ABC
tandis que celle des auteurs ci-dessus cités (sauf Airy)
ne renfermait pas le terme r^ qu'on doit retrouver dans
tous les cristaux qui possèdent le pouvoir rotatoire.
Donc l'hypothèse d'Airy
d = d'-^ do,
qui cpndiiisait à un terme en —, était exacte pour le quartz,
à condition de remplacer do par do.k^ k variant de i à o du centre à la périphérie.
Recherches expérimentales .
Nous avons jusqu'ici, en partant des propres formules de Mac Gullagh, rectifié les idées reçues et qui dataient des recherches d'Airy, c'est-à-dire de i83i, concernant l'orientation des ellipses de l'entrée, montré que ces ellipses, que nous avons nommées ellipses de Mac Cul" laghj restaient invariables de forme, sur la plage centrale et dans le voisinage de la périphérie, mais tangentes; que leur orientation variait dans une première zone avec l'épaisseur traversée. Nous avons, de plus, fait voir comment les formules de Mac Gullagh nous conduisaient à la véritable expression de la différence de marche.
Comme les expériences de Jamin furent, pour ainsi dire, les premières parues dans les Annales de Chimie et de Physique (3° série, t. XXX, p. 55; i85o) qui démontrèrent l'exactitude de la théorie d'Airy, cl que, d'un autre coté, cette théorie semblait expliquer suffisamment bien l'existence des courbes quadratiques et des spirales que l'on observe dans la lumière convergente, tout semblait concorder pour rendre inattaquable cette théorie d'Airy.
Mais, en étudiant plus à fond ce sujet, nous eûmes la conviction absolue qu'il était impossible d'admettre que la rotation du plan primitif de polarisation, qui avait lieu
suivant l'axe, cessât brusquement en dehors de l'axe et si près que l'on pouvait être de celui-ci.
Pour expliquer cette rotation, il nous avait suffi de supposer que les ellipses de l'entrée d'Airj étaient remplacées par les suivantes : •
Pi = — sinw^, pi = — - — siiku/,
J pq — \J pq
sachant que
p = sin* i -h k' cos"^ t, q = cos^ i -f- k- sin- /,
£* étant l'angle que fait le plan primitif de polarisation avec la normale à la section principale du cristal. Ces ellipses étaient tangentes à l'entrée a< = — œo. En supposant qu'après une épaisseur traversée i devînt t'= i — Ra, suivant le nouveau plan de polarisation on avait encore les relations(i)dans lesquelles tétait remplacé par *', c'est-à-dire toujours deux ellipses tangentes.
On voit donc que les relations (i), admises par nous a priori, nous permettaient d'expliquer la rotation du plan primitif de polarisation sous l'incidence oblique, ce qui était un point très important, étant donné que cette idée était en contradiction, comme on pouvait le croire, avec les expériences de Jamin, alors que nous l'avons déduite de ses propres recherches. Ayant donc établi ces relations (i), exactement comme Fresnel avait établi les siennes, et par suite aussi légitimement, il était bon, cependant, de montrer que les anciennes formules de Mac Cullagh, convenablement interprétées en ce qui concernait Torientation variable des axes, no\x^ conduisaient au même résultat quant à la rotation du plan primitif de po-
larisalion obliquement à l'axe. C'est ce que nous avons fait. Nous avons eu alors plus de liberté d'esprit pour examiner le travail de Jamin qui, depuis quarante-cinq ans, était toujours cité comme vérifiant sans conteste les recherches d'Airy. Dans son traité d'Optique qui date de 1891, M. Mascart [Optique, t. II, p. 297) écrit en parlant de la mesure des différences de marche de Jamin :
« L'accord du calcul avec l'observation est très satisfaisant, car les écarts sont indifféremment positifs et négatifs, et, à part quelques mesures isolées, Terreur relative moyenne est d'environ dto,02. » (La différence de marche étant de 0,120 suivant l'axe pour i™°* d'épaisseur.)
Mac Cullagh, comme nous l'avons rappelé, était loin d'être aussi satisfait des résultats expérimentaux d'Airy.
Nous avons cité ces lignes, non pas pour attaquer l'auteur d'un Ouvrage qui ne peut que s'en rapporter aux travaux de ses devanciers, surtout quand ils s'appelaient Airy et Jamin, mais pour bien montrer ce qu'il s'agissait pour nous de renverser.
Rappelons d'abord la manière dont Jamin avait établi ses équations expérimentales dans l'hypothèse de l'exactitude de la théorie d'Airy (c'est-à-dire en ne songeant même pas qu'il pût exister une rotation du plan primitif de polarisation avec ses deux ellipses de l'entrée, bien que le fait était classique pour les lames minces cristallisées).
Jamin s'est placé dans les cas particuliers où la lumière était polarisée dans le plan de la section principale ou dans un plan perpendiculaire, c'est-à-dire lorsque les deux ellipses d'Airy présentent les apparences suivantes {fig» i3 et i4) dans un cristal dextrogyre.
A priori, il serait impossible d'obtenir ces ellipses si elles ne pouvaient être considérées comme donnant une
ellipse résultante dont les éléments et Tonentation peuvent
être déterminés par les méthodes habituelles.
Si l'on admet tout d'abord que les ellipses à la sortie,
les seules que Von mesure, sont identiques aux ellipses
k d'Airy de l'entrée et que l'on pose pour celles-ci j\ = i ,
les formules des deux ellipses d'Airj pour i=z go^ que
nous avons données plus haut deviennent, dans un cristal dextrogyre,
1)1= -zsiniot, 7)2 = A: sintof ,
|j = COSO)^,
I2 = — coswf,
Si Ton pose encore T^k\ on a, à la sortie, 1x3 {d^) étant la différence de phase,
Tfji =z= A:'sin(tu^ -4- 2Gy<ii), 7)2 = A* sinto/,
avec l'équation de condition de Tentrée (vibration supposée verticale)
Ce sont les formules de Jamin dans lesquelles les ^ sont pris en sens contraire des nôtres.
L'ellipse résultante sera donc
Tfji^- r^2= k'sin [(i)t-\- 2m (di)] -h ksintùt |,+ ^2= cos[iùt -\-2m (di)] — coso)^
et représentée par la fig. i5 ci-contre.
Fig. i5.
Bsin((o^-i- cp'), A sin (o)^ -f- <p )
On trouve facilement
A* = [i — C0S2TÎJ (tfi)j2-f- sin2 2TJT (di) = 4 sin^w{di), B2 = A:'2 sin22Tïj (c?,) -f- [k h- k'cosim (di)Y={k -h k')^— ^kk'sin^m(di),
I — cosirn (di)
tangçp =
sili2TtT {di)
= langTîj (c^i),
aA'sillTJT (tfi) COSTJT (<ii)
, k'sin'im (di) ^^"^"^ ~ k-^k'cosimidO ~ (/r-hA-')-2A''sin2TîT(^i)
d'où l'on tire
tang(cp'— cp) =
2k's']nw(di) cosGj(6?i) — tnn^w{di)[k -h k' — 2k'sïn^m(di)]
k-hk'— ik' sin^w (di) -h 2k' sin^m {di)
= ;^-qjr7.tangTiT («?,) = 5,
A2 4 sin2nT(<:/i)
— AA-' = rî
En se plaçant dans le second cas expérimental de manière
à obtenir la seconde ellipse résultante (^^. 16), on trouverait pour celle-ci
ik^k'^sin^m(di)
A'2 (k -h k')^—/\kk'sm^w(di) d'où Ton voit que
L'expérience montrant que l'on a sensiblement rr':= i,
il en résulte que f^'=T et, par suite, que l'hypothèse d'Airy
qui avait admis cette relation entre ses deux ellipses était exacte. Il en résulte en outre que l'expérience donnant (9' — 9) et r, on n'a plus que deux inconnues entre deux équations d'où Ton tire d et k.
Expérimentalement, il suffisait d'interposer dans le trajet du faisceau qui a traversé la lame un compensateur dont les axes étaient exactement dirigés suivant les axes Ç^',y)Y)'. Une variation du micromètre égale à L donnant une différence de marche dans le compensateur égale à X, il en
résulte qu'un déplacement de la frange centrale — égal
à — mesurera une différence de marche éerale à — r- et, par 2 ° 2 L ' ^
suite, la différence de phase (9' — 9) sera égale et contraire
à 2cj^ T-* C'est ainsi que l'on obtient les valeurs succes- 2 L ^
sives de (ç' — ç). D'un autre côté, les deux vibrations 'iQ< + t)2> ?i + ?2 traversant le compensateur sans décomposition et, par suite, sans changer d'intensité, et leur différence de phase y étant réduite à zéro, elles reproduiront une vibration rectiligne dans un azimut dont la tangente
est — ou r qui sera expérimentalement mesuré parla con-
dition que la frange centrale prenne son maximum d'obscurité.
Les relations s et /*- qui donnent k et (rf|) permettent facilement de trouver ces valeurs. Ayant, en effet,
on lire
/^,^ tangTg(c^i)-5 ^2^,= .^ !
tangïïT (di) H- s sin^Tu (di) — ^^cos^nr (di)
et
tang2TîT(^/,)= 5«
qui donne
tangTîj (ai) -f- S = — ^^ > tang7îj(ai) — * = A"
d'où facilement (Jamin, Mémoire, p. 63) les valeurs de (di) et A*, savoir
tang^TîT (di) = s^-h —^, j^-k = ± -F==='
Arrivons de suite à la critique de ces formules. On voit que 2cy (d^) représente la phase totale des deux rayons elliptiques ayant traversé l'épaisseur totale e. Si bien que d représentant le coefficient de la différence de marche pour l'unité d'épaisseur, on a, dans la théorie de Jamin-Airy,
(di) = d.e.
Par suite, la première formule de Jamin devient
lang((p — cp) = -j-^j^-^ tangcT d.e.
Reportons-nous aux relations fondamentales établies précédemment. Pour k'=k^i^ on a, en désignant par do la valeur de d suivant l'axe,
-^ ^ = -r-4 Ç—^ z = ±: tangiîT doC = tang Ri.
^ti'+'''ïi s\n{tj) t -h irn do e)-\- sinuit
Or, pour que le mouvement vibratoire soit rectiligne, il faut que dans
A sin(a)< -4- cp) B sin(w^ -+• cp')
qui représente le rapport ci-dessus, ç'^ o, d'où ç' — <p = o.
Ainsi, il n^ existe aucune relation entre (9' — ç) donné par le compensateur et xsdoe^ quelle que soit V épaisseur traversée, parce que (y)4 + r^^) et (Çi -h Ç2) ont pour résultante une vibration polarisée rectilignement.
Et de même, si pendant des épaisseurs traversées et proportionnelles à Ra, les mouvements vibratoires elliptiques ont pour résultante une vibration rectiligne, pendant ces épaisseurs, il est nécessaire que (<p' — 9) soit nul.
// ne saurait exister de relation entre (ç' — 9) et xs de' ^ si pendant ces épaisseurs e' les mouvements vibratoires ont eu pour résultante une vibration rectiligne.
Prenons le cas des lames minces cristallisées; on a, comme on le savait d'après les Ouvrages classiques, et nous l'avons rappelé,
relation qui nous montre que, pendant des épaisseurs
Ri xk
ak I -h A'2 '
les mouvements vibratoires elliptiques ont pour résultante une vibration rectiligne du centre à la périphérie {fig* 17).
Fig. 17.
Donc nous voyons déjà que la relation fondamentale de Jamin est fausse pour les lames minces , puisqu'elle établit une relation entre (©' — ç) et zs de, et qu'il ne peut exister pour les lames minces, d'après les propres formules des auteurs, de relation qu'entre (9' — 9) et Tsd{e — e').
De plus, avec les lames épaisses, il est facile de voir que cette relation est aussi fausse, en général. En effet, suivant Vaxe, nous venons de voir que Ton a toujours (?' — 9) = o. L'expérience le vérifie. Or, immédiatement en dehors de l'axe, k <C i, on peut toujours prendre des
épaisseurs e telles que cTc/e = (2N + i) — j de sorte que
l'on aurait, si cette relation était exacte.
suivant Vaxe^ immédiatement en dehors de Vaxe,
(cp' — cp) = o,
TÎT
(cp' — cp) = (2N-t-i)-,
relations inadmissibles au point de vue du principe de la continuité, N pouvant être un grand nombre.
Ce que nous avons donc démontré exister pour les lames minces, avec les propres formules des auteurs, se retrouve encore pour les lames épaisses, comme nous l'avons déduit des formules de Mac Cullagh. Les mouvements vibratoires jusqu'à des épaisseurs variables, fonctions de l'inclinaison, sont superposables et ont pour résultantes des vibrations rectilignes. Il suffisait de songera cela pour être assuré qu'il ne pouvait pas exister de relation entre (?' — ?) et CT (rf< ), (rf< ) correspondant à V épaisseur totale traversée e. Par suite, a priori, les formules de Jamin étaient fausses. Nous allons arriver à des relations entre (?'i — çi ) et CT rf< , rf| répondant à des épaisseurs e[ pendant lesquelles les mouvements vibratoires ont cessé d'être superposables.
Et nous aurons, entre les phases de Jamin et les nôtres, la relation
2Tn(û?i) = iTsdi -+- 2R/,,
de sorte que, dans des cas très particuliers, on pourra avoir tangcy (rf<) == tangcr rf<, et nous retrouverons les formules de Jamin pour certaines épaisseurs de quartz.
Mais il est facile de se rendre compte qu'elles ne sont nullement générales.
Voyons d'abord ce que l'on tire des relations de Jamin
tangîTïT (Ji) = 52 -h ^-^, k = d- (k± y/i -H A^î
pi
sachant que
. rs ■ / ^ X , (i-H/i:2)2 B2
s = iang(cp'— cp) = -— ^^ langT^ {dy ).
D'après les deux premières formules, s et li permettent de déterminer (rf|) et k.
Voici maintenant les exceptions. Dans la dernière relation, (d^) est fonction de (o — ©) et k. Mais (d^) peut être déterminé sans connaître k pour toutes les valeurs
de (9' — (p) multiples de — ou ct. De sorte que, pour toutes
ces valeurs, (d^) est calculé à l'aide de -9 d'où
we C'est ainsi que Jamin, dans son Tableau I (Mémoire, p. 66) a obtenu des nombres qu'il donne comme observés* Voici ces nombres :
[ncidencc.
d observé.
k observé
On peut se demander pourquoi Jamin observait ces différentes incidences des rayons, puisque, divisant par e
et non par > elles ne lui servaient de rien dans le calcul
* cosr
des différences de marche.
En fait, les nombres dits observés ont été calculés. Nous expliquerons pourquoi ils s'écartent peu de la réalité quand nous traiterons de la méthode des anneaux.
En ce qui concerne le rapport des axes, on voit que pour les valeurs de 9' — ç, multiples de u, les formules ne donnent plus ce rapport.
Or, quand on opérera avec des épaisseurs de quartz suffisamment grandes pour lesquelles les anneaux sont de
plus en plus serrés, on tombera nécessairement, pour les différentes incidences prises au hasard pour (cp' — ç), sur
des multiples de tj et de — ? d'où cette conclusion que, pour
la moitié des observations, on aurait le rapport des axes, et que, pour l'autre moitié, ce rapport resterait inconnu, c'est ce que l'on voit dans le Tableau précédent.
Cependant, le rapport des axes k dans la théorie de Mac CuUagh est déterminé pour toutes les incidences^ ainsi que nous l'avons vu.
Quant à la différence de marche que nous avons déduite des formules de Mac CuUagh, savoir
elle est pour toutes les incidences fonction de Ar, comme cela devait être.
Jamin, pour se confirmer dans l'idée de l'exactitude de ses formules, écrivait (p. 68 de son Mémoire):
« La relation par laquelle j'ai calculé k était
celle à laquelle arrive M. Cauchy est identique,
k = ±{h±s/Tnr^),
h étant fourni par la relation
P h = jj- tang^/-. »
cto
Jamin, dans sa comparaison, n'oublie qu'une chose : c'est que, dans la formule de Cauchy aussi bien que pour
la valeur de h que nous avons donnée précédemment,
savoir
i6nj2c2
- (^>2 — a2)sin*e,
h ne devient jamais indéterminé quelle que soit Vincidence. Au contraire, celle de Jamin, savoir
rs
prend périodiquement des valeurs - pour ç' — © = Nci,
c'est-à-dire pour la moitié des incidences quand les quartz sont très épais. L' a identité » n'était qu'apparente.
Et les formules de ce savant, en tant que formules généralesy sont absolument fausses, comme tout le montre jusqu'ici et ainsi que nous allons le voir encore.
L'erreur commise dans l'établissement de ces formules, non imputable à Jamin, mais à la théorie d'Airy, était la suivante :
Les formules de Mac Cullagh nous ont montré que l'orientation de ses deux ellipses de l'entrée avait changé
Fig. 18.
avec l'épaisseur traversée dans une yiremière zone. Aussi, au moment où l'on se trouvait à la limite inférieure de cette zone, le plan primitif de polarisation avait tourné d'un angle égal klik (Jig.iH). Par suite, si l'on substituait, pour
simplifier, aux deux ellipses finales de Mac CuUagh leur dernier mouvement vibratoire rectiligne dans un azimutR;^, c'était à ce moment seulement que l'on pouvait avec Airy, et dans sa théorie de la biréfringence du quartz, substituer à ce mouvement vibratoire
sin
hit ■ ) = sincDi ,
deux ellipses en croix, orientées par la section principale. Nous verrons qu'il y a, en réalité, quatre ellipses, deux principales parcourues en sens contraire et deux supplémentaires aussi parcourues %en sens contraire. Elles sont toujours deux à deux superposées, une principale et une supplémentaire. Chacune est orientée par la section principale du cristal. Dans le voisinage de l'axe et sur la partie médiane, une ellipse et sa supplémentaire sont en croix, parcourues en sens contraire et ont même vitesse. Elles sont donc superposées, A la périphérie, une ellipse et sa supplémentaire ayant même orientation, parcourues dans le même sens, sont superposées et ont même vitesse(y?^. 19).
Fig. 19.
Dans le voisinage de Vaxe, les rayons supplémentaires ont des intensités très faibles et, par suite, négligeables pour une première approximation ; donc les choses se passent comme si Ton était en présence des seules ellipses principales. A la périphérie, l'ellipse principale et sa supplémentaire superposées sont parcourues dans le même sens, elles correspondent à une seule ellipse.
Si, pour faire toucher, dès maintenant, du doigt l'erreur
commise dans la propre théorie d'Airy en ne tenant pas compte de la rotation du plan primitif de polarisation dans la lumière convergente, nous examinons ce qui se passe dans \e voisinage de Vaxe et de hi périphérie seulement, nous pourrons réduire les mouvements vibratoires aux deux ellipses d'Airy à Ventrée de la seconde zone et écrire
iY)i = m sin(a>^'H- {jl), 7)i = /i sin (w^'-i- v), ^1= nA:cos((i)i'+ (x), \\ = — 7:C0s(cD<'-f- v). K
Ces relations, à Ventrée de la seconde zone, doivent redonner le mouvement vibratoire suivant nJn! faisant un angle R^ avec le mouvement vibratoire incident : savoir
, ^ ( (^+ri)sinRA:— (TiiH-7);)cosR;t= sinto^,
qui reviennent à
( ^1-1-^1 = — cos F t sin o) f',
(3) > il il
( ^, + JJ= sinR sinw^'.
Il suffit, dans toutes ces formules de remplacer R>t par /f, t' par t pour avoir les équations de condition d'Airy, que nous représenterons par (i 6w), (2 bis) et (3 bis).
Ces dernières relations (3) nous montrent que, dans la seconde zone, le mouvement vibratoire rectlligne sinw^', qui existe à Ventrée de celle-ci dans Tazimut R^t, est tout d'abord remplacé par deux mouvements vibratoires rec^ tilignes (2) polarisés, l'un suivant la section principale, l'autre perpendiculairement à celle-ci comme dans la double réfraction.
L'erreur de la théorie d'Airy pour le quartz a été de faire ces décompositions et substitutions dès Ventrée. Nous voyons qu'elles se produisent seulement, d'après les
propres équations de Mac Cullagh, quand le phénomène de la rotation du plan primitif de polarisation est épuisé.
Airy, sans y faire attention, avait admis, comme nous le prouvent les relations (3 bis) déduites de (2 bis)^ que la double réfraction homoédrique habituelle était le phénomène primordial produit et que secondairement à celles-ci on substituait les relations (i bis).
Nous avons admis, au contraire, que dès l'entrée nous avions, au lieu des relations (3 bis)^ les relations identiques à celles de Fr es ne l dams lesquelles on a toujours Ç + Ç'=o,
qui nous prouvent que les deux ellipses de Ventrée étaient toujours tangentes, Ç= — Ç', quels que fussent k et i, tandis que dans les relations (i bis) d'Airy, les ellipses n^ étaient tangentes qu' exceptionnellement {i = o^^ Qo**)»
Or, nos relations de l'entrée, nous avons montré qu'elles se déduisaient précisément des formules de Mac Cullagh quand on avait soin de rectifier, en se basant sur des questions d'identité suivant l'axe principal, l'erreur commise pour l'orientation des axes des coordonnées dans la première zone que l'on supposait déterminée par la section principale du cristal, alors qu'elle l'était à chaque instant par le plan de polarisation, conformément à la théorie de Fresnel.
La conséquence de l'hypothèse inexacte d'Airy a été de conduire Jamin à une formule expérimentale absolument incorrecte pour les différences de marche des rayons elliptiques; nous le verrons plus loin.
Cherchons maintenant à en rétablir l'exactitude.
Les relations (2), devant être salisfaîles quel que soit le
temps, nous donneront
/ — sinv — mk sinjx j sinR^t — ('w cosjx -h n cosv) cosR;^ = i,
I mX:cos(JL — -j- cqsv j sinRyt — (m sin (x-f- n sinv) cosRjt = o,
( mÂrcosjjL — -r cosv j cosR)t-f- (m sin (jl -h n sinv) cosR^ = o,
I J sinv — mk sin{jL j cosR^-h (m cos(jl-i- n cosv)sinR^ = o,
-T sinv — mk sin {x = sin R;t>
m.k cos (JL — 2" cosv = o,
m sin fjL -f- ^i sinv = o,
m cosjjL -h n cosv = — cosR^-;
on en déduit
/nsin[jL= r- sinR;t> /i cosv = yrrCOsRA-;
/ncosuL = 7-cosRa, nsinv= r-sinRz..
Par conséquent, les équations des deux ellipses d'Airy à l'entrée de la seconde zone, à partir de laquelle elles seraient invariables de forme et d'orientation, puisque R^t à ce moment est devenu constant, auraient été, en tenant compte de la rotation du plan primitif de polarisation,
7Î1 = 7^(cosR;t sinwf' -h k sinR^ coscd^'),
k {i = jr ( COS R;t cos w f' — A' sin R^- sin o) i') ;
k r/i = H ^— 7- (sinRx: coswi' — k cosR^r sino)^'),
l'i = H 7-(sinRA sinto/' + A' cosR^t coswf').
Le sens dans lequel les deux ellipses sont parcourues est indépendant de la grandeur de Ra, ce qu'il est facile de vérifier.
En effet, si l'on se place dans le voisinage de la péri-
phérie (yî^. 20), on sait que R>t = o, y d'où
coswf ; sin b)^, coswf.
On retrouve les deux ellipses d'Airy, mais à la périphérie, lorsque le rayon incident est polarisé parallèlement à la section principale.
Si, maintenant, la lumière est polarisée dans un plan perpendiculaire à la section principale, il est inutile de recommencer des calculs, comme on est toujours obligé de le faire dans la théorie d'Airy.
En effet, puisqu'il y a rotation du plan primitif de polarisation du centre à la périphérie, supposer que la lumière est polarisée à 90® de la première position revient à augmenter l'épaisseur du quartz de manière à passer d'un
mouvement vibratoire initial vertical à un mouvement
vibratoire horizontal, par suite à augmenter R^t de —
Donc, alors que précédemment on devait à la périphérie faire R>t = o pour retomber sur les formules d'Airy, on doit maintenant, quand la lumière est polarisée dans un
Fig. 21.
plan perpendiculaire à la section principale {^fig* 21),
faire R>t = — » d'où
îi = +
coswf,
i-hA:2
sino)^;
Si= +
COSO)^,
sino)^.
Ce sont les formules d'Airy qui sont identiques aux nôtres, mais à la périphérie seulement.
Nos formules deviendront à la sortie du cristal, en désignant par ixsd^ la différence de phase des deux rayons elliptiques principaux dans la seconde zone, pour une épaisseur e\ ,
^ii =
7^ [cosR^t sin(a)i'-l- 11s d{) -f- A' sinR>t cos(a)i'
[cosRa cos(a)i'-j- iisds)— A: sinRjt sin((i)^' (sinRA-cosa)^' — A cos Résinai i'),
2TiJÛ?i)],
y--(sinR;tsino)<'-H k cosR^t coscd^').
Les vibrations du rayon émergent à la sortie seront donc
7-4-0 r,i -\-r^\ = B sin(to^-f- 'j^\) = B sin(to^'H- -i— H cp'i ),
J, -4- J'j = A sin((iO^ -h cpi) = A sin(a>^'-f- •* h cpi),
t étant le temps compté au moment de l'entrée du rayon incident dans le cristal, et par suite <pj, (f^ correspondant
à l'épaisseur totale traversée. Si l'on pose ç'j + = ?',„)
çi -h î = (fnt-, et que l'on égale les coefficients de
sintùt'j cos(ùt\ on aura
(A:* cosR;t-i- cosRa- cos2TïJâ?i — A:sinR^sin2Tnc?i) = (h-â:*) B coscp', (k sinRyt — cosRxrsinaTïJû?! — X:sinR^cos2Tnû^i) = (i-hÂ:') B sin«p';„, (A: cosRa — X: cosRk <^0S2ts di -{- k^ sin^j^sin 2w di) = {i -h k^) AsîtK^m) (sinR;t+ A:cosRArsin2TïJc?i H- A:* sinR>t cos2tïjc?i) = (h-A:*) Acoscp/n.
mi
Comme on a
nous allons tirer les valeurs de tangcp'^, l3Xïg(fm, qtii renferment i indéterminé, mais nous déduirons faci-
lement tang((p'^ — ç/ii) qui fait disparaître cette expression. On obtient ainsi
A:cosRa-(i — cos2Tïy d\)-\- k^ sin B^- sinarn^rf, bT'»— ^cosR^ sin Jim di-\- sin H>t(i -i- ^^ iiosirs d^Y
, cosR>i sin'iTnû?! — A'sinRA(i — co^its dx) ^ * '^ ~~ cos Ka-( A:'- -h cos 2 ct cfi ) — A* si n K/^. sin 2 m ^/i
On retrouve les valeurs de tangç, tang(p'de Jamin (Mémoire, p. 58), mais à la périphérie où xs {d^)=^xsd^^
(p' — ? == ?i — ?« j ^^ faisant Ra= o. Il est facile d'obtenir la valeur de tang(<pj — çi), on arrive rapidement à
(i — A2) (i -f-/:2) sin'2RA-f-- cos 2^ktang m dt \ iSLUgxsdi
f + -[î* (cos' Ra — /■* sinîRA) — (i — A:*)] tangm di
qui se ramène à
(i — A^)\ (i -hA2) sin.AR;tH — cosaR^t^s^ngisyc?! 1
(M) tanff(co; — c&i)= ■—— -!=— —j—. '■ =j
\ H- ^ [ '>. ( cos2 Ra- — A-^ sinî Ra) — ( i — A:»)]
Voyons maintenant l'expression de -r-j-
On arrive facilement, après un certain nombre de simplifications, à
(l -h A2)2 Rî = (l — A2)2 C()S2 Ra+ 4 A2 cos2(Ra.— tïj dx)
— A(i -h A)2 sinaR^ sinaro û?i, qui revient à
(i -f- A2 )2 B2 = (,}. A2 )2 (;os2 Ra— 4 A2[cos2RA.— cos2(RA — roâ?i)]
— A(i -+- A)2 siniKji'Sin2X8 df.
Pour Ra= o, condition de Jamin, il vient
(I 4 /•2)2B2 = (, 4 A-2)2 4 A:2 sinÎTÏT <fi.
C'est précisément l'expression donnée par Jamin (p. 58 de son Mémoire) quand on ne tient pas compte du pouvoir rotatoire ou que l'on suppose Ra négligeable. Mais l'expression de Jamin n'est identique à celle ci-dessus que si n (di) = CI â?i, o' — ? = ?î — ?m relations qui n'ont lieu qu'à la périphérie avec les quartz de faible épaisseur.
11 faut en outre se rappeler que, dans les formules de
k Jamin, on avait pris pour simplifier 7^ = 1 . On trouverait de même directement
(iH- A:«)«A«= (i— A:2)2 sin2RA--f- 4A:2 sin2(RA— TUé/i)
-h k{\-\-kY sinaR^ sin2Tïj dy
qui donne avec la première
(i-hÂ:2)2(A2-hB2) = (i— A-2)2-h4A:2,
comme on le savait a priori, l'intensité initiale ayant été prise égale à i .
Pour R)t=: o, on retrouvera encore la valeur de Jamin pour A^ (Mémoire, p. 58), mais toujours à condition de supposer ^(rfi) = u rf|, ce qui n'a lieu, du reste, qu'à la périphérie avec les lames minces ou avec les cristaux épais quand R>t est négligeable par rapport à tj rf, .
On aura donc
^^ A2 ~ A2 ~ ((1 — /2)2sin2R;,.-f-4>t2sin2(^K^CT^j)
\ -h A:(i -4- A-2)2 sin2Ryr. sin-inr dy
Il va nous être maintenant facile de bien juger les relations de Jamin (Mémoire, p. 09), savoir
taiig('f — ?) = Y^rj^i ^^"^^ (^») = ^'
Le fait que l'on doit d'abord constater dans ces forroules, est que rien ne rappelle la qualité de la lumière employée. Qu'elle soit blanche ou monochromatique, les
formules soiil identiques. Il n'en est pas de même avec nos relations (M) et (N) fonctions de R^.
C'est ce que nous allons montrer. A la méthode du compensateur on peut substituer celle des anneaux, qui permet, d'après les auteurs, de déterminer les différences de marche totales sans connaître le rapport des axes des ellipses. Ayant avec les formules précédentes de Jarain
A*= 4 sin*Tïj(é/i),
* <( A prendra des valeurs minima ou maxima, et cela
aura lieu toutes les fois que sintj {d^ ) deviendra égal à o
ou à i; les anneaux correspondront ainsi aux valeurs
de CT(t/|),
O, — , — y — , ... obscurs,
is 3nj 57ÎT '1 '1 1
brillants,
ou aux valeurs de 2'cT(rfi)
o, 9.TÏT, 4^> ^>^> ••• obscurs, TiT, Stït, Gtït, ... brillants.
On pourra donc, sans le secours du compensateur, déterminer ces incidences pour lesquelles 2CT(rf<) aura une valeur connue. » (Jamin, Mémoire, p. 70).
En divisant ces coefficients par ixise on a les valeurs de d ou coefficients des différences de marche. Celles-ci, pour une lumière d'une longueur d'onde Xy, seront donc égales à
et, avec les différentes couleurs simples, on aura pour les diverses différences de marche
CltAfj rf.A/, (jL,Kç,
C'est la théorie ordinaire des franges d'interférence.
Ainsi, les coefficients d seront rigoureusement les mêmes, quelle que soit la nature de la lumière employée* Comme les valeurs de u(rf«) que l'on obtient ainsi sont rigoureusement les mêmes que celles que l'on tire du compensateur et des formules ci-dessus de Jamin, il en résulte bien que dans ces formules, où n'entrent que des coefficients A", (rf|), rien ne rappelle la nature de la lumière employée obliquement à Taxe, alors que, suivant l'axe, la difierence de marche est essentiellement variable dans des proportions considérables avec la lumière monochromatique et obliquement à Taxe d'après nos formules.
Du reste, voici un Tableau dressé avec les nombres de Jamin, obtenus par la méthode du compensateur (lumière jaune) et des anneaux (lumière indigo et verte), qui nous prouve bien que dans les deux méthodes les coefficients d des différences de marche sont indépendants de la nature de la lumière et, par suite, que les différences de marche de l'unité d'épaisseur s'expriment par la valeur de
Voici les nombres de Jamin (Tableaux I et II, p. 66 et 7 1 de son Mémoire) pour e = i™°* :
COEFFICIENTS d DB LA DIFFÉRBNCB DB MABCHB :
Incidence.
Lumière Jaune.
Lumière indigo.
Lumière verte
— go —
COEFKICIKNTS
d DE LA DIFFÉRBXCB
Lumière indigo.
