Mais à cause des changemens d’ordre qu’on

peut faire éprouver aux quatre points donnés

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 1 1 $ A, B, C, D, il est clair que lafigure contient douze systèmes corrélatifs , le premier compris , desquels chacun doit donner une équation semblable à la précédente. Voici le tableau de corrélation de construction de ces douze systèmes , avec les équations correspondantes , en prenant celle que nous venons de trouver pour la première.

Tableau général de la corrélation de construction des douze systèmes .

i "Syst. ABCDFG...ÂB . FD . CG^ÂG* FB . CD ) a* Syst. BD ACGF...BD. GC. ÂF=BF. GD. ALT 5‘ Syst. DCBAFG. . .DC . FÂ . BG=DG . FC . BÂL 4® Syst. CADBGF„.GÂ.GB.DFr=CF.GÂ.DBj

5® Syst. AFGDBC...ÂF . BD . GC=ÂC . BF.GDl 6 e Syst. FDAGCB...FD. CG . ÂB=FB. CD . ÂGf 7 * Syst. DGFABC...DG. BÂ. FC=DC.BG. FÂf 8 e ^.GADFCB...^.CF.M==^.CÂ.DF) 9 e Syst. BFGCAD...BF. AC. GD=BD. ÏF.GC] io“ Syst. CGFBAD...CG. ÂB . FD=CD*ÂG.FBP i i® Syst. FCBGDA...FC. DG. BÂ=FÂ.DC. Bg£ 12® iîysf. GBCFDA...GB. DF.CÂ==GÂ.DB. CFj

l6g. La formation de toutes ces équations est sans aucune difficulté , dès qu’on en a une , et que la corrélation de construction est établie , puisqu’il n’y a qu’à suivre la correspondance des points- Ces

1 90 DELA CORRÉLATION douze équations se réduisent à quatre; les quatre premières , les quatre du milieu ou les quatre dernières ; car chacune d’elles se trouve répétée trois fois : par exemple, la première, la sixième et la dixième sont les mêmes ; de même que la seconde , la cinquième et la neuvième. Or, les quatre premiers systèmes ne sont autre chose que le quadrilatère proposé A B CD; c’est-àdire, dont les quatre angles A, B, C, D, sont tous saillans : les quatre systèmes du milieu ne sont que le quadrilatère AFDG, qui aies trois angles saillans A, F, G, et l’angle rentrant D : et enfin les quatre derniers systèmes sont la figure BFCG, dont les quatre angles sont saillans, et qui forme deux triangles opposés par le sommet, mais à laquelle on peut également donner le nom de quadrilatère , puisqu’il a aussi quatre côtés , et donne , comme on le, voit , les mêmes résultats que le quadrilatère proposé.

170. Ces trois quadrilatères ont chacun leurs quatre côtés pris sur les quatre mêmes droites , et forment entre eux trois figures indirectement corrélatives ; mais comme les équations que nous tirons de l’une ne sont qu’à deux termes , elles sont immédiatement applicables aux deux autres.

1 7 1 • On peut remarquer , en passant , que des six points A , B , C, D, F, G, qui forment les angles des trois quadrilatères en question , il y en a toujours trois en ligne droite , et que ces trois points forment deux à deux, par leurs distances, trois côtés

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 131 qui appartiennent respectivement aux trois quadrilatères. Par exemple, F, D, C, sont en ligne droite, et de plus DC est un des côtés du quadrilatère ABDCj FD, l’un des côtés du quadrilatère A F D G j et F C , l’un des côtés du quadrilatère BFCG.

172 . Nous venons devoir que les douze équations trouvées se réduisent à quatre. Par exemple, aux quatre premières , ces quatre équations se réduisent elles-mêmes à trois ; car multipliant ensemble la première et la troisième , on obtient le même produit qu’en multipliant ensemble la seconde et la quatrième.

En multipliant en croix les deux premières, on a