Lorsque l’angle formé par la base et l’un

142 DELA CORRÉLATION des côtés , est obtus, la valeur de corrélation du cosinus devient négative (122); mais il n’y a rien à changer pour cela dans l’énoncé de la proposition ; car nous avons dit (119) que par ces expressions de sinus , de cosinus , etc. on entendoit toujours les valeurs de corrélation , et non les valeurs absolues, à moins qu’on n’avertît expressément du contraire. Ainsi , par le cosinus d’un angle obtus , par exemple , on entend la valeur absolue du cosinus de cet angle, prise collectivement avec son signe; et c’est cette valeur collective qu’on exprime dans le calcul par la caractéristique cos.

Il en est de même , en général , dans l’algèbre , pour toutes les espèces de quantités. Ce ne sont jamais ces quantités même , mais toujours leurs valeurs de corrélation dont on parle , à moins qu’on n’en avertisse expressément dans chaque cas particulier, ou une fois pour toutes, par une dénomination spéciale , comme je l’ai fait au commencement , en réservant l’expression de quantités pour désigner les valeurs absolues ; c’est même ce qui distingue particulièrement l’analyse delà synthèse, où l’on ne peut jamais raisonner que sur des objets réels et effectifs (1).

( 1 ) Je crois que toute autre distinction entre la synthèse et ran a lyse est illusoire. La synthèse est , dit-on , l’art de s’élever graduellement des vérités les plus simples aux plus composées, par le rapprochement et la combinaison des premières ; tandis que l’analyse est l’art de décomposer une vérité compliquée en ses principes élémentaires ; c’est-à-dire , l’art

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. l45

107 ’ Pour ne pas se tromper dans l’application de la proposition précédente , il faut donc bien prendre garde à ne pas confondre les angles que forment entre eux les côtés , avec les supplémens de ces mêmes angles, puisque deux angles supplémens l’un de l’autre ont bien pour leurs cosinus respectifs , les mêmes valeurs absolues , mais non le même signe de corrélation , celui du cosinus des angles obtus étant toujours — .

de vérifier de proche eu proche si une proposition ou un résultat quelconque proposé , s’accorde avec ces principes élémentaires ou axiomes , et s’en trouve une conséquence nécessaire. Mais il est évident que les raisonnemens à faire dans l’un et l’autre cas, sont les mômes pris dans un ordre rétrograde. Ce n’est donc pas une différence essentielle entre les deux méthodes , et l’on ne voit pas là ce qui donneroit à l’une un si grand avantage sur l’autre.

Les caractères ou signes que l’une emploie , tandis que l’autre n’emploie communément que le langage ordinaire, n’établissent pas par eux-mêmes une distinction plus réelle ; car dans la synthèse on emploie souvent ces signes comme simples abréviations, et l’on ne fait pas pour cela de l’analyse. Et réciproquement , une formule analytique traduite en langage ordinaire , ne devient pas pour cela une proposition synthétique.

Mais ce qui distingue essentiellement les deux méthodes, c’est qu’en synthèse les signes ne sont véritablement que des abréviations , qu’elles n’indiquent jamais que des combinaisons possibles , des opérations exécutables , parce qu’en synthèse l’esprit ne perd jamais de vue son objet, qu’il faut que cet objet soit réel et net, ainsi que tous les rapproohemens et toutes les combinaisons qu’on en fait. Dans l’analyse, au contraire, on admet des objets qui n’existent pas; on les repré-

ï44 DE LA CORRÉLATION

Pour cela, il faut distinguer l’intérieur et l’eltérieurdu polygone. Or, dans le système primitif* nous avons établi notre raisonnement sur les angles formés par les faces intérieures des côtés du polygone , et non par les faces extérieures. Ce sont donc toujours celles-là qu’il faut considérer dans toutes les mutations qui arrivent. Par exemple, nous disons que A c est égal à A C , multiplié par le cosinus de l’angle que forme le côté A C avec la base A B ;

sente par des hiéroglyphes aussi Lien que ce qui est effectif. On mélange les êtres réels avec les êtres de raison ; puis par des transformations méthodiques, on parvient à éliminer ou chasser ces derniers du calcul : alors ce qu’il y avoit d’inintelligible dans les formules disparoît ; il reste ce qu’une synthèse subtile auroit sans doute pu faire découvrir. Mais ce résultat, on l’a souvent obtenu par une voie plus courte , plus facile , et presque par pur mécanisme , lorsqu’il auroit fallu des efforts prodigieux pour y parvenir autrement. Tel est l’avantage de l’analyse , et par conséquent celui des modernes sur les anciens.

Au nombre des êtres de raison ou des objets qui n’existent pas , et que cependant on représente par des symboles , sont les quantités dites négatives , lorsqu’elles sont isolées ou précédées de quantités moindres qu’elles; car soit qu’on les regarde comme moindres que o , soit qu’on les regarde comme prises en sens contraire des quantités positives , elles sont également inintelligibles , et l’on seroMSsposé à tirer des conséquences fausses, soit de l’une , soit de l’autre de ces notions.

En effet , dans le premier cas , on dira que , puisqu’on a le droit de négliger dans le calcul une quantité qui est o , à plus forte raison doit-on avoir celui de négliger une quantité moindre que o. Dand le second cas, on dira que, dans une courbe , comme le cercle ou la parabole , si l’axe coupe les

or,

DES FIGURES DE GEOMETRIE. i45 or , A C forme avec AB deux angles CAc, et CAm, mais il ne s’agit point de ce dernier dans la proposition ; il n’est question que de l’angle CAc, formé par la face intérieure de CA et la face intérieure de AB , ce dont on peut se faire une idée sensible , si l’on imagine , par exemple , que la paroi intérieure du polygone est de couleur blanche , et les faces extérieures de couleur noire , car alors il ne s’agira dans la proposition , que des angles formés par les

ordonnées en deux parties égales, l’une d’elles étant négative pendant que l’autre est positive , la somme des deux est o ; que par conséquent aussi l’aire de la courbe est o , ainsi que le solide de révolution, etc. Rien ne pourra faire connoître, par exemple encore , si, la sécante d’un arc étant positive, celle de son supplément est positive ou négative ; car celle-ci fait un angle avec la première , et ne peut être dite par con • séquent, ni dans le même sens qu’elle, ni dans un sens contraire. Mais comme la sécante du premier de ces arcs est positive , on se croira au moins bien fondé à affirmer que la sécante de ce même arc augmenté de la demi-circonférence, est aussi positive , puisqu’elle se confond exactement avec la première, tant pour sa grandeur que poursadirection; et cependant on sera dans l’erreur, puisque la sécante d’un arc dont le dernier point tombe sur le troisième quart de la circonférence , est toujours négative.

Il convient donc de distinguer , comme je l’ai fait , les quantités, qui sont des objets réels, des valeurs , qui sont ces mêmes quantités prises collectivement avec leurs signes ; c’està-dire, de simples formes algébriques , lesquelles ne donnent souvent des phrases intelligibles qu’après avoir éprouvé diverses transformations qui dégagent les quantités effectives do ces signes par lesquels éloient iijdiquées des opérations non exécutables.

il :

l46 DE LA CORRÉLATION faces de couleur blanche. Dans cette supposition^ il faut imaginer que si l’on prolonge chacun des côtés indéfiniment, chaque face conserve la même couleur dans toute son étendue. Ainsi en prolongeant A8 et CD jusqu’en m , on voit , d’après cette notion , que l’angle Cm A est formé par la face blanche de CD et la face blanche de AÏf, prolongées hune etl’autre ; mais qu’au contraire l’angle m CA est formé par la face blanche de C D prolongée , et la face noire de CA.

-198. H faut appliquer la même notion aux plans qui forment les faces d’un polyèdre. Lorsqu’on parle des angles formés par ces plans entre eux , c’est toujours de la partie qui regarde l’intérieur du polyèdre ou son prolongement du même aspect , qu’on entend parler^ c’est-à-dire, qu’en supposant la paroi intérieure de ce polyèdre de couleur blanche, et cette couleur étendue sur le même côté de cette face indéfiniment prolongée , l’angle est toujours censé celui qui est formé par les deux parois blanches, ou si l’on veut , par les deux parois noires entre elles ; car ces deux angles sont opposés par le sommet , et par conséquent égaux , tandis que l’angle formé par la paroi blanche et la paroi noire , entre elles , n’est que le supplément de celui que l’on considère.

Au reste, tout ceci n’est que pour aider l’imagination. La règle générale est qu’il faut toujours partir du système primitif, et le suivre graduelle-

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 147 ment dans toutes ses transformations, pour savoir ce que devient chacun des angles, chacun des côtés , et reconnoître ainsi les quantités correspondantes.

199. Supposons que par l’effet de cette transformation graduelle , le polygone devienne gauche ; c’est-à-dire, que les points A, C, D, F, G, B , cessent de se trouver tous dans un même plan , la droite A B ( fig . 20 ) n’en sera pas moins la somme des segmens A c, cd , df, etc. Mais comme les droites CD , AB , même prolongées , peuvent ne plus se rencontrer, il faut savoir ce que deviennent les valeurs de corrélation. Poux* cela , au lieu des perpendiculaires Cc,T)d, F/, etc. concevons que ce soient des plans perpendiculaires à AB, et passant toujours par les angles C, D , F , etc. menons par le point c une droite cD ' , parallèle à CD , jusqu’au plan D d; par d une droite dF' , parallèle à D F, jusqu’au plan Ff, etc. Or, il est évident quecD' sera égale à CD, dF' égale à DF , etc. Donc cd Bera égale à CD’ ou CD , multipliée par le cosinus de l’angle formé par cD' et cd, df s.era égale à DF multipliée par le cosinus de l’angle formé par dF' et dF , etc. Donc la proposition générale est applicable au cas présent, en prenant pour valeur de l’angle Cmc du système primitif, l’angle D 'cd du système transformé , ainsi des autres ; et comme en menant par un point quelconque de l’espace des droites parallèles a AB, DC, DF, et dans le même sens

Ki

Îr- î .

te

fc

fij'i

l48 DE LA CORRÉLATION qu’elles , elles formeront évidemment les mêmes angles que cD' et et/, </I< v et df y etc. Il suit que la proposition que nous avons énoncée ( 1 95 ) est applicable à tous les polygones possibles , et même gauches , en comprenant en général, sous le nom d’angle formé par deux droites, même lorsqu’elles ne sont pas dans un même plan, celui que formeroient entre elles deux autres droites menées d’un point quelconque pris à volonté dans l’espace , parallèlement aux premières, et dans le même sens qu’elles respectivement.

200. cd est , comme on le voit , le segment formé sur AB , entre les deux perpendiculaire» abaissées des extrémités C, D, de la droite CD , et ainsi des autres df,fg, etc. C’est ce que j’appellerai en général projection d’une droite sur une autre ; c’est-à-dire , que cd est la projection de CD sur AB: ainsi la projection d’une droite sur une autre , est la portion de cette dernière comprise entre les perpendiculaires abaissées sur elle des deux extrémités de la première.

Or, il est clair , d’après ce qu’on vient de dire , que la projection d’une droite sur une autre est égale à la première de ces droites, multipliée par le cosinus de l’angle formé entre ces deux mêmes droites.

201 . On peut évidemment regarder le point qui forme le sommet de chacun des angles d’un polygone

comme un côté infiniment petit. Un pentagone , par exemple, peut être regardé comme un hexagone dont l’un des côtés seroit infiniment petit. On peut, de plus , attribuer à ce côté infiniment petit , une direction quelconque 5 et comme les angles que, d’après les notions précédentes, formera cette direction avec tous les antres côtés du polygone , sont les mêmes que ceux que formeroit avec ces mêmes côtés toute autre droite parallèle à la première* il suit évidemment , qu’en général ,

La somme des côtés d’un polygone quelconque , soit plan , soit gauche , multipliés chacun parle cosinus de l’angle qu’il forme avec une droite tracée dans l’espace et dans un sens donné , est égale à zéro.

202. Soit (fig. 22) AB CD EF un polygone inscrit : supposons tous les arcs AB, BC, CD, égaux , excepté le dernier, dont la corde est AF^ et qui est égal à la somme de tous les autres. Nommons 2 a chacun de ces autres arcs égaux : soient n leur nombre , et 1 le diamètre du cercle. Nous aurons donc (126)

AB = sin a , BC = sin a , ejc. A F = sin na.

De plus l’angle B AF formé par le côté AF et le côté A B , sera évidemment n — 1 . a ; l’angle formé par le même côté AF et le côté BC sera n — 3 . a ; l’angle formé par AF et CD sera n — 5 . a , etc..

Donc, par la proposition établie (ig 5 ), nous aurons

ï 5 o DE LA CORRÉLATION sin na=sina. cos n — 1 .a-j-sina.cosn — 3 .a + ,etc. équation dans laquelle le secopd membre aura n termes.

Supposons na — circonférence entière , est par conséquent sin na — o , l’équation précédente deviendra , en divisant tout par sin a,

cos n — i.a -pcosn — 3 . a +cos n — 5 . a+ etc. — o, qui conduit à une théorie connue sur les arcs, en progression aritlunétique.

1 2o3. Soient en général a, b, c, d, etc. les côtés d’un polygone quelconque proposé plan ou gauche,

a b y a ç jO ç , etc. les angles formés par les côtés deux à deux ( 76 ).

Cela posé, en prenant successivement pour bases ces côtés a } h,Cy etc. nous aurons , par le principe établi (195),

(1 = 0. cos a b + c . cos a c + d , cos a d + etc.

b = a. cos a ô + c . cos bc + d. cos b d + etc.

c = a. cos a c + b . cos b c + d\ cos c d -h etc, etc. etc. etc.

Multipliant la première de ces équations par a, la seconde par b , la troisième par c , etc. puis ajoutant ensemble toutes ces équations , on aura

0*+«“ + c +etc. =2 oo. cos ae>+ a ac. cos ac-f- etc.

c’est-à-dire , que dans tout polygone plan ou gauche , la somme des quarrés des côtés est égale au double de la somme des produits de ces côtés mul~

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. l5t tipliés deux à deux , et par le cosinus de V angle qu’ils comprennent.

204. Si , dans la démonstration de cette proposition , au lieu d’ajouter ensemble toutes les équations , on retranche la première de la somme de toutes les autres , on aura , en transposant , a , =i*-f-c*+ d % +etc— 2 (b c . cosbc-\-bd. cosôcM-etc.) j c’est-à-dire , que dans tout polygone le quarrè de l’un quelconque des côtés est égal à la somme des quarrés de tous les autres côtés , moins deux fois les produits de tous ces autres côtés , multipliés deux à deux , et par le cosinus de l’angle qu’ils comprennent.

Par exemple, dans un triangle dont les angles sontA,B,C, et les côtés respectivement opposés

a, b } c , (ig3 ) pursqu’alors b c devient A ,.on aura, a' — b* + c’ — 2 b c . cos A , propriété familière du triangle.

205. Si dans la démonstration de la propositiontrouvée (203), au lieu d’ajouter ensemble toutes les équations , on en ajoute seulement un certain nonubre à volonté , d’une part, et d’une autre part toutes les autres ; qu’ensuite on retranche cette derr nière somme de la première, on en conclura.quen général y

Dans tout polygone , plan ou gauche , la somme des quarrés d’un nombre quelconque de côtés* y moins, deux fois la somme des produits de ces côtés

ji

ir;

j52 DE LA CORRÉLATION multipliés deux à deux , et par le cosinus de Sangle qu’ils comprennent , est égale à la somme des quarrés de tous les autres côtés , moins deux J'ois la somme des produits de ces côtés multipliés deux à deux , et par le cosinus de l'angle qu’ils comprennent \

206. Si le polygone vient à changer déformé, les côtés restant néanmoins toujours les mêmes, de manière qu’il n’y ait de changement que dans les angles , la somme des quarrés des côtés restera la même $ donc la valeur que nous avons trouvée (2o3) être égale à cette somme de quarrés, demeurera aussi la même. Donc en général ,

Si un polygone , plan ou gauche , se transforme d’une manière quelconque en demeurant néanmoins toujours fermé, et la grandeur des côtés restant toujours la même , la somme des produits de tous ces côtés , multipliés deux à deux , et par le cosinus de V angle compris , sera une quantité constante.

207 > Concevons que d’un point ou foyer quelconque pris dans l’espace , on fasse partir autant de droites qu’il y a de côtés dans un polygone , plan ou non , et que ces droites soient égales et parallèles chacune à chacun de ces côtés , et menées dam le même sens qu’eux $ concevons de plus , par le même point , une autre droite indéfinie , menée suivant une direction quelconque : il suit de ce qui a été dit (201) , que dans ce système de lignes la

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l53 «omme des produits de toutes celles qui le composent, sauf la dernière , multipliées chacune par le cosinus de l’angle qu’elles forment avec cette dernière, est égale à zéro.