Soit dansl’un d’eux AFDG, par exemple
menée la diagonale FG, qui joint les deux angles droits, et proposons-nous d’en trouver le rapport avec l’autre diagonale AD du même quadrilatère. Pour cela concevons sur AD , comme diamètre, une circonférence décrite ; cette circonférence passera par les points F et G $ F G sera donc une corde de
DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. log
ce cercle, et par conséquent (126) sin. FAG= ;
AD
donc on aura
FG=ÂD . sin F AG,
ce qui donnera le rapport cherché par cette proportion FG : AD :: sin F AG : 1.
1Ô7- Puisqu’en nommant R le rayon du cercle A B A'C nous avons aussi
sin F AG ou sin BAC =-P .
on aura , en substituant cette valeur dans l’équation précédente ,
FG=A JJ .: BC 1 ouFGîAD :: BC:aR.
198. Pour faire une application de ce que nous venons de dire particulièrement sur les quadrilatères à deux angles droits opposés , tels que celui -dont nous venons de parler, soient {fig. i 3 ) trois circonférences tracées dans un même plan ; on demande qu' il soit tracé une quatrième circonférence , qui soit tangente aux trois autres.
Soient A , B , C , les centres des trois circonférences données ; X , celui de la circonférence cherchée. Formons le triangle ABC, et du centre X, menons à chacun des autres une droite. Du même point X , menons sur A B et B C les perpendiculaires XE , X F, et joignons E, F, par la diagonale êf.
iro DELA CORRÉLATION
Les angles BEX, B FX , étant droits l’un et l’autre, si l’on conçoit sur BX , comme diamètre, une circonférence tracée , elle passera par les points E, F, et par conséquent (i56) on aura
ËF==BX . siu ABC j ou élevant au quarré ,
ÊF J = BX 3 . siu 3 ABC.
D’un autre côté, dans le triangle EBF, on a ËF a = ÊB 3 + BF 3 — aËB.BF. cos ABC:
égalant donc ces deux valeurs de EF 2 , on aura BX 3 . sin 3 ABC — ËB 3 + BF 3 — aËB.BF. cos ABC. Cela posé, soient x le rayon de la circonférence cherchée, A, B, C, les rayons des circonférences qui ont leurs centres respectifs aux points de mêmes dénominations ; a , b , c , les côtés du triangle ABC, respectivement opposés aux angles A , B , C j et enfin m, n, le sinus et le cosinus de l’angle connu ABC. L’équation trouvée ci-dessus deviendra donc ,
(B + *) 3 m 2 = ËB 3 +lîF 3 — aËB.BF. n.
Il reste donc à trouver E B et B F en valeur de x , pour avoir une équation qui ne renferme que cette inconnue , avec des quantités données.
Or , dans le triangle X B A , on a
ËB 2 — ÂË 3 = BX 3 — ÂX 3 , ou mettant pour AiE sa valeur AB — EB ou c— EB ,
DES FIGURES DE GEOMETRIE. lit
pour ËX sa valeur B+ x , pour AX sa valeur A + x , on aura
îËB.c - c*=B* — A* + (2B — 2 A)x,
-—r B‘ — A* 4- c* + (sB — 2 A ) a? ou EB = — *
On trouve de la même manière ,
B* — C* + o* + (aB — a C) x a a
Substituant donc ces valeurs de E B et B F dans l’équation trouvée ci-dessus , nous aurons
- /'B 1 — A»+ c a + (aB — aA) ; .x
(B*— A»+c»-)-( 2B— aA) .x) ■ (B 2 — C 2 -f c 2 +(2 B — aC) . x )
équation qui ne monte qu’au second degré.
l5g. J’observerai , en passant, une propriété particulière des circonférences , qui , comme celles dont on vient de parler , sont dans un même plan et se touchent (fig- i4 ). C’est qu’en général, si une circonférence (ABC) en touche à la fois deux autres (ADG, BFH,) la droite ( AB ) menée par les deux points (AB) de contingence , ira couper ces dernières circonférences en deux points ( D , P) , tels que si dé chacun dé cès points on mène un diamètre ( DG , F H ) à la circonférence sur laquelle il est placé , ce diamètre sera
lia DE LA CORRÉLATION
parallèle à la ligne des centres ( K B, K A ) des deux autres circonférences.
Si le rayon de l’une de ces circonférences devient infini 5 cette circonférence pourra être prise pour une ligne droite {fig. 1 5 ) , et par conséquent si une circonférence (ABC) touche à la fois une autre
circonférence (FC G ) et une droite (AE) données, la droite ( A CG ) menée par les deux points de contingence passera nécessairement par Vune des extrémités du diamètre (F G ) de cette seconde circonférence , perpendiculaire à la droite donnée.
Les mêmes propriétés ont lieu lorsqu’une sphère en touche à la fois deux autres, parce qu’alors les trois centres et les deux points de contingence sont nécessairement dans un même plan. Ces propriétés sont utiles pour tracer des cercles et des sphères tangentes , sous certaines conditions données. Je reviens à l’objet du problème que nous nous sommes proposé.
160. Pouf trouver les rapports qui existent entre les douzè angles et les dix - huit droites de la figure proposée ( 147 ) , je rapporte toutes ces quantités à trois d’entre elles , lesquelles suffisent évidemment pour terminer toute la figure , pourvu que , ce ne soient pas trois, angles ; mais pour plus d’uniformité dans l’expression de ces rapports , j’introduis dans le calcul une nouvelle droite, qui servira de terme de comparaison à toutes les autres. Je choisis pour ce terme de comparaison le
* rayon
DES FîdUftES DÉ GÉOMÉTRIE. u3 ïayon du cercle circonscrit au triangle ABC, et je nomme ce rayon R. Je prends , avec ce rayon , les deux angles BAD ,C AD, et ces trois quantités sont celles auxquelles je rapporte toutes les autres dans le tableau suivant, dont la formation ne peut souflrir de difficultés , d’après les résultats du problème précédent. On terra qu’outre les dix-huit droites dont j’ai parlé, j’ai compris dans ce tableau les trois droites F H , GEt , F O.
l 6 l. Je donnerai à Ce tableau la forme d’un énoncé technique, comme il suit. D’après les notions données ( 73 et suiv. ).
Soient ABC, D pris sur l’aire du triangle s AB~* CD, AC n BD, BC"* AD,R/e rayon du Cercle circonscrit ,• v l’angle droit , on aura
V ileurs des angles .
