Nous pouvons donc conclure que

Dans tout -polygone, plan ou gauche , il y a un centre des moyennes distances, dont la propriété est que la distance de ce point à un plan quelconque est égale à la somme des distances de tous les angles du polygone à ce plan ( en prenant en sens inverse celles qui se trouvent du côté où la somme est la plus petite ) , divisée par le nombre de ces angles.

211. D’où il suit que si ce plan passe par le centre même des moyennes distances, la somme des distances de ce plan aux angles qui se trouvent d’un même côté , est égale à la somme des distances de ce même plan aux angles qui se trouvent de l’autre.

212. Commeles distances d’un point à trois plans donnés suffisent pour déterminer la position de ce point dans l’espace , il est clair que dans chaque polygone il ne peut y avoir qu’un seul centre des moy mines distances.

21 3. Dans tout polygone ,plan ou gauche , la somme des quarrés des distances de tous les angles à un point quelconque pris dans l’espace, est égale à la somme des quarrés des distances de ces mêmes angles au centre des moyennes distances ; plus le quarré de la distance du premier point pris dans l’espace à ce centre des moyennes distances , multiplié par le nombre des angles du polygone.

' Soit en effet ABCD {fig. 4) un polygone quelconque, F le centre des moyennes distances , K un

Kb :

«Il

J ii-\

*56 DELA CORRÉLATION autre point quelconque pris dans l’espace ; et soient menées de chacun des angles A , B , C , D , deux droites , l’une au point F , l’autre au point K. Cela posé , dans le triangle AF K , nous aurons (ao4)

ÂK 3 =ÂF 3 + FK 3 — àÂF . Fît . cos A FK

BK 3 =‘bP + FK 3 — 2 BF . FK . cosBFK ,

etc. etc.

Ajoutant ensemble toutes ces équations, et nommant n le nombre des angles du polygone, nous aurons

ÂK 3 +BK 3 +CK 3 + etc.

=^ 3 + BF J + CF 3 + etc. + n.FK a

— 2FK(AF.cosAFK+BF.cosBFK + etc. ).

Mais ( ig5 ) la valeur qui multiplie aFK dans le dernier terme du second membre, est égale à zéro: donc l’équation se réduit à

AK 3 + BR 3 J-CK 3 + etc.

= ÂF 3 + BF 3 + CF 3 + etc. + «FK 3 , ce qu’il falloit prouver.

21 4. Soit, dans l’espace , un système quelconque de points. On pourra toujours les concevoir réunis par une suite de lignes droites formant le périmètre d’un polygone, dont ces points , par conséquent, peuvent être considérés comme les sommets des angles. On pourra donc appliquer à ce système la proposition précédente. Donc,

Si ayant dans l’espace un système quelconque de points , on imagine une surface sphérique d’un

■ DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. l5f diamètre quelconque dont le centre soit celui des moyennes distances de tous les points , la somme des quarrés des distances de ces mêmes points à un autre point quelconque pris sur la surface de la sphère , sera égale à la somme des quarrés des distances de ces mêmes points pris dans V espace, au centre de la sphère , ou des moyennes distances ; plus au quarré du rayon de cette sphère, multiplié par le nombre de ces mêmes points pris dans F espace, yiinsi cette somme sera la même pour tous les points de la surface sphérique.

52 1 5. Si tous les points pris dans l’espace se trouvent dans un même plan , on pourra appliquer à une circonférence quelconque tracée dans ce plan , et ayant pour centre celui des moyennes distances de tous ces points , ce que nous venons de dire en général de la surface sphérique.

21 6. Supposons que ces points forment les sommets des angles d’un polygone régulier quelconque , on en pourra conclure que

La somme des quarrés des distances de tous les angles d’un polygone régulier à l’un quelconque des points d’une circonférence dont le centre est le même que celui du polygone et le rayon à volonté , est égale à la somme faite du quarré du rayon du polygone et du quarré du rayon de lacirconférence , multipliée par le nombre des côtés du polygone.