Soit (fig. 23) F le foyer en question FA

FB, F G, etc. les droites ou rayons parallèles et égaux aux côtés du polygone proposé, chacun à chacun , et dans le meme sens. Formons un nouveau polygone ABCDGF, en joignant les extrémités de ces rayons. Enfin , par le point ou foyer F , qui réunit toutes les autres extrémités., menons à volonté une droite L F K , et concevons un plan MF N, qui lui soit perpendieulaire.

Suivant ce qui vient d’être dit , la somme des rayons du polygone ABCDGH, multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avéc LK, est égale à zéro.

Or , chacun de ces rayons multiplié par la valeur absolue du cosinus de l’angle qu’il forme avec

LK , est évidemment égal à la perpendiculaire abaissée de son extrémité sur le plan MN. Mais il est facile de voir que la valeur de corrélation de ces cosinus étant supposée positive pour les points A, B, C , qui se trouvent d’un quelconque des côtés du plan M N , sera négative pour les points H, C, D, qui se trouvent de l’autre cote. Donc la somme des perpendiculaires abaissees des extrémités.des rayons ou des angles du polygone A BCDFGH sur le plan MN , est égale à zéro, en prenant positivement

i54 DE LA CORRÉLATION celles qui tombent sur un des côtés du plan , et négativement celles qui tombent sur l’autre.

20g. Concevons maintenant un autre plan quelconque AKc, parallèle à MN , je dis que la droite F K sera égalé à la somme des perpendiculaires menées de tous les angles du polygone ABCDFGH sur ce nouveau plan, divisée par leur nombre ou par le nombre des angles. En effet, chacune d’elles est évidemment égale à F K , plus ou moins la perpendiculaire menée du même angle sur le plan MN, suivant que ce point est au-dessous ou au-dessus de ce dernier plan , par rapport à l’autre h K c. Donc , la somme de toutes les perpendiculaires menées sur hK. c , est égale à autant de fois F K. qu’il y a d’angles j plus une somme que nous venons de prouver être égale à zéro. Donc F K est réellement , comme on vient de le dire , égale à cette somme des perpendiculaires menées de tous les angles sur AKc, divisée par le nombre des angles. F K est donc la distance moyenne de tous ces angles au plan h K c : et comme nous avons pris LK à volonté, il suit que la distance du foyer F à un plan quelconque est la distance moyenne entre celles de tous les points du polygone au même plan. Appelons donc ce foyer centre desmoyennes distances ; chacune des droites qui, comme L F K , passe par ce point , ligne ou axe des moyennes distances ; et chacun des plans qui, comme MN, passe par ce même point, plan des moyennes distances.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 1 5b