La troisième formule technique qui
est la même chose que cette équation
AF . BH . CG = AG . B F . CH , trouvée ( 176 ) , peut se traduire ainsi :
Si , clans un triangle quelconque (ABC), on prend à volonté , soit sur l’aire de ce triangle , soit en dehors, dans le même plan , un point (D ) , et qu’on mène de ce point à chacun des angles du triangle une droite prolongée , s’il est nécessaire , jusqu’à la rencontre du côté opposé , il résultera de cette construction six segmens formés sur les côtés du triangle , deux pour chacun ; ( savoir ,
AF , FB pour le côté AB ; A G , CG, pour le côté AC ;BH, CH, pour le côté BC). Cela posé , de ces six segmens , le produit formé par trois d’entre eux , comme facteurs , est égal au produit formé des trois autres , en les prenant de manière que dans chacun de ces produits il n’y ait pas deux facteurs qui aient pour extrémités un point commun.
1 87 . La quatrième formule technique étant (181),
la même chose que cette proportion
AH: DH :: AK: DK, trouvée (176), et les droites AD, FG, BC étant (173) les trois diagonales du quadrilatère complet ABCDFGHK, nous pouvons la traduire ainsi 1
Dans tout quadrilatère complet , si l’on mène les trois diagonales , chacune d’elles sera coupée
l3 4 DE LA CORRÉLATION
par les deux: autres , en segmens proportionnels.
188. La cinquième formule technique étant (181) la même chose que la proportion
F AD : FBC :: GAD:GBC, trouvée (177), peut se traduire ainsi :
Dans tout quadrilatère complet , si Von mène les trois diagonales , les deux triangles ( comme F AD, FBC ) qui ayant pour sommet commun l’une ( F ) des extrémités de Vune ( F G ) des trois diagonales , et pour bases respectives les deux autres diagonales (AD, BC), sont entre eux comme les deux triangles (G AD, GBC) qui , respectivement appuyés sur les mêmes bases . . . (AD, BC ) , ont pour sommet commun Vautre extrémité (G ) delà première diagonale ( F G ).
1 8g. La sixième formule technique étant (181) la même chose que cette équation
Am . Bn . Cp — An. B p . Cm , trouvée ( 178 ) , peut se traduire ainsi :
Si par un point ( D ) pris à volonté dans le plan d’un triangle (ABC), on mène à chacun des angles une droite prolongée jusqu’au côté opposé , et qu’ayant joint ces points d intersection deux à deux pour former un triangle (abc) inscrit au premier , on prolonge chacun des côtés de ce triangle inscrit jusqu’à la rencontre du côté opposé du triangle circonscrit ( en m, n , p ). Ces trois derniers points d’intersection formeront , sur les côtés
Digltizei
DES FIGUltES DE GEOMETRIE. 1 55 du triangle circonscrit , six segmens , deux sur chacun i ( savoir , An, B n , .sur le côté AB ; A m , Cm, sur le côté Ac ; Bp, Cp , sur le côté BC). Cela posé , le produit de trois de ces segmens , comme facteurs , sera égal au produit des trois autres segmens , en les prenant de manière que , dans chaque produit , il n’entre jamais deux facteurs qui aient une extrémité commune.
IQP» Quant à la formule . ............. ..
Ba 3 . An . Cm. Cp = Ca 1 . Âm.Bra. Bp , trouvée ( 179 ) , elle n’est pas comprise dans la proposition générale donnée sous forme technique (îBo), ni dans les propositions particulières qu’on vient de voir , et qui en sont la traduction. 11 seroit peutêtre difficile de l’énoncer ainsi en langage ordinaire, d’une manière assez simple ; mais il est aisé de la rendre en langage technique , comme il suit :
AB C , triangle inscrit au premier abc;a, h,c, placés à volonté , sur les côtés ou prolongemens des côtés du premier , respectivement opposés à A , B , C j donnent
Ba 3 . A AB a b . C CA c a . C CB c A -,
= Co 3 . A AC ac . B BA ba . B B C bc.
1QI . Parmi les applications dont toute cette théorie est susceptible > je me borne à un exemple simple.
Supposons qu’étant placé au point K ( fig. i&),
i36 b je la corbklation sur un terrein, on apperçoive un objet A, et qu’on veuille en connoître la distance par une opération graphique : ayant placé un piquet ou jalon au point K, et un autre à un point D , pris à volonté sur la direction K A , portez-vous en un autre point quelconque F , duquel vous puissiez appercevoir les points A, K; plantez un jalon à ce point F, et faitesen planter un autre au point G , pris à volonté, sur la direction FK, tel que de ce point G on voie aussi l’objet A : des points G, F, dirigez des rayons visuels sur D, et faites planter des jalons aux points C, B, où ces rayons visuels coupent GA, FA.
Allez ensuite au point B , et faites planter un jalon au point H , où se croisent les deux rayons visuels
13 C , K A j alors si vous mesurez seulement K H , et prenez en passant les valeurs de D K , D H , vous trouverez
A K par cette proportion AK: DK.:: AH: DH 5 ou AK : ÂK — ÂH :: DR : DK — DH; ou à cause de AK — AH = K H , on aura
T 1 T kîï • DK K DK — DH'’
Il est clair qu’on peut varier cette construction , par exemple, en prenant les points F, G, d’un même coté du point K , ou bien le point D en arrière, par rapport au point A- Da nature du site peut décider la préférence,
Jga, Nous avons vu ( r 6 çj) que quatre droites
DES FIGURES DE GEOMETRIE. ^ quelconques tracées dans un plan , forment trois quadrilatères. Il est visible pareillement, que cinq droites tracées dans un plan doivent former aussi plusieurs pentagones différens ; que six droites doivent former plusieurs hexagones , etc. On pourroit donc demander, en général, combien un nombre n de droites tracées dans un même plan forment de polygones du même nombre ra de côtés.
Pour résoudre cette question , il faut considérer que chaque droite étant coupée par chacune des autres , il doit y avoir sur elle ra — i points d’intersection , et que chacun d’eux peut être un sommet d’angle de l’un des polygones cherchés. Il faut , pour former le premier des côtés du polygone , passer de ce premier point à un des autres points d’intersection formés sur la même droite ; et comme il y en a en tout ra — 1 , il suit qu’il y auroit
n — i . ra — 2 , droites qui pourroient servir de premier côté au polygone, si chacun de ces côtés ne se trouvoit pas ainsi répété deux fois. Donc le nombre des segmens qui peuvent ainsi former le premier
des côtés du polygone , est seulement - — 1 ' n — -,
Le premier point du second côté étant ainsi déterminé , il faut trouver sur la direction de ce second côté ,1e premier point du troisième : or , il y a pour cela à choisir entrera — 3 lignes, puisqu’il y en a déjà deux d’employées. On peut donc fixer ce troisième point de ra — 3 manières. Par la même raison, le quatrième point peut être fixé de ra — 4 manières,
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1Ô8 DE LA CORRÉLATION lorsqu’on a fixé le troisième , ainsi de suite. Donc le nombre des polygones formés par l’assemblage de
tl , lignes droites tracées dans un plan , est
Tl l .Tl 2 .Tl 5 X
Soit , par exemple , n = 3 , le nombre des polygones possibles sera donc
c’est-à-dire, qu’on ne peut former qu’un seul triangle avec trois lignes droites tracées dans un plan.
Soit n = 4 , le nombre des polygones possibles sera
c’est-à-dire que trois droites tracées dans un plan forment trois quadrilatères.
Soit n — 5 , le nombre des polygones possibles de cinq côtés sera donc
Ainsi cinq droites tracées dans un plan forment douze pentagones.
On peut se proposer diverses questions du même genre. On peut demander , par exemple , combien de triangles, de quadrilatères , etc. forment un nombre n de droites tracées dans un plan j combien de polyèdres d’un nombre m de faces peuvent faire un nombre n de plans imaginés dans l’espace, etc.
