C’est ainsi que l’équation

ÂB 3 —AC 2 = BD 3 — CD 3 appartient au triangle transformé , soit que le point D tombe entre B et C, soit que C tombe entre B et D, soit enfin que B tombe entre C et D, quoique le3 quantités CD, BD, se soient évanouies dans le changement; la première lors de la coïncidence du point C avecD, la seconde lors de la coïncidence de C avec B.

59 . Enfin je dis que toute formule ou équation à deux termes seulement pour le système primitif, est aussi immédiatement applicable à chacun des

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 55 systèmes corrélatifs ; car si elle ne l’étoit pas , il faudroit, pour qu’elle le devînt, changer le signe des quantités qui deviendroient inverses : niais la formule ne changerait pas pour cela , puisque si l’un des termes devient négatif, il faudra que l’autre le devienne aussi ; car une valeur positive ne peut se trouver égale à une valeur négative.

6o - Par exemple, lorsque deux droites AD, B C ( fig- 2 ), se coupent au-dedans d’un cercle en un point K, on a, comme on sait, l’équation

ÂK*DK = BK.cI,

qui est à deux termes.

Concevons maintenant que le système change par degrés insensibles , de manière que le point K d’intersection sorte de l’aire du cercle, et qu’ainsi le système devienne tel qu’il est représenté ( fig . 3 ) • on aura également dans ce système transformé

ÂK . DK = BK . CK.

Cependant C K est devenue inverse j car dans le premier système , on a

CK = CB — B~K , et dans le second, au contraire, on a CK = BK-CB:

par conséquent C K doit changer de signe ; mais

comme d’un autre côté D K devient aussi inverse , puisque dans le premier système on a

Ca

DK=AD — AK,

et dans le second cas, au contraire,

DK = ÂK — ÂJD.

Il suit que DK doit aussi changer de signe; et que par conséquent l’équation finale doit se retrouver la meme que lorsque le point d’intersection K étoit au-dedans du cercle.

6l. Ce que fai dit jusqu’à présent est applicable à toutes les espèces de quantités. Je passe maintenant à ce qui “regarde particulièrement les quantités géométriques.

Concevons deux systèmes quelconques de points en nombres égaux , mais arrangés diversement. Comparons chacun à chacun , et dans quel ordre on voudra , les points du premier système avec ceux du second , et nommons points correspondans ceux qui sont ainsi comparés deux à deux , l’un dans le premier système , l’autre dans le second.

Supposons que dans chacun de ces systèmes on trace un même nombre de lignes droites , on décrive un même nombre de circonférences , on fasse passer un même nombre de plans , en menant toujours ces droites, ces circonférences, ces plans , par les points correspondans ; et qu’enfin tout ce qui est exécuté d’un côté le soit pareillement de l’autre ; il est clair que deux pareils systèmes de quantités sont de ceux que j’ai nommés systèmes corrélatifs , ou figures corrélatives ; et les points, les droites, les arcs, les angles, les surfaces, les solides qui en résultent.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 3j menés ou établis de la même manière dans ces deux systèmes, sont également dits corrélatifs chacun à chacun. Enfin j’appellerai, fonctions , formules , équations corrélatives , celles qui expriment leurs propriétés analogues. Toutes ces définitions cadrent évidemment avec les notions générales que nous avons données précédemment.

6#. Les figures corrélatives ne sontpas pour cela des figures semblables ; car quoique composées d’un même nombre de parties correspondantes , ces parties peuvent avoir des rapports différons. En effet , les pointe, dits corrélatifs ne sont pas des points semblablement placés dans les deux systèmes , puisqu’on les a supposés disposés arbitrairement. Lorsque ces points sont semblablement placés, on peut dire qu’il y a entre les deux systèmes corrélation d& similitude , et l’on peut- dire qu’il y a corrélation? d’identité ou de superposition , lorsque les deux figu* res sont absolument semblables et égales entre elles.

63 . Puisque la base de chacun de ces. systèmes, est un assemblage de points qui. sont en même nombre dans l’un et dans l’autre, nous pouvons concevoir que l’im de ces systèmes étant fixe et pris pour terme de comparaison, l’autre varie insensiblement, de manière que chacun de ses points approche graduellement du point corrélatif de l’autre système, et finisse par coïncider avec lui. Alors ces deux systèmes se confondront et deviendront identiques. On peut également concevoir que deux systèmes étant

38 DE LA CORRÉLATION d’abord identifiés, l’un des deux reste fixe, et que l’autre s’en éloigne insensiblement , en changeant de forme par degrés, et chaque point prenant une position plus ou moins disparate ayec celle qu’il avoit dans le système primitif!

64. Je suppose que l’on connoisse les propriétés d’une figure quelconque, que je prends pour servir de terme de comparaison à toutes les figures qurlui sont corrélatives ; et je cherche quelles modifications doivent éprouver les formules ou équations qui expriment ces propriétés connues, lorsqu’on veut les transférer on en faire l’application aux figures corrélatives.

En regardant toutes ces figures corrélatives comme les différens états du système primitif pris pour terme de comparaison , qui varie par degrés insensibles , on pourra regarder les formules trouvées comme appartenant à toutes les autres; et il ne s’agira , pour l’application , que d’attribuer dans chaque cas particulier, aux diverses variables, les valeurs absolues qui leur conviennent, et le signe dont chacune doit être affectée.

65. Réciproquement , le système primitif étant donné, ainsi que les formules qui s’y rapportent, on peut demander quel est le système corrélatif auquel se rapporteroient les formules modifiées de telle ou telle manière.

66. Enfin on peut demander quelles formules seroient en même temps applicables aux deux sys-

DES FIGURES DE GEOMETRIE- 5g têmes ; c’est-à-dire, quelles formules générales cou*tiendroient en même temps les formules immédiatement applicables à chaque système en particulier. Or , ce sont ces différens genres de questions qui forment le sujet de cet essai.

67 . La marche que j e suivrai pour établir la corrélation de deux figures , sera d’établir d’abord la corrélation des points , puis celle des lignes , des angles, des arcs, des surfaces, des solides.

68. Je distingue pour les points deux sortes de corrélations, savoir : la corrélation de construction , et la corrélation de position. La. corrélation de construction est celle qu’on établit entre les points de deux ligures considérées dans l’ordre de leurs constructions respectives. La corrélation de position est celle qu’on établit entre ces mêmes points , en les considérant dans l’ordre suivant lequel ils se trouvent rangés 6ur les lignes corrélatives qui les contiennent.

69. Soient, par exemple , deux triangles A B C. , A'B'C' (fig. 1 eti ), dans lesquels je prends A et A', B et B', C et G', pour respectivement corrélatifs. Abaissons des points corrélatifs À, A', les perpendiculaires AD, À' D', sur les bases opposées; les points D et D' sont corrélatifs entre eux dans l’ordre de la construction. Mais supposons que dans le premier triangle ABC, pris pour terme de comparaison , D tombe entre B et C, tandis que dans îe second, le point C' tombe entre B' et D', correspon-

4o DE LA CORRÉLATION

dans de B et D ; la corrélation de position consistera dans l’expression de cette différence.

70. Pour établir la corrélation de construction , je me contente d’écrire la série des points qui déterminent chaque figure, en les plaçant dans un même ordre les uns sous les autres, chacun sous son correspondant , comme il suit ;

Corrélation de construction.

a" Système A B C D

2 e Système A'B'C'D'

Par où je vois que, dans l’ordre de la construction , A' correspond à A , B' à B , C' à C , D' à D.

7 1 • Etablissons maintenant la corrélation de position. Je vois que, pour exprimer cette corrélation , il me suffit d’indiquer que, dans la première figure, D se trouve sur la droite B C, entre les points B et C; au lieu que dans la seconde , D' se trouve sur B' C' , de manière que c’est C' qui est placé entre B' et D'. Or , il suffit , pour indiquer cette modification , d’écrire les deux séries des points correspondans suivant l’ordre dans lequel ils se trouvent rangés sur les bases corrélatives B C , B' C', comme il suit :

Corrélation de position.

1" Système BD C

Système B'C'D'

Les barres tirées au-dessus de ces séries de points

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 4l servent à indiquer que ces points sont rangés sur des lignes droites.

72 . J’exprime de la même manière la corrélation de position de deux séries de points placés sur des arcs corrélatifs, avec cette différence, qu’au lieu d’une barre droite tirée au-dessus, ce sera une barre courbée ; de manière que si A , B , C , D , par exemple , sont quatre points placés sur un arc de cercle, dans l’ordre A B C D , tandis que leurs correspondans A', B', C', D', sont placés sur l’arc de cercle corrélatif au premier dans l’ordre B' D'A'C', on établira ainsi les corrélations de construction et de position :

Corrélation de construction.

i® T Système AB CD

a* Système A'B'C'D'

Corrélation de position.

ï <r Système A B C D

a* Système B D' A C'

73. Pour exprimer le point de concours de deux lignes droites, comme AB, CD, j’écrirai A B C D ; c’est-à-dire, les deux droites avec un point placé entre les deux barres mises au-dessus. Ainsi , cette expression signifie point de concours des droites A B , C D , prolongées s’il le faut. De même , pour exprimer le point de concours de deux arcs A B, CD t

4a DE LA CORRÉLATION

j’écrirai AB CD ; pour exprimer le point de concours d’une droite A B avec un arc C D , j’écrirai

A B CD ou CD AB. Si deux droites , ou deux arcs, ou une droite et un arc, étoient exprimés par de simples lettres comme a, b, on exprimeroit leur point de concours de cette manière, a 'b.

On voit par-là que F A B * C D , par exemple , doit signifier la droite menée du point F au point

de concours de A B et C D j que AB CDFGHK doit signifier la droite menée du point de concours des droites AB, CD, au point où se croisent les

deux arcs F G, H K; que A B CDFG H K LM doit signifier le point où l’arc L M coupe la droite menée du point d’intersection des droites A B , C D , à celui où se coupent les arcs F G, HK, ainsi des autres.

74, Pour exprimer que deux points coïncident , ou ne sont qu’un seul et même point considéré de deux manières, j’en écrirai la double expression séparée par le signe=4=, que j’appellerai signe d’équipollence. Par exemple, si les droites AB, CD,

concourent au point E , j’écrirai AB <3 D =f => E ; si les deux droites AB, CD, concourent au meme point que les deux arcs F G , H K , j 'écrirai . . .