PROBLÈME V

IqS. Trouver les rapports qui existent entre les côtés et les angles d’un polygone quelconque fermé.

Solution. On sait que dans le triangle qui est le plus simple de tous les polygones, chacun des côtés est égal à la somme des deux autres, multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec le premier : et de ce principe on peut déduire toutes les propriétés du triangle 3 car si l’on suppose que A , B , C , soient les trois angles , a , b , c , les côtés respectivement opposés à ces angles , ce principe donnera les trois équations suivantes :

a — b . cos C + c . cos B b = a . cos C 4- c . cos A c = a . cos B + b . cos A.

Ces trois équations renferment les six choses à considérer dans le triangle , représentées par a,b , c, cos A , cos. B , cos. C , et par conséquent trois d’entre elles étant données , sauf l’exception connue des trois angles, ces équations suffiront pour faire trouver le reste , en éliminant successivement les inconnues par les règles ordinaires de l’algèbre.

194. Mais cette propriété n’appartient pas seulement au triangle , elle est commune à tous les polygones , et s’étend même aux polygones gauches ; c’est-à dire, qui n’ont pas tous leurs angles dans le même plan.

l4o DE LA CORRÉLATION

En effet , prenons pour terme de comparaison ou système primitif, un polygone A CDFG B (Jigio ) ,

tel qu’en prenant l’un des côtés AB pour base, et abaissant de tous les autresangles C,D,F,G, des per* pendiculaires Ce, D d, F 'f } G g, sur cette base, toutes ces perpendiculaires tombent entre le point A et le point B. Je dis que cette base AB sera égale à la somme des côtés AC, CD, d¥, FG, GB ; multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec cette même base A B , en les prolongeant s’il en est besoin , ainsi que la base, jusqu’à ce qu’elle soit coupée par eux tous.

En effet , on a évidemment

AB = Ac+ cd+ df +fg + gB; or , le triangle CA c donne

A c = AC . cos CA c.

Pareillement en prolongeant C D jusqu’au point m

de la direction de la base A B, on a, à cause des triangles semblables mCc, mD d ,

cd : CD :: me : m C,

me

OU cd ~ CD -=r-.

Or , il est clair que

me

== cos Cm c.

mC

Donc cd = CI) . cos C me.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l4i Le môme raisonnement ayant visiblement lieu pour tous les autres côtés DF, FG, G B , la proposition avancée s’en suit nécessairement pour ce cas, quel que soit le nombre des côtés du polygone.

196- Concevons maintenant que ce système primitif vienne à se transformer d’une manière quelconque par degrés insensibles , tous les nouveaux polygones qui en résulteront seront autant de systèmes corrélatifs ; et pour leur rendre immédiatement applicable la proposition que nous venons d’établir sur le système primitif, il suffit d’y substituer à chacun des côtés et des angles dont il s’y agit, sa valeur de corrélation.

Supposons donc que ACDFGB ( fig . 21 ) représente le système transformé , nous avons à comparer cette figure avec la première. Mais il est clair que cette transformation a pu s’opérer sam qu’aucune des quantités dont il s’agit ait passé ni par o ni par 00. Seulement les angles et les côtés qui sont les seules quantilés dont il soit parlé dans la proposition , auront pu diminuer ou s’agrandir par la mutation , mais non jusqu’à o ou à 00. Donc la proposition est immédiatement applicable à tous les systèmes corrélatifs possibles. Donc , en général ,

Dans tout -polygone , un côté quelconque est égal à la somme de tous les autres , multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec le premier.