, D , entre eux. Par exemple , j’ai remarqué, dans tm autre écrit, une propriété assez curieuse de la figure que nous considérons ici ; c’est que la somme des trois droites DA, DB, DC, menées du point D à chacun des trois autres A , B , C, est égale à la somme faite du diamètre du cercle AB A'C , circonscrit au triangle A B C , et du diamètre du cercle , qui seroit inscrit à ce même triangle.

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Or , cette propriété est également applicable à chacun des autres points A,B,C, mais avec une modification qui se tire de la corrélation de position des points , et qui consiste en ce que , quand l’un des angles devient obtus , la perpendiculaire abaissée de cet angle, sur le côté opposé, devient inverse , et par conséquent sa valeur de corrélation négative. Ainsi , par exemple , pour le triangle BDC , où l’angle D est obtus, la somme faite du diamètre du cercle inscrit , et du diamètre du cercle circonscrit, est égale, non pas à la somme des droites A B , A C , AD, mais à cette même somme modifiée par le changement du signe de corrélation de A D ; c’est-à-dire, AB + A C — AD.

155. Les perpendiculaires A H , B G , C F , décomposent le triangle ABC en trois quadrilatères AFDG, BFDH, CGDH, dont chacun a deux angles droits opposés en diagonale , et par conséquent est inscriptible dans un cercle. On peut donc appliquer à chacun d’eux les propriétés connues des quadrilatères inscrits.