En rapportant tpus les points du système à

l58 DE LA CORRELATION l’un quelconque d’entre eux , on voit que la sommé des quarrés des distances de ce point à tous les autres est égale à la somme des quarrés des distances dé tous ces autres points au centre des moyennes distances de tous les points , y compris celui auquel on rapporte les autres $ plus le quarré de la distance de ce dernier à ce centre des moyennes distances, multiplié par le nombre des points du système proposé.

Si l’on fait la même chose successivement pour tous les points du système , et qu’on ajoute toutes les équations qui en résultent, on conclura que,

Si l’on a dans l’espace un nombre quelconque de points , et qu’on les joigne tous deux à deux par des droites, la somme des quarrés de toutes ces droites sera égale à la somme des quarrés des distances de tous les points du système proposé au centre de leurs moyennes distances , multipliés par le nombre de ces points.

Ou ce qui revient au même , la somme des quar~ rés des distances de tant de points qu’on voudra , pris dans l’espace au centre de leurs moyennes distances , est elle-même une quantité moyenne entre les quarrés des distances de tous ces points entre eux , en les considérant deux à deux.

2 1 8 . Il est facile de reconnoître , dans tout ce que nous Venons de dire, les propriétés de ce qu’on nomme en mécanique , centre de gravité ; et en effet , ce que nous avons appelé centre des moyennes distances de plusieurs points , n’est autre chose

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. l5c ) que leur centre de gravité. C’est donc à la géométrie qu’appartient la notion de ce point, et ses propriétés mécaniques devroient être simplement déduites de celles qu’il est possible d’établir par la seule géométrie.

On sait d’ailleurs , depuis long-temps , par plusieurs propositions importantes, et particulièrement par le théorème du père Guldin , pour la quadrature des surfaces et la cubature des corps solides , l’avantage que peut tirer la géométrie elle - même de la considération des centres de gravité j mais Cette marche n’est point naturelle. C’est donc une véritable lacune dans les traités de géométrie , que l’omission de ses propriétés fondamentales, et je pense que ce seroit faire une chose utile que de rétablir, à cet égard, l’enchaînement naturel des idées, en développant dans la géométrie même les propriétés du centre des moyennes distances, qui ne devient réellement centre de gravité qu’en mécanique.

21 g. Si d’un point ou foyer quelconque pris dans l’espace , on mène des droites ou rayons égaux et parallèles chacune à chacun des côtés d’un polygone plan ou gauche , et menées dans le même sens , et que d’un autre point quelconque pris dans l’espace , on abaisse une perpendiculaire sur chacun de ces rayons , la somme des produits de chacun de ces rayons , par le segment de ce même ray on compris entre le foyer et le point où tombe la perpendiculaire abaissée sur lui, est

l6o DE LA CORRÉLATION

égale à zéro , en prenant en sens inverse ceux de

ces segmens qui tombent , non sur les rayons

même auxquels ils appartiennent , mais sur leurs

prolongemens dans le sens opposé.

Soient en effet (fig- 225) F le foyer en question,

FA, FB,FC, etc. les rayons partans de ce foyer ,

qui sont parallèles et égaux aux côtés d’un polygone

donné et dans le même sens qu’eux. Soit K le point

d’où sont abaissées des perpendiculaires Ko, K b,

K c , etc. sur ces différens rayons. Abaissons aussi

des points A , B , C , etc. des perpendiculaires AA' , B B', CC', etc. sur FK, les triangles semblables AF A', KFo , donnent

FÂ : FK :: F\Â? : Ya;

donc FA.Fa = FR.FA'.

Par la même raison on a

FB . F5 = FlK . Flf , etc. etc.

Ajoutant ensemble toutes ces équations , on a

FÂ.Fo + FB.F5 + etc. = FK (FA' + FB' 4- etc. )

Mais il est clair que le triangle rectangle FA A' donne

FA'= FA . cos AFK , FB' = FB . cos BFK , etc. Donc (ig5)

FÂ’d- FB + FC' + etc. = o , en prenant négativement celles de ces valeurs auxquelles répondent des cosinus négatifs ou des angles

, obtus.

»ËS FÏGUtlES DE GÉOMÉTRIE. i6f obtus. Donc le second membre de notre équation s’évanouit Donc nous avons

F A . FA FB . Fô -f- etc. — o. en prenant en sens inverse ceux des segmens F a , F b, qui répondent aux angles obtus dont nous venons de parler , ou qui tombent , non sur les rayons même auxquels ils appartiennent; mais sur leurs prolongemens dans le sens contraire. Ce qu’il falloit démontrer (i).

(i) Cette proposition est encore très-analogue à la théorie des vitesses virtuelles en mécanique ; et cela vient de ce que plusieurs forces qui se font équilibre en tirant un mobile en différons sens , peuvent toujours être représentées par les côtés d’un polygone plan où gauche ; c’est-à-dire , qu’on peut toujours imaginer un polygone dont les côtés soient tels, que les forces qui sont supposées se faire équilibre, soient parallèles et égales à chacun de ces côtés, et dirigés dans le même sens. De sorte que FA, F B , FC, F D , etc. peuvent représenter des forces qui se font équilibre autour du point F, comme il est aisé de s’en assurer par le parallélogramme des forces. Cela étant , si l’on conçoit que F se meuve , et que sa vitesse «oit représentée par F K , tant pour sa grandeur que pour sa direction, les droites Fa, F b, F c, etc. exprimeront cette même vitesse estimée dans le sens des différentes forces FA, FB, etc. qui lui sont appliquées. Donc l'équation trouvée apprend que la somme des produits dé chacune des forces en équilibre autour d’un mobile F , multipliée par la vitesse de ce mobile estimée dans le sens de cette force , est égale à zéro ; ce qui est, en effet, le principe général de l’équilibre.

Si les droites FA, FB, etc. étoient dans un même plan, ou représentoient les projections , sür un même plan , d’un système de forces en équilibre autour d’un mobile F, on

l6a DE LA CORRÉLATION

220 . Si dans le plan d’un polygone quelconque on mène une transversale qui coupe tous ses côtés prolongés , s’il le faut, il en résultera sur chacun des côtés deux segmens -, et par conséquent il y aura en tout un nombre de segmens double du nombre des côtés du polygone. Cela posé , le produit formé par la moitié de tous ces segmens , comme facteurs , est égal au produit formé par l’autre moitié , en prenant tous ces segmens de manière que dans chacun des deux produits , il n’entre jamais deux de ces segmens qui aient pour extrémités un même angle du polygone ou un même point de la transversale.

trouvèrent , en comparant les autres côtés des triangles considérés ci-dessus

FA. ÏC^+ FB . Kè + FC. + etc.=o, en prenant en sens direct celles de ces quantités ou forces , j> A, FB, FC, etc. qui tendent à faire tourner dans un sens autour du point F ou de 1 axe qu il représente , et en seus inverse celles qui tendent à faire tourner en seus contraire ; ce qui est le principe de la théorie des momens.

Je termine cette note en observant que si un corps partant d’un point donné , se meut uniformément pendant le temps t, sur une direction donnée, avec une vitesse v; puis pendant le même temps t , avec la vitesse v' , sur une autre direction , en parlant du point où il éloit arrivé , ainsi de suite , il arrivera, après tous ces mouvemens partiels, au même point ou il seroit arrivé s’il s’étoit mu pendant le même temps t avec la vitesse résultante de toutes ces vitesses particulières; c’est-àdire ; que cette résultante est le dernier des côtes du polygone formé par ces autres vitesses.

DÈS È IGUR.ES DE GEOMETRIE. i65 J’ai déjà démontré (i84) cette propriété pour le triangle j il faut maintenant faire voir qu’elle s’étend à tous les polygones.

Soit ABCGHle polygone proposé (fig. 26), nf la transversale 5 supposons que d,k, m , l t f , soient les côtéss où cette transversale est rencontrée

par les points AB, BC, CG, GH, HA respectivement, il faudra donc prouver qu’on a

Ad.Bk.Cm.GLhf=Af.Bd.Ck.Gm.Hl,

Ad.Bk.Cm.Gl.üf

ou -L ,

Af.Bd.Ck. Gm.Hl~

Menons la diagonale HB, et prolongeons-la jusqu’à sa rencontre n de la transversale. Cette transversale coupant les trois côtés du triangle A. B H aux points d,n,f, on aura ( i84)

Ad. Bn.Uf=Bd. Hn . A/j Ad. Hf Bd. Un