OU

substituant dans l’équation à démontrer ci-dessus Ad. H /

pour — j- j — , sa valeur , qu’on vient de trouver ,

cette équation se réduira à

Bk . C m . Gl. Hn Bn.Gk.Gm.Hl * *

qu’il s’agit maintenant de démontrer. Or , le numérateur et le dénominateur de la fraction qui forme le premier membre , lesquels avoient chacun cinq facteurs, se trouvent déjà réduits l’un et l’autre à

l64 DE LA CORRÉLATION

quatre , et la figure se trouve également réduite à un côté de moins , puisqu’elle est maintenant BCGH, le point A étant éliminé. Il est donc clair que par un raisonnement pareil, on abaissera encore le nombre des côtés du polygone d’une unité, et les termes de la fraction d’un facteur chacun , ainsi de suite; c’est-à-dire, qu’on ramènera enfin la figure à un triangle , et les termes de la fraction à trois facteurs chacun , qui exprimeront la propriété de ce triangle, démontrée (i8i).

221. Si l’on imagine maintenant que ABCGH devient gauche , et que nf représente un plan qui le traverse, on verra que la même démonstration est applicable. Donc ,

Si un polygone quelconque , plan ou gauche , est coupé par un plan transversal qui forme sur chacun de ces côtés deux segmens , le produit de la moitié de tous ces segmens , comme facteurs , sera égal au produit de tous les autres , en les prenant de manière que dans chacun de ces deux produits il n’entre jamais deux facteurs qui aient pour extrémités un même angle du polygone ou un même point du plan transversal.

222. Si d’un point quelconque (fig. 27) on mène des droites ou rayons à tous les angles d’ un polygone proposé , chacun des angles de ce polygone se trouvera coupé par le rayon correspondant en deux autres angles ,• de sorte que le nombre de ces nouveaux angles sera double du nombre des an -

DES- FIGURES DE GEOMETRIE. *65 gles du polygone. Cela posé , le produit des sinus de la moitié de ces angles , comme facteurs , est égal au produit des sinus de tous les autres , en les prenant de manière qu’il n’en entre jamais dans le même produit deux qui aient le même sommet.

Soit A B C D E F le polygone proposé , G le point ou foyer d’où partent tous les rayons. Il faut donc démontrer qu’on aura

sinABG.sinBCG.sinCDG.sinDEG.sinEFG.sinF AG =sinCBG.sinDCG.sinEDG.sinFEG.sinAFG.sinBAG.

Or , le triangle A B G donne

ÂG lBG :: sin ABG : sin BAG.

Le triangle BCG donne

BG : CG X sin BCG : sin CBG.

Le triangle CDG donne

CG~ : DG :: sin CDG: sin D CG, etc. etc.

Multipliant ensemble toutes ces proportions , les deux premiers termes se trouvent identiques ; donc les deux autres sont égaux , ce qu’il falloit prouver. La même démonstration est évidemment applicable an cas où le polygone est gauche.

223. La projection de toutpolygone fermé sur un plan quelconque étant elle-même un polygone fermé , tout ce que nous avons démontré pour un polygone quelconque est applicable à chacune de ses projections. Ainsi, par exemple, si l’on rapporte le système à trois plans perpendiculaires entre

? .ail

ïG6 DE LA CORRÉLATION eux , on pourra appliquer à chacun des polygones qui forment les trois projections du polygone proposé, ce que nous avons dit de ce polygone luimême. Je ne m’étendrai pas sur cet objet ; j’observerai seulement comme propositions analogues à celles que j’ai démontrées , et utiles pour rapporter en effet les polygones à trois plans ou axes perpendiculaires entre eux ,

l°. Que le quarré d’une droite quelconque est égalé à la somme des quarrés de ses trois projections sur les axes.

2 °. Que le quarré de cette même droite est la moitié seulement de la somme des quarrés de ses trois projections sur les plans.

3°. Que le produit de deux droites quelconques par le cosinus de l’angle qu’elles forment, est égal à la somme des trpis produits formés en multipliant les deux projections de ces droites sur chacun des axes.

4°. Que le cosinus d’un angle formé dans l’espace par deux droites quelconques , est égal à la somme des trois produits qu’on obtient en multipliant les deux cosinus formés par chacun des axes avec chacun des côtés de l’angle proposé.

5°. Que si trois plans quelconques, perpendiculaires entre eux, sont coupés par un même quatrième plan , la somme des quarrés des cosinus des angles formés par ce quatrième plan , et chacun des trois autres, sera égale au quarré du sinus total, et la

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 167 somme des quarrés des sinus sera double du même quarré du sinus total.

6°. Que si deux droites quelconques sont données dans l’espace de grandeur et de position , la première sera à la seconde comme la projection de la première sur la seconde est à la projection de la seconde sim la première.