PROBLÈME IV

166. Trouver les rapports qui existent entre les côtés d’un quadrilatère quelconque , ses diagonales , les segmens et les angles qui en résultent.

Solution. Soit ABD C {fi g. 16) le quadrilatère proposé : prolongeons les côtés AB , D C , jusqu’à ce qu’ils se coupent au point F , et pareillement les côtés opposés AC, BD, jusqu’à leur rencontre au point G. Menons enfin les deux diagonales AD, BC, nous trouverons dans cette figure trente-trois choses à considérer ; savoir , dix-huit droites et quinze angles. Ces dix-huit droites sont, 1°. les. quatre côtés du quadrilatère et ses deux diagonales, lesquels ensemble, au nombre de six, ont cette propriété commune , que chacun est la droite qui joint deux ( des quatre angles du quadrilatère; 2°. les douze segmens formés deux à deux sur chacun des côtés ou des. diagonales dont nous venons de parler. Quant aux quinze angles, ce sont ceux qui sont formés par ces mêmes côtés ou diagonales, pris deux à deux : sur quoi il est à observer que je compte pour-, un- seulement chacun. de ces- angles et son supplément. Or > de ces trente-trois choses à considérer , il est clair, qu’il suffit d’en connoître cinq, quelconques, pourvu que ce ne soient pas cinq angles , et qu’elles no soient pas implicitement renfermées les unes dans

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Il8 DELA CORRÉLATION

les autres , pour que tout le reste de la ligure soit déterminé.

167. Pour découvrir les propriétés de cette figure, je commence par considérer seulement, les quatre cotes du quadrilatère proposé avec leurs huit segmens , en supprimant les deux diagonales : elle se réduira donc à A B C DF G (Jig • 17), dans laquelle on voit qu’il se trouve quatre triangles ÂBG, ACF, F BD, G CD. Chacun de ces triangles est forme par trois côtés du quadrilatère , et n’en a par conséquent aucun qui soit pris sur le .quatrième. Par exemple, le second, ACF, n’a aucun de ses

cotes pris sur BG, tandis que les trois autres triangles ont chacun un des leurs pris sur cette même droite BG. Je forme, pour chacun de ces derniers , la proportion qui existe entre ses deux autres côtés

non pris sur B G et les sinus des angles opposés , en les disposant comme il suit :

AB. AG :: sin. AG B^ sin. ABG FD : FB :: sin. FBG:sin. FDB CG: CD :: sin. CD G: sin. CGD.

Multipliant ensemble ces trois proportions, et réduisant en observant que les angles qui sont égaux ou supplémens l’un de l’autre ont le même sinus , on aura

ÂB. FD. CG = AG. FB. CD.