Revenons maintenant à l’idée principale, exposée

Théorie de la structure des cristaux. 1 1 9

au commencement de l’article précédent, que les plans de clivage sont les plans d’application des particules polyédriques composantes : il s’en suit naturellement que le solide de clivage (voyez §. i3) peut être considéré comme étant la représentation de ces particules. M. Haüy lui a donné le nom de forme primitive.

Mais, si l’on se rappelle ce que nous avons dit des clivages (§.7 à 17), et notamment ( §. i5) de l’existence de plusieurs solides de clivage dans une même substance, on reconnoîtra qu’il peut se rencontrer plusieurs difficultés dans la détermination de la forme primitive.

Il n’y en a aucune , lorsqu’un minéral ne présente qu’un seul ordre de clivage , et qu’on peut en observer au moins trois sens : la forme primitive est alors le solide de clivage unique que l’on peut extraire du minéral.

Mais, lorsqu’il y a plusieurs ordres de clivage, ce qui conduit à considérer séparément plusieurs solides de clivage (voyez J. i3), on conçoit que chacun d’eux pourroit être adopté pour forme primitive. On préfère, le plus ordinairement , celui qui est formé par les plans de l’ordre de clivage le plus facile et le plus complet ; mais quelquefois on s’écarte de cette règle , afin d’obtenir une dérivation plus simple de toutes les formes cristallines du minéral , et faciliter le calcul qu’on y applique. Au reste, comme, d’après ce qui a été dit §. 16 , et d’après tout ce qu’on a exposé dans les 5.e et 6.e sections, les différens solides de clivage qu’on peut considérer séparément dans une même substance (et par conséquent les différentes formes primitives qu’on pourroit y choisir), sont liés entre eux par des rapports symétriques, il est aisé de sentir que les considérations symétriques que l’on peut appliquer à chacun d’eux doivent conduire aux mêmes résultats.

Il suit également du même principe qu’on auroit encore les mêmes résultats, comme nous l’avons déjà dit ( §. 92), en substituant hypothétiquement * à la forme primitive ou au solide de clivage d’un minéral , une de ses formes dominantes ( existante , ou même seulement reconnue possible conformément à la symétrie), qu’on adopteroit pour forme primitive. On peut voir dans le Traité de minéralogie de

M. Haiiy ( tom. 2, pag. 1 5 ) la démonstration qu’il a donnée de la possibilité de cette substitution.

Enfin , lorsqu’il y a moins de trois sens de clivage (voyez §. 9 ) , on n’a aucune donnée directe pour déterminer entièrement la forme primitive ; mais on est fondé à compléter le solide, en y ajoutant les plans qui lui manquent, d’après de nombreuses analogies tirées des formes cristallines du minéral, et, en général, de la symétrie ordinaire de la cristallisation. Il en est de même lorsque la substance observée ne présente aucun indice de clivage.

§. 96. On voit que, dans les minéraux qui ont plusieurs ordres de clivages, on fait abstraction d’une partie d’entre eïix pour déterminer la forme primitive. Mais, si on considéroit à la fois plusieurs ordres de clivages , les plans de l’un devant nécessairement couper ceux de l’autre , leurs intersections doivent sous-diviser la forme primitive en plusieurs petits solides que , d’après la connoissance de tous les solides de clivages connus, on démontre être toujours, ou des tétraèdres, ou des prismes triangulaires , ou des par allé~ lipipèdes.

On obtient le même résultat dans un minéral qui n’a qu’un seul ordre de clivage , lorsque ce clivage est composé d'au-moins quatre plans différens. La rencontre de tous les plans sans leurs plans parallèles , ou celle d’une partie seulement de ces plans avec leurs plans parallèles, séparent, comine on va le voir , la forme en petits solides qui rentrent dans ceux que nous venons d’indiquer.

Cela a lieu dans les octaèdres : en effet, puisque nous avons vu ( §. 94) que des solides octaèdres ne pouvoient être réunis symétriquement sans laisser entre eux des vides tétraèdres , il est évident que , ces tétraèdres étant supposés pleins et les octaèdres vides, la masse du solide octaèdre se trouve toute composée de tétraèdres. Cette supposition , il est vrai, est entièrement gratuite; mais l’autre, dans laquelle la forme primitive octaèdre seroit composée d'octaèdres avec vides tétraèdres, l’est également; et M. Haüy a jugé qu’il étoit plus simple et plus naturel d’adopter la première (voyez son Traité de minéralogie, t. 2 , p. 249)» Ici les petits solides tétraèdres, dans lesquels une forme

Théorie de la structure des cristaux ,

primitive octaèdre se décompose , sont terminés par les quatre plans de l’octaèdre , sans leurs parallèles.

Un prisme hexagonal régulier peut être partagé , suivant sa longueur, en six prismes triangulaires, dont chacun est terminé par les trois plans latéraux du prisme hexagonal , sans leurs parallèles. (Voyez Haüy , Traité de minéralogie, tom. 1 .er , pag. 3 o.)

U n dodécaèdre rhomboïdal régulier peut être partagé d’abord en quatre rhomboèdres , par des plans parallèles à ses faces passant par des arêtes. Ainsi , dans la figure 39 , un de ces rhomboèdres auroit son sommet extérieur en o et présenteroit à l’extérieur trois de ses rhombes , o d t e, oena, odla ; un second auroit son sommet extérieur en r, un troisième en v, et un quatrième en m\ Chacune des trois faces intérieures du rhomboèdre en o seroit appliquée à une face de chacun des trois autres rhomboèdres.

On doit remarquer qu’il n’y a que trois des six plans de clivage du dodécaèdre employés dans un de ces rhomboèdres. Ainsi , par exemple , les trois plans qui sont verticaux dans la figure 39 , ne font point partie du rhomboèdre supérieur eno. Mais, si on cesse de faire abstraction de ces plans, et si parallèlement à chacun d’eux, c’est-à-dire, verticalement, on fait passer un plan par chacune des arêtes, od, oe, oa, de ce rhomboèdre et par la diagonale opposée, ce rhomboèdre sera partagé en six tétraèdres : d’où il suit que le dodécaèdre rhomboïdal régulier seroit partagé de cette manière en vingt-quatre tétraèdres. (Voyez Haüy , Traité de minéralogie, tom. 2 , pag. 545.)

Il est évident qu’on peut appliquer ce partage en six tétraèdres à une forme primitive rhomboèdre dans laquelle on observeroit un second ordre de clivage triple vertical , parallèlement à ses trois sortes d’arêtes. (Voy. Haüy, Traité de minéralogie, tom. i.er, pag. 29.)

1 On reconnoit que ces sommets de rhomboèdres o } r , v et m sont quatre des huit angles solides triples du dodécaèdre (voy. §. 55), savoir, toujours un de deux qui sont opposés l’un à l’autre aux deux extrémités d’une ligne (ou axe) passant par le centre du solide : nous auxions pu indifféremment indiquer les quatre autres, s } n, l et i.

Enfin , on doit reconnoître qu’un dodécaèdre triangulawe isocèle seroit de même partagé en six tétraèdres par trois plans verticaux, chacun d’eux passant par son axe et par deux arêtes culminantes opposées. ( Voyez Haüy , Traité de minéralogie , tom. i.er, pag. 482 , et tom. 2 , pag. 408.)

Ces exemples suffisent pour faire concevoir comment certaines formes primitives peuvent être considérées comme composées de petits solides plus simples.

Ces petits solides ont été distingués, par M. Haüy, sous le nom de molécules intégrantes. On conçoit que, dans le cas où une substance n’admet qu’un seul ordre de clivage, et seulement dans trois sens, la forme primitive ne peut pas être subdivisée; ainsi elle est alors elle-même la molécule intégrante.

§. 97. On a vu (§. 94) comment des formes primitives octaèdres, tétraèdres, et dodécaèdres triangulaires isocèles pouvoient être transformées en rhomboèdres ou en parallélipipèdcs, et que la réunion symétrique de ces parallélipipèdes devoit, dans chaque cas, remplir un espace égal à celui qu’occuperoit la réunion symétrique des solides générateurs.

On vient de montrer dans l’article précédent qu’un dodécaèdre rhomboïdal régulier pouvoit être partagé en rhomboèdres ; et comme des dodécaèdres rhomboidaux réguliers peuvent se réunir symétriquement sans laisser de vides, il s’en suit qu’un cristal d’une substance qui a une forme primitive de ce genre , peut être considéré comme composé de rhomboèdres.

Enfin, les six prismes triangulaires qui composent un prisme hexagonal régulier, étant pris deux à deux, constituent un prisme rhomboïdal: par conséquent, une forme primitive en prisme hexagonal peut être considérée comme composée de trois prismes rhomboidaux.

Ces différens solides , réunis aux divers prismes quadrangulaires, comprenant tous les solides de clivages observés, c’est-à-dire, toutes les formes primitives, on doit donc reconnoître que toutes les formes primitives peuvent être considérées comme composées de parallélipipèdes.

Ces parallélipipèdes, dont une forme primitive est ainsi composée, ont été nommés par M. Haüy molécules soustrac -

Théorie de la structure des cristaux . 123

lives, parce qu’il s’en sert avec beaucoup d’avantage pour faciliter le calcul des soustractions de rangées de molécules dont nous allons parler.

§. 98. D’après la nature des divers solides polyédriques que l’observation des plans de clivage conduit à considérer dans un minéral cristallisé, on conçoit qu’il étoit naturel que M. Haüy adoptât, pour type principal de tous les cristaux de ce minéral, sa forme primitive (voy. §. 95).

Lorsqu’un cristal est semblable à la forme primitive de la substance à laquelle il appartient, comme cela n’est pas rare, on le distingue des autres cristaux de la même substance par l’épithète de primitif; et, au contraire, tous les autres cristaux reçoivent collectivement le nom de cristaux secondaires .

Les solides de clivage dont nous avons donné l’énumération (§. 63), comprennent toutes les formes primitives observées jusqu’ici; quant aux formes secondaires , on peut dire en général qu’elles rentrent toutes dans ce que nous avons appelé formes dominantes des cristaux , et dont nous avons présenté le tableau (§. 61). Mais M. Haüy a jugé devoir considérer comme une forme secondaire particulière , non-seulement chacune des variétés de ces formes dominantes, mais encore les résultats divers des modifications dont elles sont susceptibles et que nous avons exposés dans la 5.e section , et même les associations et combinaisons différentes de ces résultats dans un cristal : il distingue dans la description d’un minéral chacune de ses formes secondaires observées, par une épithète caractéristique particulière qu’il ajoute au nom de l’espèce.

Il n’est pas inutile de remarquer qu’une même espèce de solide peut se trouver être la forme primitive d’un minéral et la forme secondaire d’un autre. Ainsi, par exemple, l’octaèdre régulier est le cristal primitif de la chaux fluatée , et un cristal secondaire dans le plomb sulfuré ; le dodécaèdre rhomboïdal régulier est un cristal secondaire dans le spinelle , et le cristal primitif dans le zinc sulfuré ; le dodécaèdre triangulaire, qui est le cristal primitif du plomb phosphaté, est un cristal secondaire dans le corindon , etc. : et on conçoit facilement qu’il en doit être ainsi, d’après la possibilité

des passages d'une forme à une autre que nous avons fait connoître (6.e section). Cependant, ces rapports de formes entre les cristaux primitifs et secondaires de deux espèces n’entraînent une identité dans les angles que pour les quatre polyèdres réguliers ; dans tous les autres cas , comme , par exemple, dans le dernier de ceux que nous venons de citer , les cristaux analogues de deux espèces minérales ont des angles différens. (Voyez §. 18.)

§. 99. Ayant ainsi établi , dans les articles précédens , la forme des divers polyèdres composans qu’on peut considérer dans les cristaux, ayant adopté la forme primitive d’un minéral pour type principal auquel on doit rapporter tous ses cristaux, et ayant défini ce que l’on entend par formes ou cristaux secondaires , il s’agit de déterminer le rapport symétrique qui lie ces formes secondaires à la forme primitive.

D’après ce que nous avons dit (dans la 5.e section) de la symétrie constante que la nature suit dans les modifications des cristaux, on doit concevoir que, si une forme secondaire a deux de ses faces semblables de position entre elles, elles doivent correspondre à deux dimensions (arêtes ou angles) de la forme primitive, également semblables de position entre elles : par conséquent il suffira de déterminer le rapport symétrique entre une de ces faces secondaires et la dimension primitive correspondante ; car le rapport relatif à l’autre face sera semblable au premier. Il en seroit de même si la forme secondaire avoit un plus grand nombre de faces semblables , et aussi si toutes ses faces étoient semblables. Ainsi , le dodécaèdre rhomboidal régulier , qui est une des formes secondaires propres à une forme primitive cubique, ayant ses douze faces semblables, lesquelles correspondent aux douze arêtes du cube (§. 85 , fig. 78) , le rapport entre une seule de ses faces et l’arête correspondante du cube , ou plutôt avec les faces du cube adjacentes à cette arête , étant déterminé, on connoîtra les rapports relatifs à chacune des autres faces, puisqu’ils doivent être tous égaux au premier. Il s’en suit que la détermination du rapport symétrique entre une forme secondaire et la forme primitive se réduit à trouver le Rapport entre une de ses faces de chaque espèce et la partie correspondante de la forme primitive , ou , plus exactement ,

Théorie de la structure des cristaux.

d assigner la loi d’où dépend l’inclinaison de cette face secondaire a une face primitive correspondante.

§. 100. Aussitôt que les particules d’un corps passent à l’état solide , ou sont abandonnées par un dissolvant, elles tendent à se réunir entre elles par leur force d’attraction propre. Si cette attraction n’est pas modifiée extérieurement par des causes étrangères, il est à croire que les particules conserveront, dans leur réunion, leur forme primitive, et s’accumuleront dans tous les sens également. Si , par exemple , leur forme primitive est cubique , elles formeront un cube par leur réunion , et ce cube s’accroîtra sur chacune de ses faces par des lames parallèles successives qui viendront s’y appliquer , chacune de ces lames étant composée de petits cubes. La figuré 123, qui représente un cube composé de lames qui se croisent dans toutes les directions et se sousdivisent réciproquement en petits cubes, est destinée à éclaircir cette idée.

Mais , si on suppose qu’une force extérieure quelconque soit venue gêner ou modifier la force d’attraction dans une direction déterminée , par exemple , vers une arête a b con» sidérée dans la plus petite molécule cubique 1 , on doit concevoir que, dès le commencement de l’action de cette force, les molécules se réuniront en moins grand nombre dans cette direction que dans les autres ; et , cet effet ayant nécessairement lieu sur toutes les molécules nouvelles qui viendront s’appliquer, le résultat sera que chaque lame successive de molécules, comparée à celle qu’elle recouvre, sera un peu moins étendue qu’elle d’une quantité constante égale à une ou plusieurs rangées de molécules, et que cette quantité sera la même pour chaque lame. M. Haüy exprime ce résultat en

i II est évident, d’après les lois de la symétrie, que cette action aura lieu également sur les autres arêtes qui seroient semblables de position à celle-ci dans la forme primitive, et par conséquent, dans un cube, sur toutes; mais, d’après ce qui a été dit dans l’article précédent, nous pouvons n’en considérer ici qu’une seule séparément, pour plus de clarté. Nous examinerons plus bas ( §. 102) quel peut être le résultat général de ces forces modifiantes (ou de ces décroissemens) pour la production des cristaux secondaires.

disant que chaque lame a subi un décroissement sur' une arête .

O11 conçoit que, si cette cause modifiante étrangère étoit dirigée vers un angle, ou, ce qui est la même chose, vers la diagonale qui lui est opposée, on auroit un décroissement sur un angle ; et, de même, un décroissement intermédiaire , si la direction étoit vers une ligne intermédiaire entre un côté et une diagonale: ce mot décroissement exprimant que, dans la formation du cristal , il y a eu un certain nombre de rangées de molécules soustraites sur chaque lame successive appliquée parallèlement à une face déterminée; ces rangées étant prises parallèlement, soit à une arête, soit à une diagonale , soit à une ligne intermédiaire.

La figure 117 représente une série de lames décroissantes parallèlement à l’arête a b d’un cube du côté de la face abc d ; la figure 122 fait voir un résultat semblable sur l’angle a de ce cube du côté de la même face; et les figures 119, 120, 121 , représentent isolément trois lames successives de la figure 122, afin d’aider à mieux concevoir ce décroissement.

On doit reconnoître que la soustraction de rangées parallèlement à une arête, telle que ai, peut être considérée indifféremment des deux côtés de cette arête , soit sur la série des lames appliquées parallèlement à la face a b cd, comme le représente la figure , soit sur celles appliquées parallèlement à a b g f; que de même, lors d’un décroissement sur un angle solide , il faut distinguer quelle est , parmi les faces composant cet angle solide, celle qui est parallèle aux lames qui ont subi un décroissement, ou plutôt dans lesquelles on préfère le considérer.

Puisque dans chaque cas le décroissement, quel que soit le nombre n de rangées soustraites, doit, comme on l’a dit, être égal pour chaque lame , il s’en suit que , dans la figure 117, toutes les arêtes saillantes rr, rr, . . . . et mn des lames successives seront dans un même plan avec l’arête a b, et que de même, dans la figure 122, tous les angles saillans £, t, t , etc., des molécules voisines de celles qui ont été soustraites, seront dans un même plan, lequel coupera le plan supérieur parallèlement à la diagonale qui va de d en b ; et comme l’épaisseur de chaque lame est infiniment petite.

Théorie de la structure des cristaux . 127

il en résulte que , dans l’un et l’autre cas , ces arêtes ou ces angles saillans formeront réellement un plan continu , ou une face secondaire.

§. 101. Nous avons dit que le décroissement avoit lieu sur chaque lame par la soustraction d’une ou plusieurs rangées de molécules; mais rien ne s’oppose à ce qu’on imagine que la force quelconque qui produit le décroissement, puisse être , dans certains cas , capable d’opérer une soustraction égale sur deux ou plusieurs lames à la fois, ce qu’on peut concevoir encore en supposant que l’épaisseur ou la hauteur de chaque lame décroissante , au lieu d’être celle d’une molécule , comme nous l’avons dit d’abord , soit égale à deux ou plusieurs hauteurs de molécules. Si, par exemple, on suppose d’abord que cette hauteur de chaque lame décroissante est égale à deux hauteurs de molécules, et qu’il y ait une rangée soustraite, il est évident qu’en ramenant ensuite chaque lame à n’avoir, comme ci-dessus, que la hauteur d’une molécule , le décroissement , considéré en largeur, n’est plus que d’une demi -rangée de molécules; dans d’autres cas il pourroit être de ÿ, §, f , J, etc.

Le nombre n de rangées soustraites en largeur sur une seule lame peut donc être, ou entier, ou fractionnaire. Lorsqu’il est entier , on dit que le décroissement est simple et se fait en largeur ; s’il est fractionnaire, on distingue ordinairement le cas où le numérateur est 1 , et l’on dit que le décroissement est simple et se fait en hauteur ; si le numérateur n’est pas 1, on dit que le décroissement est mixte , c’est-à-dire, qu’il se fait à la fois en hauteur et en largeur .

Les figures 117 et 122 nous ont déjà fait voir un décroissement simple en largeur par une rangée sur une arête et sur un angle; la figure 124 (qui est une coupe du cube, figure 123, parallèlement à la face abfg) représente, i.°, sur l’arête bc du côté de la face bcgh, un décroissement simple en largeur par deux rangées (n= 2 ); 2.0, sur la même arête b c , du côté de la face abcd, un décroissement simple en hauteur par deux rangées (n — {) ; 3.°, sur l’arête ad, du côté de la face ad ef, un décroissement mixte , par trois rangées en largeur et deux rangées en hauteur ( n = \ ).

Nous remarquerons ici, à l’occasion des décroissemens de

part et d’autre d’une même arête, qu’ils doivent, à la vérité, dans le cas le plus général , produire deux faces , mais qu’ils peuvent aussi n’en former qu’une seule , comme on vient de le voir dans les deux décroissemens indiqués sur l’arête b c de la figure 124 ; alors, le décroissement en largeur d’un côté est le décroissement en hauteur de l’autre , et récipro- ;

quement; c’est-à-dire que, si d’un côté n = ? , de l’autre côté

on a nécessairement n = C’est ainsi que, dans les deux

exemples cités sur l’arête b c de la figure , on a eu n = 2 et n =~. Il est évident que le même résultat a lieu lorsque n = 1 et ri = 1 .

§. 102. Dans l’explication que nous venons de donner de chacun de ces genres de décroissemens , nous n’avons jamais parlé que d’une seule face secondaire, c’est-à-dire, d’un décroissement sur une seule arête et d’un seul côté de cette arête , ou sur un, seul angle et vers un seul des plans qui le composent. Nous avons fait voir (§. 99) que le rapport symétrique d’une forme secondaire à la forme primitive du même minéral dépendoit de celui d’une des faces secondaires de chaque espèce avec les parties correspondantes de la forme primitive : mais on sent bien, d’après la marche symétrique de la nature dans les modifications des cristaux , que chaque partie identique de la forme primitive doit être modifiée de la même manière , ou doit subir le même décroissement.

D’après cela , on conçoit que le décroissement sur l’arête a b d’un cube (représenté figure 117) doit avoir lieu également sur toutes les autres arêtes ; et si ces décroissemens ont lieu par une rangée (d’où il suit, en raison de l’identité entre les dimensions de la forme primitive , que la face secondaire, produite sur une arête, est également inclinée sur les deux faces adjacentes de cette arête), la réunion des faces produites par tous ces décroissemens formera le solide que la figure 118 représente (en partie seulement, afin de laisser encore distinguer le cube primitif), et dans lequel on reconnoît facilement le dodécaèdre rhomboïdal régulier (fig. 38).

Théorie de la structure des cristaux . 129

Le décroissement qui a lieu sür l’arête b c du cube (fig. 124) , par deux rangées en hauteur, ou par une demi-rangée en largeur, d’un côté de cette arête, et par deux rangées de l’autre, produit une face fcZ; et cette face devant naître également sur chacune des douze arêtes du cube, il en résultera , d’abord le solide , figure 82 , où ces douze faces secondaires sont désignées par les lettres e, et par une plus grande extension de ces faces e ( de manière à faire disparoitre entièrement les six faces du cube), le dodécaèdre pentagonal symétrique (fig. 41 )•

Si le décroissement sur l’angle solide d’un cube (représenté par la figure 122) a lieu par une rangée, la face secondaire produite sera également inclinée sur les trois faces primitives adjacentes , ainsi qu’on peut en juger par cette figure 122, et aussi par les lignes Ik, fcr, Ix , menées dans la figure 123 ; et comme le même décroissement doit se faire sur les huit angles solides en même temps, le résultat doit être , d’abord le solide représenté fig. 77 , lequel devient ensuite, comme on l’a déjà dit b par un accroissement des huit faces secondaires, Yoctaèdre régulier (fig. 21 ).

La figure 81 présente le résultat d’uii décroissement par deux rangées sur chacun des trois angles plans composant chaque angle solide d’un cube. Cette même figure, par une extension plus grande des vingt- quatre faces secondaires > devient le trapézoèdre (fig. 49).

Ces exemples suffisent pour faire concevoir comment des cristaux secondaires peuvent être produits par des décroissemens sur les parties semblables d’une forme primitive.

§. io3. Dans toutes les considérations contenues dans les deux articles précédens, sur les différentes manières d’évaluer les décroissemens suivant les différens cas , et sur leurs résultats, nous n’avons parlé que des décroissemens sur une arête ou sur un angle, et nous avons laissé de côté cette autre espèce de décroissement que nous avons désignée plus haut (§. 100), sous le nom de décroissement intermédiaire . Nous avons dit que la direction des rangées soustraites étoit alors parallèle à une ligne intermédiaire entre une arête et une diagonale: la partie inférieure de la figure 124 servira à éclaircir cette idée* Les lignes su, su , parallèles à la diago-

l3ü PREMIÈRE PARTIE : 7.1 * * * * 6 SECTION.

nale opposée à l’angle/, représentent les traces successives d’un décroissement ordinaire sur l’angle / par une rangée en largeur; mais les lignes if , if, opposées à l’angle g, n’étant pas parallèles à une diagonale, représentent les traces d’un décroissement intermédiaire sur cet angle g.

Pour déterminer les résultats de ce décroissement, il faut d’abord évaluer pour chaque lame la quantité de molécules, ou plutôt d’arêtes de la base de la molécule , soustraites de part et d’autre de l’angle, sur chacune des deux arêtes adjacentes, ce qui fixe la position de la ligne if; ensuite on indique, comme à l’ordinaire, le décroissement en hauteur et en largeur. Ainsi, le décroissement intermédiaire, tracé dans la figure, est dirigé par deux molécules soustraites sur l’arête /g , et une sur l’arête b g , et il se fait par la soustraction d’une seule rangée en largeur.

Nous ne reviendrons plus sur ce genre de décroissement, qui se présente assez rarement', et d’autant plus que M. Haüy a démontré qu’il pouvoit toujours être ramené à un décroissement ordinaire sur les arêtes ou les angles d’une autre forme secondaire du même minéral, produite elle-même sur la forme primitive par un décroissement ordinaire.

1 Ou, plus exactement, qu’on a rarement besoin de déterminer; car, dans tout décroissement sur un angle (excepté le cas où il n'y a qu’une seule rangée soustraite), des trois sens dans lesquels on peut le con¬

sidérer, c'est-à-dire, des trois faces adjacentes auxquelles on peut le

rapporter, il y en a toujours au moins deux pour lesquelles il est intermédiaire. Pour s’en convaincre, que l'on suppose un pian secondaire passant par trois diagonales de trois faces d’un parallélipipède

primitif: ce plan, considéré par rapport à chacune de ces trois faces,

sera le résultat d'un décroissement ordinaire sur un angle par une seule

rangée ; mais si cc plan ne passe que par une diagonale d’une des faces, il coupera les deux autres faces par une ligne dirigée entre une diagonale et un côté : donc le décroissement ne sera ordinaire que pour la première, et il sera intermédiaire par rapport à chacune des deux autres; mais on conçoit que la détermination de ces deux derniers décroissemens est nécessairement une conséquence de celle du premier, à laquelle on doit se borner. Ainsi , en disant qu'un décroissement intermédiaire ne se présente pas souvent, cela veut dire qu’il est rare qu’un décroissement sur un angle soit intermédiaire, à la fois, par rapport aux trois faces adjacentes à cet angle.

Théorie de la structure des cristaux. i3i

§. 104. Pour exprimer, d’une manière abrégée, les différens modes de décroissemens qui ont lieu dans un cristal secondaire, M. Haüy a imaginé une méthode fort simple, qui a quelques rapports avec les signes algébriques.

Elle consiste d’abord à désigner , dans chaque forme primitive, chaque arête et chaque angle (d’espèce différente) par une lettre majuscule ; les premières consonnes de l’alphabet, B, C, D, F, G, H, pour les arêtes, et les voyelles A , E, I, O, pour les angles. On désigne de même chacune des faces de la forme primitive par une des lettres majuscules P, M , T, D’après ce qui a été dit (§. 97), que toutes les formes primitives pouvoient être ramenées à des parallélipipèdes , on conçoit que le nombre de lettres que nous venons d’indiquer suffit pour désigner toutes les arêtes, angles , ou faces ( d’espèce différente ) du parallélipipède le moins symétrique, et par conséquent des octaèdres et aqtres formes primitives les plus irrégulières , au moins parmi celles qui ont été observées.

La figure i2Ô représente un parallélipipède dans le cas le plus compliqué (celui d’un prisme quadrangulaire à base oblique non symétrique [voyez, §. 39], forme primitive du cuivre sulfaté), dans lequel chaque face, angle ou arête, d’espèce différente, porte sa lettre distinctive. On sent facilement que, plus la forme primitive sera symétrique, plus il y aura de dimensions semblables, et , par conséquent, moins il y aura de lettres distinctives : ainsi , dans la figure 126, qui est un prisme droit à base rectangle (forme primitive du péridot), il n’y a plus qu’une lettre A pour les angles , et trois lettres B, C, G , pour les arêtes. Dans le cube et l’octaèdre régulier , il n’y a qu’une seule lettre P pour toutes les faces, une seule lettre B pour toutes les arêtes, et une seule lettre A pour tous les angles.1

On adopte ensuite, pour chaque espèce de face secondaire d’un cristal, une lettre non majuscule , et on décrit ce cristal

1 Sauf quelques exceptions dans des cas particuliers, comme dans la forme primitive cubique du fer sulfuré, etc., d’après des considérations qui ne peuvent être développées ici.

l3^ PREMIÈRE PARTIE : 7.* SECTION#

en réunissant toutes les lettres qui représentent ses faces» Ainsi , le cristal de péridot (fig. 100) , qui présente à la fois des faces primitives et des faces secondaires , étant comparé à sa forme primitive (fig. 126), devra être indiqué par la réunion des lettres M, n , T, d, e, fc, P.

Maintenant, pour ajouter à cette première indication des faces qui composent le cristal, celle du décroissement qui produit chaque face secondaire, on écrit, au-dessus de la lettre non majuscule qui la représente, la lettre majuscule adoptée pour l’arête ou l’angle de la forme primitive , sur lequel a eu lieu le décroissement qui a produit cette face secondaire, et l’on joint à cette lettre un chiffre exprimant la valeur de n ou de la quantité de rangées soustraites. La position de ce chiffre , à droite , à gauche , ou des deux côtés à la fois, au-dessus ou au-dessous de la lettre, indique, d’après différentes conventions, de quel côté (c’està-dire, vers laquelle des faces primitives adjacentes à l’arête ou à l’angle) la face secondaire est dirigée, etc. : une combinaison particulière sert à noter les décroissemens intermédiaires.

Ainsi, en appliquant cette méthode au cristal secondaire de péridot (fig. 100), déjà cité, on le représentera par la

réunion des signes suivans : j G CAB ! , laquelle indi-

(MnTde 1c P J

que : i.°, que la face n est le produit d’un décroissement par une rangée de part et d’autre de l’arête G dans la forme primitive (fig. 126); 2.0, que la face d provient d’un décroissement par une rangée sur l’arête C du côté de la base P; 3.°, de même, la face e. . . par une rangée sur l’angle A du côté de la base; 4.0, la face fc...., par une demirangée sur l’arête B du côté de la base; et, 5.°, que les trois faces primitives P, M, T existent sur le cristal.

Nous nous contenterons ici de cette indication succincte de l’ingénieux mécanisme par lequel M. Haüy a réussi à exposer brièvement , et comme en tableau , ses divers résultats cristallographiques, et à en faciliter la comparaison. Ceux qui voudroient étudier à fond cette méthode représentative des cristaux , doivent consulter l’exposé que M.

Théorie de la structure des cristaux. i33

Haüy en a donné (Traité de minéralogie, tom. i.er, pag. 109 à i35 ).

§. io5. Cette idée de la production des faces secondaires, et , en général , des cristaux secondaires , par des decroissemens des lames cristallines, étant suffisamment établie, il faut maintenant montrer comment , dans chaque ^as particulier, on parvient à déterminer la valeur numérique du nombre de rangées soustraites ; car on conçoit que c’est cette valeur qui doit fixer le rapport entre une face secondaire et la forme primitive choisie pour type fondamental dans chaque système cristallin.

Pour arriver à ce but, il est évident qu’avant tout il est nécessaire de connoître rigoureusement la forme primitive, non -seulement dans ses angles , mais aussi dans ses dimensions relatives; car on conçoit d’avance que la valeur du nombre de rangées soustraites repose uniquement sur la mesure de l’espèce de gradin ro a (fig. 117) que les rangées de molécules soustraites ont laissé vide sur la première lame et de même sur les autres , et que la forme et l’étendue de ce gradin dépendent des dimensions et des angles de la molécule.

§. 106. Les formes primitives connues sont : le cube, l’octaèdre et le tétraèdre réguliers; le dodécaèdre rhomboïdal régulier; le rhomboèdre; différens prismes quadrangulaires, droits et obliques; le prisme hexagonal régulier; différens octaèdres symétriques, et le dodécaèdre triangulaire isocèle. (Voy. ce que nous avons dit des différens solides de clivage, §■ 63.)

Dans les quatre premières , ou les corps réguliers , nous connoissons les dimensions, puisque l’identité des angles et celle des modifications nous les ont fait reconnoître égales ; et cette même identité dans les angles nous a conduits à les obtenir d’une manière rigoureuse.

Dans toutes les autres , la mesure des angles et l’observation des modifications ne nous font pas connoître les dimensions : elles nous apprennent seulement, dans certains cas, qu’elles ne sont que de deux espèces ; qu’un prisme quadrangulaire , par exemple, est isocèle : de plus, même pour la mesure des angles, nous sommes forcés de nous en tenir aux

résultats du goniomètre, et nous n’avons pas, du moins a priori , de moyens d’en calculer la valeur rigoureuse.

Supposons cependant, d’abord, que les dimensions et les angles sont rigoureusement connus, et voyons comment on peut en déduire la valeur du nombre de rangées soustraites , que nous désignerons en général par n.

Toutes les formas primitives, qui ne sont pas des parallélipipèdes, pouvant être ramenées à ce solide par une transformation qui ne change rien aux résultats de leur réunion symétrique (voyez §.97), il s’en suit que nous pouvons nous borner ici à considérer des formes primitives parallélipipèdes; que par conséquent il n’y a que trois dimensions et trois angles dont la connoissance soit nécessaire pour que la forme primitive soit entièrement déterminée.

Soit donc m, p , h, les trois dimensions fondamentales: on peut choisir indifféremment comme telles, ou les trois arêtes du parallélipipède, ou des diagonales, ou des perpendiculaires menées dans le solide dans certaines directions. Soit de même i, o, «, les trois angles fondamentaux du parallélipipède, ou plutôt trois lignes trigonométriques qui les représentent : ces trois angles pourront être choisis à volonté parmi les six angles (trois plans et trois dièdres) qui composent un angle solide. On pourroit aussi, au lieu d’une ligne trigonométrique de chaque angle , prendre pour donnée trois diagonales opposées à trois angles plans différens.

Pour plus de simplicité, nous supposerons ici que m, p, h sont les trois arêtes, et i, 0,1/ des lignes trigonométriques des trois angles plans. Ainsi , dans le parallélipipède PM T (fig. 127) qui représente une forme primitive quelconque, nous ferons l’arête ad = m, ab =p , af— h , l’angle plan b af ou afg (c’est-à-dire son sinus, son cosinus ou sa tangente) = i, l’angle dab ou adc = o , et l’angle daf ou ade—u.

En outre, pour faciliter le calcul qui va suivre et dans lequel nous serons forcés de faire entrer les angles dièdres, nous ferons remarquer que la ligne trigonométrique qui serviroit à représenter chacun de ces angles, peut être obtenue en fonctions des données i, o, 1/, qui représentent les trois angles plans1. Soit donc l’angle dièdre de P sur T = J, celui

1 En eliet, les trois angles plans donnés, b af , dab } daf , sont les

Théorie de la structure des cristaux.

de M sur P=0, et celui de M sur T — U; chacune de ces quantités I , O et U étant une fonction des données i, o, u.

Suivons maintenant notre calcul de la valeur de n, d’abord dans le cas d’un décroissement sur une arête.

Soit S (fig. 127) un plan secondaire produit sur l’arête a b du parallélipipède PM T, du côté de la face P; par un point quelconque x de l’arête ab soit mené ur^plan perpendiculaire à cette arête : on aura un triangle qvx, formé par les trois intersections qx, qv, et vx de ce plan, i.° avec le plan primitif P, 2.0 avec la tranche (parallèle à T) de la première lame décroissante appliquée sur P , 3.° avec le plan S; et il est aisé de reconnoître que l’inclinaison de la face secondaire S sur la face primitive P sera mesurée par l’angle x de ce triangle qvx, auquel, d’après cette propriété, M. Haüy a donné le nom de triangle mensurateur.

Nous allons chercher dans ce triangle l’expression générale du sinus ou de la tangente de cet angle x, en fonction des dimensions et angles donnés, et aussi du nombre n de rangées soustraites; nous obtiendrons ainsi une équation dans laquelle nous n’aurons que tang. x et n d’inconnus. Mais , en mesurant avec le goniomètre l’angle de S sur T, et retranchant de cet angle l’angle dièdre de P sur T, qui est connu, nous pouvons avoir l’angle de S sur P, c’est-à-dire l’angle x , et par conséquent la valeur numérique de sa tangente en parties du rayon, au moyen des tables: substituant cette valeur de la tangente dans l’équation , on pourra en extraire la valeur générale de n en quantités connues.

Dans le triangle mensurateur qvx on connoît l’angle q, qui est égal à l’angle de P sur T, représenté par I; le côté qv est une perpendiculaire menée dans la lame décroissante (dont la hauteur est supposée égale à celle de la molécule), entre deux arêtes parallèles analogues à ab et f g : sa valeur dépendra donc uniquement de l’arête af—h , et de l’angle plan afg = i. La valeur du côté qx doit, par un raisonnement

trois côtés d’un triangle sphérique, ayant son sommet en a} dont les trois angles sont les trois angles dièdres, P sur T, etc., du parallélipipède ; et l’on sait qu’on peut toujours, dans un triangle sphérique, déterminer chacun des trois angles au moyen des trois cotés.

l36 PREMIÈRE PARTIE : 7»® SECTION»

analogue, dépendre d’abord du côté ad~m et de l’angle plan adc — o , mais en outre de la quantité n de rangées soustraites.

Ainsi on connoît dans le triangle qvx deux côtés et l’angle compris : on peut donc , au moyen de ces trois parties connues, calculer l’angle x, c’est-à-dire une de ses lignes trigonométriques; par exemple, sa tangente, dont la valeur, d’après ce qui vient d’être dit , sera une fonction composée des côtés h et m , des deux angles plans i et. o , de l’angle dièdre I , et de n . Ainsi, en supposant que tangente x = ô, on aura ô =f (h, m, i, o, I, n ).

Nous avons considéré la face secondaire du côté de la face P; si nous voulions la déterminer du côté de T, nous aurions de même un triangle mensuvateur q v x , qui nous conduiroit à obtenir pour la tangente de q xv une fonction composée des mêmes élémens connus que celle ci-dessus . seulement ils seroient combinés entre eux différemment'. Nous pouvons donc regarder cette fonction comme représentant en général la valeur de la tangente 6 dans tous les cas d’un décroissement sur l’arête ab.

En appliquant ce raisonnement à une face secondaire qui naîtroit sur une autre arête, telle que ad , on obtiendroit , pour la tangente ô' de l’angle qu’elle forme avec une face primitive adjacente , une valeur absolument analogue qui seroit ô'=f (h, p, o, u, O , n). Enfin, pour une face secondaire produite sur l’arête a/, on trouveroit ô" =f (m , p, a, i, U, n).

L’analogie entre ces trois fonctions nous permet de n’en considérer qu’une seule , en nous arrêtant à la première , que l’on peut indiquer généralement en disant que , dans le cas d’un décroissement sur une arête , le sinus ou la tangente de l’inclinaison d’une face secondaire à la face primitive sur laquelle elle naît, est égal à une fonction composée, i.° des deux arêtes, autres que celle sur laquelle le décroissement a lieu; 2.0 des lignes trigonométriques représentant les deux angles pians dont cette dernière arête est un côté; et

i La seule différence seroit que n seroit combiné directement avec h et i, au lieu de l'être, comme ci-dessus, avec m et o.

Théorie de la structure des cristaux. îZy

3.° d’une ligne trigonométrique représentant l’angle dièdre qui a lieu sur cette même arête ; 4.°, enfin , du nombre n de rangées soustraites. Or , d’après la manière dont n se trouve engagé dans cette fonction , on peut toujours en extraire sa valeur, qui sera n = F (h, m, i, 0, I, 0), fonction dans laquelle tout est connu, excepté 0, puisque I est une fonction de i, o et u. Mesurant l’angle de S sur P avec le goniomètre, ainsi que nous l’avons dit plus haut, et prenant, d’après les tables, la valeur numérique de sa tangente 0, on aura la valeur numérique de n.

§. 107. Dans le cas d’un décroissement sur l’angle, par exemple sur l’angle d (fig. 127), du côté de la face P, on conçoit qu’on auroit de même un triangle mensurateur v" q' d. Il seroit formé dans un plan mené par le point d, perpendiculairement à la diagonale qui va de a en c, par les intersections de ce plan , i.° avec le plan secondaire, 2. 0 avec le plan P, 5.° avec un plan appliqué sur les arêtes saillantes des molécules de la première lame (telles que st, st , fig. 119). Ce dernier plan est parallèle au plan diagonal ackf. On reconnoîtra facilement que l’angle d de ce triangle mensurateur est égal à l’inclinaison de la face secondaire sur la face P.

Or, dans ce triangle v" q d, il est facile, comme ci-dessus, d’avoir les valeurs des deux côtés dq et v" q ", et de l’angle v q" d, compris entre eux, au moyen des données fondamentales du parallélipipède qui ont été adoptées, et du nombre n de rangées soustraites : par conséquent on peut en déduire l’angle d, en fonctions des mêmes données, c’est-à-dire des dimensions m, p, h des angles i, o, a, et de n ; et par suite on obtiendra la valeur de n .

Si on veut suivre ce calcul, on trouvera pour n une fonction qui différera de celle trouvée ci-dessus , pour le cas d’un décroissement sur une arête, d’abord (comme cela doit être) par une combinaison un peu différente des quantités composantes, mais en outre, en ce que cette fonction contiendra à la fois les trois dimensions m, p , h, tandis que cidessus il n’y en avoit jamais que deux à la fois dans chaque cas.

Cette dernière différence tient à la nature des données que nous avons adoptées. Si, en effet, pour les dimensions,

en conservant toujours af=h, nous eussions pris la diagonale bd — m! i la diagonale ac—p ; et si, pour les angles, nous eussions fait l’angle entre ces deux diagonales = o', l’angle entre la diagonale ac et le côté af—i l’angle entre la diagonale bd et le côté bg — u , et par suite l’angle dièdre entre la face P et le plan diagonal ackf=l\ et celui entre P et le plan diagonal b de g = O' (!' et O' étant des fonctions de i o u), nous aurions eu , pour le càs d’un décroissement sur l’angle d du côté de P, n— F ( h,m , i\ o', I', ô), et, pour le cas d’un décroissement sur l’angle a du côté de P, n — F (h, p o' u , O', ô.), fonctions tout-à-fait semblables à celles trouvées (§. 106) pour le cas d’un décroissement sur une arête. 11 est vrai que cette fonction ne s’applique qu’au cas où le décroissement est considéré par rapport à la face P, et qu’il faudroit, pour obtenir des fonctions semblables dans les deux autres cas , adopter d’autres données analogues. Ainsi , par exemple, en considérant le décroissement du côté de M, les données seroient ab — p , la diagonale df=m" , la diagonale ae = h" , etc.

Or, comme , en supposant que les dimensions et les angles d’une forme primitive sont donnés à priori , c’est-à-dire, qu’on connoît leurs rapports numériques, on peut toujours calculer les rapports numériques en,tre les nouvelles données m', p', i', o', J', O', etc., dont nous venons de parler, il

s’ensuit que, dans le cas d’un décroissement sur un angle, on peut toujours représenter la valeur de n par une fonction d’une foxine tout-à-fait analogue à celle obtenue (§. 106) pour le cas d’un décroissement sur une arête. 1

i Pour peu qu’on soit habitué à la géométrie des cristaux, on recon- I noîtra aisément qu’en ramenant ainsi la valeur générale de n, dans le I cas d’un décroissement sur un angle, à celle trouvée pour le cas d’un décroissement sur une arête, par l’adoption de nouvelles données, nous J n'avons fait autre chose que changer un décroissement sur un angle en un décroissement sur une arête d’une autre forme primitive , dont la substitution ne change rien au résultat, comme il a été dit (§. 95); cette forme substituée, dans le cas d’un décroissement sur l’angle d ou sur l’angle a (fig. 127 ) du coté de la face P, seroit composée, i.° du plan P, 2° d’un plan mené par l’arête ay’parallèlement au plan diagonal b d e g, et 3.° d’un plan mené par l’arête bg parallèlement au plan diagonal ackf. j

Théorie de la structure des cristaux. 109

D’après cela , dans ce qui nous reste encore à dire pour terminer cet aperçu des calculs cristallographiques, nous pourrons nous contenter de nous occuper de cette première valeur générale de re que nous venons de rappeler.

Nous terminerons ce qui concerne les décToissemens sur un angle , en faisant remarquer que , dans le cas d’un décroissement de ce genre , la hauteur d’une lame étant toujours supposée égale à une hauteur de molécule , la valeur trouvée pour n exprime un certain nombre de demi-diagonales de molécules soustraites, et non pas de diagonales entières. On peut se convaincre que cela doit être, en jetant les yeux sur le décroissement de molécules figuré sur l’angle b de la figure 122. Le décroissement se fait ici par une rangée, et on reconnoît, d’après la manière dont nous avons dit ci-dessus que le triangle mensurateur devoit être situé, que sa base doit être égale à une demi- diagonale de molécule.

§. 108. Nous ne devons pas oublier qu’en commençant à nous occuper (dans le §. 106) de la détermination de cette valeur générale du nombre n de rangées soustraites que nous venons d’obtenir en fonction des dimensions et angles de la forme primitive , nous avons supposé que ces dimensions et angles étoient rigoureusement connus à priori ; et comme nous avons fait voir qu’ils ne le sont que dans un très-petit nombre de cas (dans les formes primitives régulières) , il s’en suit que cette valeur de n n’est applicable directement qu’aux formes secondaires qui dérivent des formes primitives de ce genre. Voyons donc maintenant quels sont les résultats qu’on obtient de cette application , et ensuite nous examinerons quel usage nous pouvons faire de la valeur générale de n dans les autres cas.

Mais auparavant nous ferons , sur cette valeur générale de n , quelques observations tendantes à la rendre beaucoup plus simple.

Cette valeur, n = F (h9 m, i9 o, I, 6) , (voyez la fin du §• 106), considérée en général, se trouve dans chaque cas composée, d’après ce que nous venons de dire, de cinq quantités inconnues, savoir: deux dimensions ou côtés h et m, les deux angles i et o, et aussi l’angle «, puisque I est

une fonction des trois angles à la fois. Nous pourrions même encore regarder ô comme inconnu , sa valeur n’étant déduite que d’une mesure par le goniomètre.

Mais si , par le concours de plusieurs observations, on peut parvenir à déterminer la valeur d’une ou plusieurs de ces quantités inconnues , ou si, par quelque donnée particulière, on pouvoit réussir à établir un rapport entre une d’elles et une ou plusieurs des autres, on auroit une équation dont le résultat seroit d’obtenir la valeur de cette quantité en. fonction des autres; et, cette valeur étant substituée dans la valeur générale de n , celle-ci contiendroit une quantité inconnue de moins. Chaque donnée nouvelle , que l’on pourroit établir de même , élimineroit ainsi une des inconnues.

Or, c’est ce qui arrive dans l’application de cette formule générale à tous les cas. Dans les systèmes cristallins les plus composés, on trouve toujours à déterminer à priori , d’une manière plus ou moins figoureuse, trois conditions, desquelles il Résulte que les élémens de la forme primitive se réduisent à trois au lieu de six (trois côtés et trois angles), et que par conséquent les élémens inconnus de la valeur de n , dans chaque cas , se réduisent à deux au lieu de cinq.1

Ces conditions sont, tantôt des angles dont la mesure est de 90° ou de 6o°, et pour lesquels on est fondé à regarder cette mesure comme rigoureuse (ces angles ayant lieu, soit entre les arêtes, soit entre les plans de la forme primitive, soit entre des lignes ou plans menés dans certaines directions diagonales ou autres); tantôt l’égalité entre certains angles

1 Cetle conséquence, relativement à la valeur de n , n’est pas rigoureuse, mathématiquement, dans tous les cas. En effet, il peut arriver* que la condition qui a fourni une valeur à substituer à l’inconnue éliminée, ait introduit dans cette valeur, et par conséquent dans la fonction qui représente n, le troisième côté, qui n’en faisoit pas partie ; mais, comme dans ce cas, qui d’ailleurs est rare, on peut se servir d’abord, dans le calcul des dimensions, de la valeur approximative des angles fournis par le goniomètre, sauf à la modifier ensuite légèrement, suivant les valeurs relatives obtenues pour les dimensions d’après la méthode qui sera indiquée (§. 111), nous avons pu avancer que les inconnuesqui entrent dans chaque valeur de n se réduisent à deux.

Théorie de la structure des cristaux . 141

(soit les angles plans et dièdres des faces, soit d’autres formés par des lignes ou plans d’une position déterminée) ; tantôt, enfin, l’égalité entre deux des côtés ou des dimensions choisies, ou même entre les trois, lorsque cette égalité d’angles ou de lignes, étant confirmée par une identité symétrique des modifications, devient rigoureuse , etc.

Ce sont presque toujours les lignes trigonométriques i, o, u des trois angles qui se trouvent ainsi déterminées à priori. sinon isolément en partie du rayon , du moins en fonctions des dimensions1; par conséquent nous pouvons, dans la formule générale de n , ne plus conserver d’autres élémens inconnus que les deux dimensions ou côtés qui en font partie dans chaque cas. Cette valeur de n deviendra donc, dans le cas d’un décroissement sur l’arête a b (— p ), n — <p ( h, m,$ ); pour un décroissement sur l’arête ad (=m), n=q> ( h, p , 6'); et enfin, pour un décroissement sur l’arête af (= h) , n" = cp ( m,p , ô").

Citons quelques exemples. Une forme primitive en prisme rectangulaire droit a été jugée telle, d’abord par le goniomètre, qui aura donné sensiblement une mesure de qo° pour tous les angles plans et dièdres du solide primitif, et en outre, principalement, parce que les modifications (par exemple, les troncatures) qui ont lieu sur l’une ou l’autre des trois espèces d’arêtes, se rencontrent à la fois et avec la même position sur chacune des quatre arêtes de cette espèce; ce qui, d’après la symétrie, ne seroit pas, si les angles n’étoient pas rigoureusement égaux entre eux. Le sinus de chaque angle plan ou dièdre est donc égal au rayon, c’est-à-dire = 1 ; donc i, o ,u ne sont plus que des quantités numériques dans

1 Comme, par exemple, si un angle primitif, ou son supplément, ou sa moitié, peut être réputé égal à un angle secondaire formé par une face que sa position tend à faire regarder comme produite par la soustraction d’une rangée de molécules, etc.

Au reste , dans l’application du calcul on suit en général des méthodes beaucoup plus simples que ne seroit celle de la substitution d’une valeur d'angleen fonction des dimensions, comme nous l’indiquons ici; mais ces diverses méthodes particulières peuvent toujours rentrer dans la méthode générale dont nous parlons.

142 FREJflERE PARTIE : 7.® SECTION.

les trois valeurs générales den , et cette valeur n’est plus dam chaque cas qu’une fonction de deux dimensions inconnues.

Une forme primitive est regardée comme un prisme hexagonal régulier droit, lorsque tous ses angles dièdres latéraux ont été trouvés être sensiblement de 120° et les angles dièdrej de sa base de 90° , et que ces mesures ont été , comme ci-dessus , confirmées et reconnues rigoureuses par l’observation des modifications : par conséquent, la molécule soustractive qu’on doit substituer à cette forme primitive, sera un prisme droit obliquangle. En outre , si les clivages latéraux sont également faciles , et si les modifications sont identiques sur les six arêtes ou sur les six angles solides de la base du prisme hexagonal, la base de la molécule soustractive sera un rhombe : donc, des trois angles plans, deux sont droits (leur sinus = 1), et le troisième est de 6o°, dont le sinus est V\ ; les quantités i, 0, u ne sont donc plus que des valeurs numériques. De plus, les deux côtés de la base sont égaux : il ne reste donc que deux dimensions inconnues, et la valeur de n, dans les décroissemens sur les arêtes ou les angles de la base, contiendra deux inconnues, m et h ; mais, dans les décroissemens sur les arêtes latérales, elle ne contiendra plus que, m qui soit inconnu.

D’après ce qu’on vient de dire , et en se rappelant les développemens donnés sur le rhomboèdre (§. 43), on conçoit facilement comment on s’assure de l’existence de cette forme primitive dans un minéral. Ici les trois arêtes sont égales : on peut donc supposer chacune d’elles = 1. Les trois angles plans ne sont que de deux espèces, et même d’une seule, puisque l’un est supplément de l’autre : il n’y a donc d’inconnu, dans la valeur de n, qu’un seul angle.'

1 On sait cependant que M. Haüy a introduit deux quantités inconnues, g et p, dans ses calculs relatifs au rhomboèdre; ce sont les deux demi - diagonales du rhombe: il auroit pu prendre également l’axe ou une portion de l’axe, et la perpendiculaire menée d’un angle latéral sur l’axe, ou en général deux lignes différemment inclinées à l’axe. Cette méthode , qui rend le calcul plus facile, est au fond absolument la même que celle dans laquelle nous réduisons à une seule donnée les élémens du rhomboèdre. En effet, nous avons été conduits à supposer

Théorie de la structure des cristaux. 143

On remarquera sans doute que , pour faire mieux voir comment, dans chaque cas particulier, le nombre des élémens inconnus de la valeur de n se réduit à trois et même encore à moins , nous n’avons cité que des exemples assez simples ; mais il nousseroit impossible d’en indiquer de plus composés sans entrer dans des détails qui seroient ici beaucoup trop longs. Ceux qui désireroient connoître par des exemples quelles sont les conditions que l’on peut découvrir, dans les cas des formes primitives les moins régulières, pour réduire le nombre des inconnues dans la valeur générale de n, peuvent consulter, dans le Traité de minéralogie de M. Haüy, l’article des calculs relatifs aux feldspath (tome II, page 65 ), et aussi, dans la description du cuivre sulfaté (t. III, p. 58o) , l’indication des conditions qu’il a adoptées pour déterminer la forme primitive, etc.

§. 109. L’application de la valeur générale de n , trouvée dans les articles précédens , aux formes secondaires qui dérivent des formes primitives régulières, est , comme on doit le penser, extrêmement facile. Ici les valeurs relatives de toutes les dimensions, les mesures de tous les angles, sont rigoureusement déterminées, à priori, en quantités numériques. Ainsi la valeur générale de n( trouvée §. 106), n = F (h, m, i, o, I , ô), n’est plus qu’une fonction numérique de ô, c’est-à-dire, de la tangente de l’inclinaison de la face secondaire à la face primitive correspondante. De plus, pour connoître cette tangente, c’est-à-dire, pour mesurer l’angle rigoureusement, on a, dans presque tous les cas, des moyens nombreux de vérification , provenant d’abord de l’égalité entre toutes les dimensions primitives, et ensuite de ce que beaucoup de modifications ou de formes secondaires sont ici en rapport les unes avec les autres* 1. M. Haüy a donc pu ,

que le coté du rhomboèdre est égal à 1. C’est donc en parties de ce côté que nous devons évaluer la ligne trigonométrique qui représentera l’angle inconnu : nous ne faisons donc en cela autre chose que d’établir un rapport entre deux lignes du rhomboèdre ; ce qui rentre dans la méthode de M. Haüy.

1 Ces formes secondaires, les plus ordinaires, d’une forme primitive régulière , sont les autres formes régulières ; et on a vu comment elles

pour chaque espèce de face secondaire dérivant d’une forme primitive régulière , obtenir la valeur numérique du nombre n de rangées soustraites.

Cette valeur de n, dans tous les cas observés, a été constamment un nombre très-simple , comme 1, 2,3, ou 7, f, }etc.a, et l’on va voir que c’est cette marche simple de la nature qui a servi de base à M. Haüy pour appliquer ses calculs aux autres formes primitives dont les dimensions et angles ne sont pas entièrement connus à priori , tant pour trouver dans chaque forme secondaire la valeur de n , que pour déterminer les rapports entre les dimensions primitives.

§. il o. Les formes primitives rhomboèdres ne sont pas entièrement connues à priori; il y a toujours dans ces formes, comme on vient de le faire voir (§. 108) , un angle à déterminer : la valeur générale de n aura donc une inconnue que l’on ne pourra éliminer que par une mesure approximative prise avec le goniomètre.

Cependant le rhomboèdre est une forme tellement symétrique (v. §. 43)., et elle fournit, par les modifications résultantes de cette symétrie , des formes secondaires si variées et tellement dépendantes (au moins le plus souvent) les unes des autres, qu’on a , dans la mesure des angles de ces formes secondaires, des moyens multipliés pour vérifier la mesure de l’angle de la forme primitive , et pour l’obtenir avec une exactitude qui, si elle n’est pas entièrement rigoureuse géométriquement , peut au moins être admise comme telle.

Nous allons éclaircir cette idée par un exemple tiré de la chaux carbonatée , dont on sait que la forme primitive est un rhomboèdre.

Le prisme hexagonal régulier est une de ses formes secondaires, comme cela peut toujours avoir lieu dans un système cristallin rhomboédrique (v. §. 87): si, sur un de ces prismes (fig. 116) on opère la division mécanique ou le clivage

passoient les unes aux autres par une série de plans tangens successifs. (Voyez §. 85, et aussi une note au §. 87.)

1 Voyez le §. 102, où nous avons indiqué les décroissemens qui produisent divers cristaux secondaires sur une forme primitive cubique.

Théorie de la structure des cristaux, i4$

rhomboïdal propre à cette substance, ce clivage aura lieu sur les trois arêtes non adjacentes, ab, cd, ef, de la base supérieure, et parallèlement sur les arêtes b'c , d'e , fa! de la base inférieure ; les faces primitives mises à découvert seront m p q o, ojytn et n s r m vers la base supérieure, et leurs parallèles vers la base inférieure. Or , pour chacune de ces faoes (qui sont toutes identiques de position par rapport au prisme) , on peut mesurer les deux angles qu’elle forme , l’un avec la base, et l’autre avec la face latérale adjacente, ces deux angles (diminués chacun de 90°) devant être complémens l’un de l’autre ; et comme le goniomètre donne sensiblement la même mesure de i35° pour chacun de ces angles, il s’en suit que la face du rhomboèdre primitif est inclinée de 45° à l’axe. Cette valeur est donc déjà basée sur la mesure de douze angles reconnus égaux : mais, en outre, elle se trouve encore confirmée par les mesures des angles, i.° d’un autre rhomboèdre produit sur le rhomboèdre primitif par une troncature tangente (v. §. 66) de ses arêtes supérieures; 2.0 d’autres rhomboèdres liés successivement avec celui-ci d’une manière analogue (v. §. 87); 3.°, enfiii, de quelques autres formes secondaires dont les rapports géométriques avec la forme primitive peuvent être déterminés exactement. On peut donc regarder, au moins comme très-probable , que cette valeur de 4 5° est la véritable mesure de l’inclinaison d’une face à l’axe.

Dès -lors on conçoit qu’il est facile d’en déduire par le calcul les autres angles du rhomboèdre : son angle dièdre obtus entre deux faces sera de 104° 28' 40" son angle plan obtus au

1 Cet angle ayant été mesuré par M. Malus avec le cercle répétiteur par la méthode indiquée (§. 3o), et parM. Wollaston avec son goniomètre (voy. §. 3i), la mesure obtenue par Fun et l’autre moyen a été de io5° 5', c’est-à-dire, 36' 20" de plus que la mesure de M. Haiiy : d’où l’on déduit celle de 45° 23' pour l’inclinaison d’une face à l’axe. Ainsi, des deux angles mesurés ci-dessus et trouvés tous deux de i35°, l’un, cedui de la face primitive avec la base, est de i35°23f, et l’autre, celui de la même face avec la face adjacente du prisme, est de i34° 3)7*, Malgré cette mesure, dont on n’a pu encore contester l’exactitude, M. Haüy a pensé qu’il pouvoit conserver ses premiers résultats, comme étant des valeurs, sinon rigoureuses, du moins approximatives, et en outre parce

ÎO

sommet, de ioi° 62' i3". Or, d’après les données adoptées dans les articles précédens, ce dernier angle est celui dont la connoissance est nécessaire pour que la fonction qui représente n ne contienne plus de quantité inconnue.

Dans les autres substances qui ont un rhomboèdre pour forme primitive, on rencontre toujours quelques moyens de vérification analogues, qui conduisent à obtenir, pour l’angle fondamental, une valeur au moins très-approximative. On voit donc que les formes primitives de ce genre peuvent être aussi regardées comme entièrement connues à priori.

M. Haiiy, en appliquant ses calculs des décroissemens aux formes secondaires nombreuses qui dérivent de formes primitives rhoinboédriques , a obtenu encore constamment, pour n, comme dans le cas des systèmes cristallins réguliers, une valeur en nombres très-simples, entiers ou fractionnaires' , satisfaisant sensiblement à la mesure de l’angle secondaire 9, obtenue par le goniomètre; et il est même à remarquer que cette mesure mécanique est ici dans beaucoup de cas à peu près superflue, l'angle secondaire se trouvant souvent déterminé par avance, d’après des rapports symétriques que l’observation peut assigner d’une manière irrécusable entre les plans secondaires et les plans primitifs. Dans d’autres cas , assez rares , où ces moyens exacts de vérification manquent et où on est réduit au résultat du goniomètre, on arrive souvent d’abord à une valeur numérique de n plus compliquée; mais en lui substituant la valeur numérique simple, qui en est laplus rapprochée, et calculant ensuite l’angle qui doit lui correspondre , cette mesure d’angle calculée se trouve être trèspeu différente de celle à laquelle on s’étoit arrêté d’abord

qu’elles conduisent à des rapports beaucoup plus simples : en effet, d’après les bases qu’il a adoptées pour les calculs relatifs au rhomboèdre (voy. la note au §. 108), la diagonale horizontale est à la diagonale oblique comme \/3 est à y/2, D’ailleurs, la différence de mesure que nous venons de faire remarquer, devient beaucoup moindre dans les#formes secondaires.

1 Quoique un peu plus variés, mais sans qu’on y voie figurer, sinon très -rarement, soit dans les entiers, soit dans les fractions, un nombre au- delà de 6.

Théorie de la structure des cristaux. 147

d’après le goniomètre, et elle est toujours comprise dans les limites des erreurs de cet instrument.

• §. in. Toutes les autres formes primitives différentes des corps réguliers et du rhomboèdre, et qui par conséquent sont des parallélipipèdes ou peuvënt être ramenés à cette forme (v. §. 97), ne nous fournissent pas des moyens semblables de déterminer à priori les dimensions. A la vérité, dans la plupart des cas, plusieurs considérations relatives aux clivages et aux modifications (voy. §. 37 , 5°) nous portent à conclure qu’une dimension est plus grande qu’une autre; mais elles ne suffisent pas pour nous mettre en état d’assigner d«s rapports numériques exacts entre elles ; et puisque la vtneur générale de n , même sa valeur simplifiée (§. 108) d’après'des données symétriques que fournit dans chaque cas l’observation, contient toujours à la fois deux des dimensions, ces dimensions étant inconnues, il paroît d’abord impossible d’en obtenir la valeur de n.

Néanmoins M. Haüy est parvenu à cette détermination en suivant une méthode inverse. D’après les valeurs simples obtenues pour n dans tous les calculs relatifs aux casprécédens , il a pensé qu’il étoit permis de supposer que tous les cristaux secondaires dérivant déformés primitives non entièrement déterminées à priori proviennent aussi de décroissemens par un nombre simple de rangées de molécules , et il a imaginé de faire servir n , supposé connu , à calculer les rapports entre les dimensions primitives. En effet, cette présomption que n ne peut avoir qu’une valeur numérique simple étant admise^ on peut, dans chaque cas, lui substituer un nombre simple entier ou fractionnaire dans la fonction générale ci-dessus, qui le représente; et alors il sera possible d’obtenir, entre les deux dimensions primitives .qui y sont comprises, un rapport correspondant à cette valeur supposée. Mais, comme on peut à volonté supposer ainsi à n- un certain nombre de valeurs simples pour une face secondaire à déterminer, et de même pour chacune des autres , on auroit autant de rapports différens entre les dimensions : il faut donc, en essayant successivement plusieurs valeurs simples pour n, avoir des moyens de* distinguer , entre les rapports qui en résultent, quel est celui qu’on doit adopter.