CINQUIÈME SECTION

Lois symétriques qui existent dans la disposition des modifications des formes dominantes .

§. 70. Nous sommes loin de connoître encore ce qui se passe dans l’opération de la cristallisation; mais si, comme tous les physiciens le reconnoissent , elle dépend de la force d’attraction réciproque des particules similaires d’une même substance l’une sur l’autre , modifiée dans chaque cristallisation particulière de cette substance par des causes accidentelles , nous devons croire que ces causes accidentelles , quoique variables , doivent toujours produire des résultats qui soient en rapport avec celui que produiroient les seules forces d’attractions constantes des particules agissant isolément; ou, plutôt , que ces résultats doivent conserver des traces plus ou moins prononcées de l’action de ces forces. Le solide cristallin quelconque, que formeroient les particules d’un corps abandonnées à elles -mêmes et sans aucune influence étrangère, doit nécessairement imprimer, pour ainsi dire, son type à toutes les formes cristallines que le corps peut prendre dans différentes circonstances.

Mais, sans chercher à rien préjuger sur la détermination de ce solide cristallin, qu’on peut présumer être pour chaque espèce en particulier le type de toutes les formes qu’elle est susceptible d’affecter, il est naturel de penser qu’une forme dominante quelconque , supposée parfaite et sans aucune modification (troncature, biseau ou pointement) , peut être considérée comme le résultat matériel d’un certain système mécanique de forces; que, par conséquent, lorsqu’elle présente quelques modifications, comme, par exemple, des troncatures, ces modifications sont le résultat d’une autre force accidentelle, qui est venue joindre son action à celles des premières, sans pour cela les détruire. Dès-lors on doit s’attendre, qu’à moins de dérangemens extraordinaires, et conséquemment très-rares, cette force accidentelle aura dd agir également et d’une manière semblable sur les parties semblables du premier résultat, c’est-à-dire, sur les parties (arêtes, angles,

Symétrie des modifications. c)i

ou faces) de cette forme dominante qui sont semblables et semblablement placées; que, par conséquent, les faces, arêtes ou angles semblablement placés dans le système géométrique que l’on a reconnu dans cette forme dominante, seront modifiés tous à la fois et de la même manière ; et qu’au contraire les parties différemment placées ne seront pas modifiées toutes à la fois , ou que, si cela a lieu, elle le seront différemment.

Sans doute ce n’est ici, à la rigueur, qu’une conjecture; mais nous pensons que c’est au moins la plus vraisemblable qu’on puisse former.

Appliquons maintenant ce raisonnement aux différentes formes dominantes que nous avons décrites, et nous reconnoîtrons qu’en effet, comme nous venons de présumer que cela devoit être, les modifications que chacune d’elles subit y sont disposées suivant une ordonnance symétrique en rapport avec celle que nous avons fait remarquer dans la forme dominante elle -même. C’est au moins le résultat de toutes les observations les plus exactes faites jusqu’ici sur les cristaux. Il n’est , sans doute, pas impossible qu’on découvre des exceptions ; mais ces cas extraordinaires n’acquerront que plus de prix en signalant l’existence de conditions perturbatrices des lois symétriques générales.

§. 71. Examinons d’abord les trois formes dominantes qui sont des corps réguliers de la géométrie , savoir : le tétraèdre régulier (§. 35) , le cube (§. 37), et l 'octaèdre régulier (§. 4^).

La structure régulière de ces formes a été constatée , d’abord par la conformité sensible des mesures mécaniques de leurs angles avec ceux des solides que les géomètres désignent sous les mêmes noms, et en même temps par l’égalité de ces angles entre eux , et par l’identité de position de chaque face par rapport aux clivage's.

Si la conjecture qu’on vient d’établir à priori dans l’article précédent est vraie, nous ne devons trouver dans chacune des trois formes dominantes régulières que nous venons de rappeler, que des modifications qui aient lieu à la fois et d’une manière identique , soit sur tous les angles , soit sur toutes les arêtes , soit sur toutes les faces.

L’inspection seule des figures 67 à 71 pour le tétraèdre , des figures 72 à 75 pour Y octaèdre régulier > et des figures

77 à Si pour le cube , lesquelles représentent toutes des f cristaux existans 1 , et dont nous aurions pu multiplier Je j; nombre, suffit pour faire voir que , dans ces trois formes dominantes régulières , il y a toujours des modifications identiques sur les parties identiques de position. Ainsi se trouve réalisée la conjecture que nous avons établie à priori dans l’article précédent, et la forme régulière que nous avions reconnue dans ces cristaux est entièrement confirmée.

§. 72. Le dodécaèdre rhomboïdal régulier a, comme nous l’avons fait voir (§. 55), toutes ses arêtes semblablement placées et à égale distance d’un centre; ses angles solides sont de deux espèces , six quadruples et huit triples.

La figure 87 , qui appartient au grenat, et les figures 88 et ! 89, qui appartiennent au spinelle , comparées avec le dodécaèdre de la figure 38, font reconnoître, i.°, que touies les arêtes sont modifiées à la fois et semblablement (fig. 87); 2.0, qu’il en est de même des huit angles triples (fig. 88 ) i mais que la troncature de ceux-ci n’entraîne pas celle des six angles quadruples, lesquels, s’ils sont aussi modifiés, le sont différemment, comme on le voit dans la figure 89, où chacun d’eux porte un pointement à quatre faces.

La symétrie des modifications du dodécaèdre régulier est donc entièrement conforme avec la symétrie de sa structure.

Nous ne parlerons point ici du trapézoèdre , parce qu’on n’en connoît qu’une seule modification; mais elle est assujettie à la même symétrie.

Il n’est pas inutile de rappeler que, dans, tous ces exemples de modifications des quatres formes dominantes régulières, les troncatures qui ont lieu sont toujours tangentes (voyez §. 66, et aussi §. 85).

§. 73. Dans le rhomboèdre la même symétrie a encore lieu, et elle y est confirmée par un grand nombre d’exemples, ce genre de forme étant assez fréquent et présentant une grande variété de modifications.

1 Les tétraèdres appartiennent au cuivre gris ; la plupart des cubes

et des octaèdres appartiennent à la chaux fluatée et au plomb sulfuré J le cube (fig. 81 ) appartient à l’analcime, et l’octaèdre (fig. 74) au fer sulfuré. •

Symétrie des modifications . 93

D'après les propriétés géométriques de ce solide, telles qu’on les a exposées (§§. 4 2 et 43), on doit reconnoître que les modifications, pour être en rapport symétrique avec sa structure, doivent être semblables, soit sur les deux angles sommets , a et s (fig. 19 et 20) ; soit sur les six angles latéraux , m, i, e et n, r, o; soit sur les six arêtes supérieures } am , ai , ae , et sn , sr, so ; soit, enfin, sur les six arêtes inférieures ou latérales, 77ir, re , eo, oi , m et nm.

Les figures 28 et 90 à 98 , qui représentent des cristaux de chaux carbonatée (excepté la fig. 95 : fer oligiste), montrent des exemples où ces conditions sont remplies; et on remarque , en général , qu’elles le sont constamment dans tous les cristaux que l’observation des angles et des clivages porte à regarder comme des rhomboèdres.

§. 74. Parcourons maintenant tous les prismes quadrangu laires décrits (§. 36 à 41 ), à l’exception, cependant, du cube dont nous venons de nous occuper (§. 71) ; et examinons, dans chacun d’eux, la position relative de leurs différentes parties. Dans tous, les arêtes latérales sont dans une position différente de celle des arêtes terminales (celles de la base) ; mais tantôt toutes les arêtes latérales sont identiques de position, tantôt elles sont de deux espèces : il en est de même des arêtes de la base. Les angles solides peuvent aussi être, ou tous identiques de position, ou dans deux, positions différentes, et même davantage.1

Dans le prisme rectangulaire droit à hase carrée (fig. 11), les quatre arêtes latérales sont identiques de position; les quatre arêtes terminales le sont aussi entre elles, et de même les angles; et, en effet, les modifications sont assujetties à la même identité. On en trouve un exemple dans la figure 99, qui appartient à l’idocrase , où chacune des facettes d est également inclinée sur les deux faces latérales M qui lui sont adjacentes , tandis que chaque facette o est plus inclinée vers la base P que vers la face latérale M.

Dans le prisme rectangulaire droit à base oblongue (fig. 12),

1 Nous rappellerons qu’en annonçant que des arêtes ou des angles sont identiques ou différens de position , nous entendons qu’ils sont semblablement ou différemment situés par rapport à l’axe et aux clivages.

les arêtes latérales et les angles sont identiques ; les arêtes terminales ae, io, sont différentes de position des autres ai, eo. Le cristal de péridot ( fig. 100) est modifié d’une manière analogue, les trois troncatures d, le, n, sur les trois ordres d’arêtes , étant différemment inclinées sur les deux faces qui leur sont adjacentes.

Dans le prisme rhomboïdal droit à base isocèle ( fig. 1 3 ) , toutes les arêtes de la base sont identiques ; mais les deux arêtes latérales obtuses opposées er et in, et les angles solides qui les terminent, sont différens des arêtes latérales aigues am et os, et des angles solides correspondans. Le cristal (fig. 101), qui est une topaze, est modifié, suivant ces rapports symétriques.

Si l’on suppose que le prisme (fig. i3) ait subi une troneature sur l’arête er et son opposée, on aura le prisme hexagonal symétrique droit (fig. 67); la symétrie générale du solide restera la même, et par conséquent aussi celle des modifications , dont on voit un exemple dans la fig. 102, qui appartient au plomb carbonaté.

§. 7Ô. Le prisme quadr angulaire a base oblique reposant sur une arête (fig. 16) a d’abord ses arêtes latérales de deux espèces , comme dans la forme précédente; les angles solides a et o sont égaux : mais les angles solides i et e sont différens

des premiers, et entre eux; par suite, les arêtes ai, io, .

de la base, semblablement situées, diffèrent de position d’avec les arêtes ae et eo.

Il en résulte nécessairement que les modifications du sommet, pour être symétriques , doivent toujours être différentes sur deux moitiés du cristal, en le supposant partagé par un plan vertical passant par les deux arêtes am et os.

Nous pourrions faire des remarques analogues sur la structure du prisme hexagonal symétrique à base oblique , que nous pouvons supposer être représenté par la figure 37, et nous en tirerions des conjectures semblables; car ce prisme peut être considéré comme étant le prisme (fig. 16) tronqué sur deux arêtes opposées , er et in, ou a m et os , par des plans tangens .

Si le prisme rhomboïdal à base oblique reposant sur une arête (fig. 16) étoit tronqué à la fois sur ses quatre

Symétrie des modifications. 9 5

arêtes latérales par des plans tangens, et que les troncatures fissent disparoître entièrement les faces de ce prisme rhomboïdal , on auroit le prisme quadrangulaire à base oblique reposant sur une face (représenté fig. i5), auquel nous pourrions encore appliquer des raisonnemens analogues.

Les cristaux d’amphibole , et surtout ceux de pyroxène ,. nous fournissent des exemples nombreux où l’on voit toujours les modifications soumises à cette symétrie ; c’est-à-dire que celles qui ont lieu sur les diverses parties de la base sont ordonnées suivant ce partage du cristal en deux moitiés, que nous avons indiqué.

La figure io3 est un prisme ■ rhomboïdal oblique qui appartient à l’amphibole; la figure 104, un prisme hexagonal oblique qui appartient au pyroxène: de même la figure io5, qui peut être indifféremment ou un prisme rhomboïdal à base oblique P reposant sur une arête , si les faces latérales M sont plus larges que les faces r, ou, dans le cas contraire, un prisme rectangulaire à base oblique P reposant sur une face r. Les facettes du sommet supérieur , qui sont derrière le cristal , étant les mêmes que celles (1/ , u , fc , 1c et t) , qui sont en avant au sommet inférieur, on reconnoît évidemment la différence des modifications sur deux moitiés du cristal, supposé partagé par un plan vertical parallèle à r.

Le prisme quadrangulaire à base oblique non symétrique (§.59, fig. 14) a évidemment chacune des quatre arêtes et chacun des quatre angles solides de sa base dans une position différente. Les cristaux de sulfate de cuivre présentent , en effet, des modifications soumises à la mçme irrégularité.

§. 76. Nous avons décrit avec assez de dé&ails ( §§. 46 à 48) les divers octaèdres symétriques pour n’être pas obligé d’y revenir ici: les modifications que subissent ces solides, sont coordonnées suivant les mêmes rapports.

Dans V octaèdre symétrique à base carrée ( §. 46 , fig. 22 et 23 ), les arêtes supérieures et l’angle solide au sommet sont modifiés différemment que les arêtes et angles de la base. (Voyez l’octaèdre du schéelin calcaire, fig. 108.)

Dans Y octaèdre symétrique à triangles scalènes (§. 47? fig* 24 et 25 ), les modifications sur les angles solides ne sont semblables qu’aux deux extrémités d’un même axe. Les modifi-

gG

cations sur les arêtes ne doivent être semblables que sur celles qui composent une même coupe. (Voyez les figures 109 et 110, qui appartiennent au soufre.)

Dans Yoctaèdre symétrique à base rectangle ( §. 48, fig. 26), les quatre angles de la base sont modifiés ensemble et semblablement; mais deux arêtes opposées de la base doivent l’être indépendamment des deux autres. (Voyez la figure 111 , qui appartient au plomb sulfaté. )

§. 77. La disposition relative des différentes parties du prisme hexagonal régulier est trop facile à concevoir pour qu’il soit nécessaire de l’exposer. En général , toutes les arêtes de la base sont modifiées ensemble et semblablement; il en est de même de toutes les arêtes latérales et de tous les angles solides. ( Voy. les fig. 106 et 107 : chaux phosphatée.)

Cependant, il arrive quelquefois que les arêtes de la base ne sont pas modifiées toutes ensemble : ce cas a lieu dans la figure 56, où ce sont trois faces latérales non adjacentes qui supportent une face du pointement. Mais dans ce cas on reconnoît ordinairement que le solide a un clivage triple rhomboidal ; et, en effet , c’est le rhomboèdre qui imprime ici son caractère symétrique, et le prisme hexagonal régulier est un des solides dans lesquels le rhomboèdre peut être changé par des modifications symétriques, comme on le verra bientôt (§. 87 ).

Quant au prisme hexagonal symétrique ( §. 54 ) , ce que nous en avons dit ( §. 74), en le rapprochant du prisme rhomboidal, suffit pour faire concevoir quelle est la symétrie de ses modifications. *

§. 78. Ainsi q*ie nous l’avons dit plus haut ( §. 56 ) , le dodécaèdre rhomboïdal symétrique peut être regardé , suivant les rapports qui existent entre ses angles , tantôt comme un rhomboèdre tronqué fortement sur toutes ses arêtes inférieures, ou comme un prisme hexagonal terminé par un pointement à trois faces , placées sur trois arêtes latérales non adjacentes; tantôt comme un octaèdre symétrique à base carrée, tronqué fortement sur tous les angles de sa base, ou bien comme un prisme rectangulaire droit à base carrée , terminé par un pointement à quatre faces placées sur les arêtes latérales. Aussi, le petit nombre de modi-

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fications que l’on observe sur une forme dominante de ce genre, participent-elles toujours de la symétrie de l’un des solides auxquels on vient de la rapporter.

§. 79. Les détails géométriques que nous avons donnés ( §. 57 ) sur la structure du dodécaèdre pentagonal symétrique ( fig. 41 ), doivent faire concevoir la symétrie qui existe dans les> modifications de cette forme dominante; et la manière dont nous avons fait naître sur ce solide Yicosaèdre triangulaire ( §. 59)* fournit déjà un exemple remarquable de cette symétrie, puisque les huit angles solides formés de trois angles plans égaux sont tous tronqués à la fois et semblablement , et que leur troncature n’entraîne pas celle des douze autres angles solides.

La figure 82 fait encore voir que les trois arêtes ( ou bases ) ab , ik, g h ( fig. 41 ) , et leurs parallèles , sont tronquées ensemble et semblablement.

La même symétrie doit par conséquent exister dans les modifications de Yicosaèdre triangulaire (fig. 44), puisqu’il n’est qu’un dérivé du dodécaèdre pentagonal ; c’est ce que l’on reconnoît dans la figure 83, qui représente la même modification ou les mêmes facettes M que dans la figure 82. On voit aussi, dans la figure 84, chacun des huit triangles équilatéraux de l’icosaèdre remplacé par une pyramide triangulaire ff /, tandis que tous les douze triangles isocèles e sont restés intacts.

Si l’on .suppose que les facettes M (fig. 83) se trouvent réunies dans un même icosaèdre avec les facettes/ (fig. 84), et que ces différentes facettes se prolongent de manière à faire disparoître entièrement les triangles isocèles e, on aura un polyèdre (représenté fig. 85) qui a trente faces (24 f et 6 M), ce qui lui a fait donner le nom de triaconfaèdre. Les différentes modifications dont nous venons de parler, existent dans le fer sulfuré.

§. 80. Le dodécaèdre triangulaire isocèle ( §. 58, fig. 47) doit évidemment être modifié de la même manière sur toutes les arêtes de la base commune : alors , si c’est une troncature et qu’elle soit parallèle à l’axe , on conçoit qu’on aura un prisme hexagonal régulier. Cette forme dominante, qui d’ailleurs est rare, présente en effet des modifications analogues à celle

du prisme hexagonal régulier , duquel elle dérive par des modifications simples sur les arêtes de la base.

Cependant il arrive quelquefois que les modifications ne sont pas identiques , mais qu’elles correspondent à trois arêtes culminantes non adjacentes, comice on le voit dans la figure 112 (corindon), où le sommet est aussi tronqué. Ce cas est le même que celui que nous avons fait observer (§.77) dans le prisme hexagonal régulier, et il indique dans le cristal les caractères du rhomboèdre, dont, en effet, le dodécaèdre triangulaire isocèle et le prisme hexagonal régulier peuvent dériver par des modifications d’accord avec la symétrie de sa structure , ainsi qu’on le verra.

§.81. Ce même genre de modifications sur trois arêtes culminantes non adjacentes doit nécessairement avoir toujours lieu dans le dodécaèdre triangulaire scalène ( §. 58, fig. 48), comme on peut le conclure de ce que nous avons dit de sa structure. On verra aussi plus bas que cette forme dominante n’appartient qu’à des substances qui ont un système cristallin rhomboédrique. La figure 110 .représente le même cristal que la figure 48 , tronqué sur trois arêtes culminantes non adjacentes (les moins obtuses) , et tronqué aussi sur tous les angles de la jonction commune des deux pyramides.

§. 82. Nous avons parcouru toutes les formes dominantes des cristaux, et nous avons trouvé dans toutes la preuve du principe général que nous avons établi (§. 70), que leurs modifications sont toujours assujetties à une sjmétrie semblable à celle de leur structure .

Cependant il y a quelques anomalies.

i.° Dans les cristaux électriques par la chaleur , les modifications sont différentes aux deux sommets d’un même axe, ainsi qu’on le voit dans le cristal de tourmaline (fig. 65), et dans celui de magnésie boratée (fig. 86).

Dans le premier, la base supérieure du prisme hexagonal régulier s s s est terminée par un pointement triple 0,0,0, surmonté d’un second, P, P, P; tandis que sa base inférieure porte le pointement triple P, surmonté d’un autre pointement n, n, n.

Dans le second , on voit un cube dont, à la vérité, toutes les arêtes sont tronquées par les facettes d, d,..., comme

Symétrie des modifications • qg

dans la figure 78, mais dont il n’y a que la moitié des angles tronqués, savoir, un de deux qui sont opposés l’un à l’autre aux deux extrémités d’un même axe.

On remarque encore dans la figure 65 qu’il n’y a que trois arêtes latérales du prisme hexagonal qui soient tronquées par une face l. Ce sont ces faces l qui , en devenant quelquefois plus étendues (comme dans la figure 66) , donnent au prisme la forme triangulaire.

Mais, toutes ces anomalies étant essentiellement dépendantes de la propriété électrique , comme nous l’avons déjà dit ci-dessus ( §. 2), elles ne peuvent servir à infirmer la règle générale.

2.0 Dans quelques cristaux non électriques par la chaleur, on observe que des troncatures n’ont pas lieu à la fois sur toutes les arêtes ou tous les angles identiques de position* On remarque une anomalie de ce genre dans le quarz que M. Haiiy a appelé rhombifère ( fig. 6 de son Traité ). Nous jugeons inutile d’entrer ici dans les détails de sa description ; mais nous ferons remarquer que cette anomalie n’est nullement constante dans les espèces qui la présentent , et que jusqu’ici il ne paroît pas qu’elle y soit assujettie à aucune règle. Il y a en outre, presque toujours dans les mêmes espèces, des cristaux où toutes les facettes indiquées par la symétrie existent à la fois. Tout porte donc à présumer que cette anomalie est due à des circonstances accidentelles; et comme elle est d’ailleurs fort rare, on ne peut en former une objection contre le principe de l’accord entre la symétrie des modifications et celle delà structure des formes dominantes, lequel doit être regardé comme général , en raison du très-petit nombre des exceptions et de leur peu de constance.

§. 83. Néanmoins, dans l’observation des cristaux, au premier abord, on a souvent de la peine à reeonnoître cet accord de symétrie dont nous venons de parler ; mais cela provient presque toujours de ce qu’en déterminant la forme dominante on a commis quelque erreur , surtout en prononçant l’égalité rigoureuse de tels ou tels angles d’une valeur très-rapprochée , ou bien de ce qu’on a mal choisi entre les différentes formes dominantes auxquelles un cristal peut être rapporté: cela peut en effet arriver souvent lorsqu’on

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n’est pas encore très-exercé à observer les cristaux, surtout dans ceux où les faces qui doivent être considérées ensemble sont très-inégalement étendues. Il faut alors faire servir l’ob* servation de la symétrie des modifications à la recherche de la véritable forme dominante et de sa structure , laquelle , comme on l’a fait voir dans la troisième section , est toujours en rapport avec cette symétrie qui est la base la plus sûre pour la reconnoître. Ainsi, par exemple, lorsque des angles dièdres, que le goniomètre a fait reconnoître égaux, au moins sensiblement , correspondent à des modifications sensiblement égales, et surtout ayant lieu constamment ensemble, on peut être assuré rigoureusement de cette égalité première des angles mesurés.

Cette disposition symétrique générale des modifications des formes dominantes des cristaux, que nous venons d’exposer dans cette section, n’est autre chose que la loi de symétrie, découverte par M. Haüy, et dont il a fait une des bases principales de sa théorie. Il s’en suit que tous les résultats cristallographiques qu’il a publiés, et les nombreuses découvertes minéralogiques qui en ont été le fruit, sont dues à une observation exacte des différentes conditions particulières de cette loi de symétrie; ce qui suffit pour faire apprécier son imjiortance. Nous l’avons exposée ici, à la suite de la description des formes dominantes, pour réunir en même temps tout ce qui complète la connoissance de toutes les formes cristallines; et, en outre, il nous a semblé qu’il valoit mieux la présenter isolément , telle qu’elle résulte de l’observation pure et simple de la nature, abstraction faite de toule idée théorique.