MARCHE DES RAYONS DANS UN PRISME
L'étude des vitesses des quatre rayons elliptiques quand la lumière incidente est polarisée rectilignement va nous permettre de nous rendre compte des phénomènes observés dans les deux expériences fondamentales rappelées précédemment.
Reportons-nous d'abord aux expériences de Jamin sur les différences de marche observées par lui dans la lumière jaune.
Nous avons eu :
Incidence. Différence de marche. Incidence. Différence de marche.
Suivant l'axe, les vitesses des deux rayons étant ^0(1 4- 5) et (^0(1 — 0), on voit que 2Vo^ représente pour i'"'" la valeur o, 1 17.
Et comme jusqu'à 8^26' la différence de marche ne varie que de o, 1 17 à o, 188, on voit, eu admettant comme Airy que la valeur o, ii-^ restât constante, que c'est surtout à un terme analogue à 2PoO qu'est due la séparation des rayons à la sortie, et non à la différence (t'o — ^v) qui reste très petite dans le voisinage de l'axe.
Au contraire, à la périphérie la différence de marche atteint des valeurs telles que le terme analogue à 2(^08, en admettant sa constance, devient très petit par rapport
Ces résultats vont nous permettre d'expliquer comment il se fait qu'avec un prisme on ne peut jamais séparer que deux groupes de rayons, chaque groupe étant formé de rayons superposés.
Nous avons vu que le rayon elliptique A, arrivé à la limite de la zone de polarisation rotatoire, se dédoublait en deux rayons elliptiques de sens rotatoire inverse dont les ellipses étaient en croix, et dont les phases devenaient cp -h o et ç -f- £.
Si l'on désigne par cf{k) l'épaisseur traversée par le rayon droit avec la vitesse ^©(i + ^k) et la phase S dans la première zone et e\\ — /(^)] l'épaisseur traversée avec la vitesse {^o ou Çg et les phases o ou s dans la deuxième partie du cristal, on aura
ef{k) ^ e[i-f
\ - ef{k) e[i-f(k)]
Le rayon elliptique B, de vitesse Çe{i — S'^)? s'est de même dédoublé en deux rayons elliptiques de sens rotatoire inverse, de phases y -^ o^ Y "+" ^î
(l— 0^-) Va
efik) , e[i-f{k)\
Pe(l — 8a-)
f{k) devant avoir les valeurs suivantes au centre et à la périphérie
f{k) = \ pour k = i,
y(A")=o pour A: = o.
Considérons d'abord les deux rayons principaux ^ de Q. i5
phase -{- o el "S)^ de phase y + £. On aura, pour la différence de phase entre ces rayoos,
V'(>t^tf(l-T- 0/,— O/J ^ S^o^'
On voit que ces rayons ne sont jamais superposés à la sortie, car sur la plage centrale, si le second terme est trop petit pour amener la séparation des rayons, le premier terme contient l'expression (c^o 2^4- ^^2'^) de Tordre de grandeur de 2^08; par suite, ces rayons sont séparés sur la plage centrale comme le seraient deux rayons de Fresnel,
A mi-chemin de la périphérie, quand Vq — Ve l'emporte sur {Voùk-^ ^e^k)'> et que /(A) est différent de zéro, ils sont encore séparés en vertu des deux termes.
Enfin, à la périphérie, /(A*) étant voisin de zéro, ils sont encore séparés, mais par le terme seul en
Donc, du centre à la périphérie, au sortir d'un prisme ces deux rayons seront toujours séparés.
Considérons maintenant, parmi les rayons de sens rotatoire inverse, un rayon principal et un supplémentaire
/($ + o) et \(5 4-£) ou \{^^-^o) et /(y + c). La
différence de phase entre ces rayons sera
Vq Vf.
Sur la plage centrale ces rayons sont superposés, puisque /(/r) est voisin de i et (^ de Vq^ et seuls sont séparables les rayons dont la différence de phase est représentée par un terme analogue à iVoO des rayons de
Fresnel. Mais en même temps, sur la plage centrale, les intensités lumineuses des rayons supplémentaires sont très faibles, comme on peut le voir en se reportant aux intensités lumineuses que nous avons données. Par suite, avec une lame j d'onde et un analyseur, on peut déterminer le sens rotatoire des rayons principaux parce que ceux-ci sont accompagnés de rayons, de sens rotatoire inverse il est vrai, mais de faible intensité lumineuse.
Dès que l'on quitte la plage centrale, l'intensité des rayons supplémentaires devient sensible, en même temps que la différence de phase des rayons précédents s'accroît d'une façon continue. Cependant elle est encore inférieure à celle des rayons principaux ^^ ei\^ par le terme
Ce n'est qu'à la périphérie /(fc) = o pour A=o que les différences de phase des rayons ^ el\^ ou des rayons /" et ^ deviennent exactement égales à celle des rayons principaux |(^ et ^ .
Donc le schéma suivant représentera les positions relatives et les intensités des quatre rayons, la lumière étant supposée polarisée à 45® de la section principale :
If a \
Plap:e centrale o» à 5",
Mi-chemin périphérie 5" à 1 1".
Périphérie j 1° à 16°.
^» ^"^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^^ VVvVVVwVVVVVVV ** *^ ^ ^^^ •
On voit
donc que
l'on explique ainsi tout ce que l'obser-
valion nous montre au sortir d'un seul prisme quand la lumière incidente est polarisée rectilignement.
Sur la plage centrale, l^es intensités des rayons n et b sont trop faibles pour empêcher de déterminer nettement le sens rotatoîrc des rayons A et B.
Dans le voisinage de la périphérie, les rayons de même sens rotatoire étant superposés^ on peut encore déterminer facilement le sens rotatoire des rayons.
Enfin, à mi-chemin de la périphérie, on peut s'assurer que les rayons sont comnle la figure les représente. Si sans la lame \ d'onde les intensités des rayons A-B ne permettent pas de jug^r de la présence des rayons a-b qui sont moins intenses et très voisins des premiers à cause de la faible biréfringence du quartz, on se rend compte de la présence de ces rayons avec la lame [ d'onde et l'analyseur.
En effet, au fur et à mesure que le rayon A, par une rotation convenable de l'analyseur, l'axe de la lame { d'onde étant vertical, prend des intensités de plus en plus faibles, on voit apparaître le rayon a qui a son intensité maxima en même temps que le rayon B. Il est très facile de se rendre compte de ce fait que l'on est en présence d'un nouvean rayon a, parce que l'œil juge nettement que la distance A-B est plus grande que la distance a-B,
( A D'abord avec la lame \ d'onde et l'analyseur, le groupe <
ou , [ ne peut plus être amené à l'extinction. Mais, en o )
outre, quand le groupe i est à son maximum d'éclairc-
A ) ment, le groupe f en est plus rapproché que quand les
Ce- /
deux groupes sont observés sans analyseur.
Cela est absolument net, et donne exactement l'imprcs-
— 2ly —
sion d'un rayon a qui, d'intensité nulle quand Je rayon A a une intensité maxima, prend son intensité nriaxima quand le premier prend une intensité nulle.
Donc
i** L'impossibilité d'obtenir, quelle que fût la direction de l'axe de la lame l d'onde, l'extinction des groupes J
et } •
2° La variation dans l'écart des deux groupes,
nous prouvent que nous sommes en présence de quatre rayons polarisés elliptiquement, placés comme notre figure l'indique.
Ces faits avaient échappé jusqu'ici aux observateurs par la raison bien simple que dans la théorie d'Airy rien ne les faisait prévoir.
Mais ces résultats sont absolument faciles à vérifier quand l'inclinaison de l'axe varie de 5** à 9®.
En résumé, avec le même prisme, la même lumière, la même lame| d'onde et le même analyseur, on obtient successivement Vextinction absolue des deux seuls rayons séparés si la lumière incidente est polarisée circulairement {fig* 48). Au contraire, de 5® à (f plus d'extinction possible si la lumière incidente est polarisée rectilignement.
Si Ton remarque, d'un autre côté, qu'il est impossible de ne pas tenir compte de la rotation du plan primitif de polarisation dans la lumière convergente, que consécutivement à cette rotation les ellipses de l'entrée sont orientées par le plan de polarisation, que les ellipses de sortie étant orientées par la section principale du cristal, la transformation des unes dans les autres s'accompagne
nécessairement d'une duplication. On voit que les résultats expérimentaux ci-dessus ne sont que conformes à ce qu'ils devaient être.
Comparaison des intensités lumineuses dans notre théorie
et dans celle d'Airy,
Nous avons vu que l'étude des intensités lumineuses quand la lumière incidente est polarisée circulairement nous a permis de vérifier l'exactitude des intensités représentées par les formules
le cristal étant dextrogj^re et la lumière incidente polarisée circulairement de gauche à droite. Par contre, nous avons vu que nous avions
si le cristal restant dextrog^re, la lumière incidente était polarisée circulairement de droite à gauche.
C'est-à-dire qu'en ne modifiant que le sens de la lumière incidente, on constatait que le rayon extraordinaire prenait précisément l'intensité lumineuse du rayon ordinaire et réciproquement. Or ces observations sont absolument nettes et ne laissent aucun doute. L'œil apprécie très facilement cette alternance des intensités lumineuses et se rend parfaitement compte que l'on a, en changeant le sens rotatoire de la lumière incidente,
Si nous nous plaçons mainlenant identiquement dans les mêmes conditions, en prenant au lieu de lumière circulaire de la lumière polarisée rectilignement, nous avons vu que, dans la théorie d'Airy, les deux ra^'ons séparés au sortir d'un seul prisme avaient les intensités lumineuses représentées par les formules
Z lo = — V, [ «i'ï^ *■ -+- ^'^ cos2 i], le = — ^ [ X 2 sin2 i -h cos2 i\ \
si le cristal est dextroii^yre.
La première conséquence que Ton déduit de cette formule est la suivante :
Pour i= 90",
Pour /= o,
I' il ,' i
L'expérience nous montre Talternance des intensités lumineuses des rayons séparés.
Donc, exactement comme nous l'avojjs vérifié avec de la lumière circulaire, nous devons, en polarisant la lumière dans le plan de la section principale, puis dans un plan perpendiculaire, obtenir dans notre théorie
) ., ,' ), .M Placre centrale et parlie médiane,
(^o-+-Ié)=(Io-+-*e) )
l^es intensités lumineuses des rayons qui seuls peuvent être séparés par un prisme sont, comme nous l'avons vuy
sur la plage centrale et la parlie médiane;. no«.s rappe-
— 23o — lanl que
Pour i =: 90**, d'où i^ Ra,
p\ = cos2R>5:-hÂ:2sin«RA:, q\ = sîdîRa + A:2 cos^Ra:. Pour t = o, d'où «' = — Ra,
donc l'alternance se vérifie théoriquement et expérimentalement sur la plage centrale et la partie médiane.
K\^ périphérie on a, d'après les intensités lumineuses de la page 181,
Pour «=190" on a, d'après les valeurs ci-dessus de p'^^ q\ et de i ^
Pour i^=i o,
+[('7i-^v/?l7Î)'+(/'l+'^V/"^)'lcos2H,,!.
Par conséquent,
donc alternance des intensités lumineuses encore à la périphérie.
On voit que cette alternance des intensités lumineuses qui paraissait être la pierre de touche de la théorie d'Airy, se retrouve complètement dans notre théorie.
Donc encore une expérience que l'on ne peut invoquer pour confirmer la théorie d'Airy, et cependant au premier abord elle paraissait bien convaincante.
11 en sera de même avec les fig, B (i), D (i) identiques, entre elles, ainsi qu'avec les Jig, G (i), E (i). Cette identité pour 5® d'inclinaison de l'axe lorsque la lumière incidente est polarisée circulairement et rectilignement dans un plan parallèle ou perpendiculaire à la section principale, semble au premier abord une confirmation de la théorie d'Airy. En effet, la lumière incidente étant circulaire, on aurait dans les premiers prismes, pour les deux rayons elliptiques (p. 182),
et
si i = 90®, la lumière incidente étant polarisée rectilignement (p. 229).
D'un autre côté, pour 5® de réfraction, les recherches de Jamin ainsi que nos expériences précédentes nous ont prouvé que les ellipses étaient tangentes dans les deux lumières incidentes et que A* = o, 4 1 5.
En mettant cette valeur de A* dans les formules précédentes il vient
donc idenlllé des intensités lumineuses dans la tlicorie d'Airj, engendrant à la sortie des rayons i, 3; 2, 4 (l^ la fig, B(i) que l'on retrouve identiquement les mêmes pour cette obliquité de l'axe dans \^fig^ ^ (0*
Mais il ne faut pas oublier que nous sommes ici en présence de biprismes très longs ayant de 9*™ à 1 1^™, que pour ceux-ci il faut appliquer en l'exagérant (c'est-à-dire, le premier anneau étant encore plus près de l'axe) la construction de \^ fig* 23 de la page io5. De sorte que même pourune simple incidence de ^"4 l' correspondant (p. 201) à 4^58' de réfraction, la rotation du plan primitif de polarisation devient négligeable. C'est du reste conforme à tout ce que nous avons démontré jusqu'ici, ayant prouvé que c'est surtout sur la plage centrale que se fait sentir la rotation du plan primitif de polarisation , rotation très réduite dès que l'on arrive aux courbes quadratiques. Or avec ces longueurs de biprismes on ne se trouve plus, pour ainsi dire, en présence que de franges d'interférence comme on peut les observer avec un analyseur, la plage centrale étant réduite au minimum.
Il en résulte donc qu'ayant dans notre théorie [)our i = 90"
on a, en réalité, avec ces longueurs de prismes, où l'on n'est plus en présence que de franges d'interférence, R;t= o sensiblement, d'où
d'oi
c'est-à-dire les mêmes valeurs que dans la lliéoric d'Airv.
Par conséquent, dans notre ihéorie aussi bien que dans celle d'Airy, avec les longueurs exagférées de quartz nous devions, pour 5" de réfraciion, obtenir ce que nous donne l'observation.
Nous avions donc, sans nous en douter, à celte époque où ces expériences, les premières de toutes, avaient été
r que
taulard et tous les e:
pé-
1 erreui
rimeutaleurs, sauf Jamin avec son compensateur, avaient faite. Nous avions pris des quartz très épais, éliminant rapidement ce qu'il y avait de plus intéressant dans ces recherches : la rotation du plan primitif de polarisation obliquement à l'axe.
Aussi est-ce avec des bijirismes de 5'^™ do longueur, n'ayant par suite dans la partie centrale, pour le premier prisme, comme longueur niasima que a"", 5, longueur qui diminuait avec l'obliquité des rayons incidents, que nos observations ont été les meilleures. C'est avec ces petits biprismes que nous avons pu formuler celle loi expérimentale qu'entre 5° et g" d'inclinaison de l'axe l'extinction des rayons ne peut plus s'obtenir avec une lame | d'onde et un analyseur quand la lumière incidente est polarisée reclilignement, alors qu'elle s'obtenait avec une lumière incidente circulaire.
Longtemps nous n'avions osé nous prononcer, car avec les grands biprismes te phénomène s'atlénuait. Ce n'est que lorsque nous avons pu tirer des expériences de Jamin la preuve de la rolalion du plan primitif de polarisalion obliquement à l'axe, que loul a pu s'expliquer.
Examinons encore, au sortir d'un prisme, ce que nous donnent les deux théories quand la lumière incidente est polarisée à ^5° de la section principale. Quelle que soit l'obliquité de l'axe, les deux rayons semblent avoir une intensité invariable et égale à ;.
Pour t = 45®, se rappelant que
tangRA- = ^-f-. lang-i , l =z i — \\f.,
il est facile de trouver que
p =p — sin(Y — 0),
q = p -\ sin (•;'• — ).
Examinons en particulier ce qui se passe sur la pla^çe centrale, h voisin de i, et à la périphérie (v — §) voisin de zéro. On voit que dans ces deux cas extrêmes on peut
supposer, pour simplifier, Texpression — ^ sin(Y — B)
étant très petite,
Par conséquent, les intensités lumineuses prennent lesvaleurs suivantes :
i — î^o Pleine cenlral'e et Pêriplicric.
> . I / yk
(!les résullals sont très importants, car ils nous montrent que les intensités lumineuses des ravons sont encore fonctions de roljli(|uiu' de l'axe^ Or a priori il devait en étitr
ainsi, car sî pour toutes les valeurs de i les intensités lumineuses étaient fonctions de la valeur de k, aussi bien dans notre théorie que dans celle d'Airy, il serait inadmissible qu'il y eût une valeur de i pour laquelle les intensités lumineuses deviendraient indépendantes de k.
D'après nos recherches on voit que cela n'a jamais lieu.
Suivant les formules d'Airy, au contraire, pour i = ^5° on a (p. 1^4)
/ Jo- - — ^7i[' + >^-^]- -'
Or ce fait devait suffire à mettre en doute la théorie d^Airy. Car comment admettre que pour ce seul cas particulier l'intensité lumineuse fût indépendante de l'aplatissement des ellipses, alors que si la lumière incidente est circulaire on constate, du centre à la périphérie, des intensités lumineuses toujours fonctions de cet aplatissement. Il devait donc en être encore ainsi quand la lumière est polarisée rectilignement. C'est ce que nos formules nous montrent.
Si, expérimentalement, à la sortie d'un seul prisme les deux rayons seuls séparés paraissent d'intensités égales et sensiblement invariables avec A", cela tient à ce que sur la plage centrale et à la périphérie les rayons superposés conduisent à une valeur égale à \, De sorte que dans la partie médiane, pour laquelle ces intensités dépendent encore de A*, il devient difficile de percevoir une variation d'intensité lumineuse rapidement très faible pour les lames épaisses comprise entre deux intensités invariables.
Comme nous l'avons vu, sur la plage centrale les rayons superposés sont I^, 4 et i'o, I^. Par suite, on aura pour
centrale.
1 = 45" /,„VX4 = j|. + ^]-^^(.-,-^^:,) = ;^ Plage
el\l, + /.„=i[,-H^]+i(.-^)=i
A la périphérie les rayons superposés seront I©, io et iet Icj quî donneront encore
/\o^/'io=-y \ïe-+-4\=- Périphérie.
Sur \di partie médiane les mêmes rayons de sens rotatoire inverse que sur la plage centrale sont superposés. Or il est facile de voir que les formules générales se réduisent
à - ^ ,^ et — ^-77 pour la somme de ces intensités lumi- I -h A* I -h /r« ^
neuses, savoir
/^^ . sin^e'-i-A' cos^/' 1^4- \i^= -—j-^ ,
\'' + A= TTIi
Pour 1 = 4&**> on 21 î'= 45** — Par suite, les relations précédentes deviennent
Jc + //.- - -f--y— j^s.n(Y-o).
Par conséquent, les deux groupes de rayons séparés auront, de la plage centrale à la périphérie, les intensités suivantes
- ) T- SI n ( Y — ô ),
-> — ! — -r- sin(Y — 0),
Si l'on obscrveque(Y — S) prend rapidement des valeurs décroissanles surtout avec des quartz épais comme l'étaient nos prismes, pour lesquels il faut appliquer \a,Jig. aS de la page io5, l'invariabilité lumineuse observée se justifie. Du reste, il est. aussi dilïicile à l'œil de se prononcer sur l'invariabililé lumineuse absolue que sur une légère variabiliié enire ccrlaînes limites.
On voit que la théorie d'Airy, quoique paraissant expérimentalenient vérifiée, est en contradiction absolue avec l'idée théorique diaprés laquelle les intensités lumineuses des rayons, du centre à la périphérie, étaient essentiellement variables avec l'obliquité de l'axe. Il suffisait, en effet, de polariser la lumière à .^5" de la section principale pour que dans la théorie d'Airj l'aplatissement /' disparilt des formules, et par conséquent que les choses se passassent comme si le quariE perdait toutes ses propriétés bien distinctes du centre à la périphérie. Ce qui était inadmissible.
Nous avons montré que dans notre théorie il n'eu est rien et expliqué comment, elTectivement, la superposition de ravons peut faire croire à l'indépeadancc de l'intensité lumineuse et de l'aplatissement pour cette valeur particulière de I alors qu'elle existe toujours.
L'examen des intensités lumineuses au sortir d'un seul prisme quand la lumière incidente est polarisée rectitignemenl nous permet, dans ce cas, de conclure à l'inexactitude de la théorie d'Airy.
1° Expérimentalement et surloat pour des toclinaisons de l'axe de 5* à 9*, les rayons qui paraissent uniques à l'ceil nu, au sortir d'un seul prisme, ont tons les caractères
de rayons elliptiques superposés quand on les- examine avec une lame j d'onde et un analyseur.
2® Théoriquement, la théorie d'Airy conduit à admettre que pour « = 45** les intensités lumineuses peuvent devenir indépendantes de l'obliquité de l'axe, ce qui est inadmissible. L'expérience qui tendrait à justiGer ce résultat étant facile à expliquer.
Il nous restera à appliquer tous ces résultats à l'étude des courbes quadratiques, spirales quadratiques et spirales d'Airy. C'est ce que nous ferons dans la dernière Partie de ce Mémoire.
COURBES ISOCimOMATIQUES ET QUADRATrQUES.
Avant d'aborder la discussion de ces courbes, entre lesquelles nous ferons une distinction au point de vue de rintensîlé lumineuse, contrairement à l'opinion des auteurs, il importe de rappeler les résultats auxquels nous sommes déjà arrivé.
i' Nous avons déduit des anciennes expériences de Jamin la preuve de l'existence d'une première sone dans laquelle les rayons elliptiques donnent lieu à la rotation du plan primitif de polarisation du centre à la périphérie.
Nous avons montré que les mesures faites par lui avec son compensateur (p, 106-1 14) ne donnaient que les différences de marche des rayons elliptiques ayant parcouru des chemins progressivement croissants du centre à la périphérie, et non un chemin sensiblement invariable, et égal à l'épaisseur du quartz, comme Jamin et tous les auteurs l'avaient admis.
a" Nous avons aussi établi, dans le même ordre d'idées (p. 88-93), la distinction à faire entre les anneaux qui se forment dans les cristaux qui possèdent le pouvoir rotatoire et ceux qui ne le possèdent pas.
Or cette distinction était précisément celle que l'on peut observer dans la lumière convergente, entre les anneaux du Q. .6
centre et ceux de la périphérie, dans une lame de quartz taillée perpendictilairemenl à l'axe.
Entre deux anneaux qui se suivent, soit au centre, soit à la périphérie, la difTérence de marche est exprimée par la relation
dans laquelle H est proportionnel à l'épaisseur traversée pour produire ces anneaux dont /■', /■ sont les rayons. Or, pour les anneaux du centre pour lesquels le pouvoir rolatoire existe, (r'" — r') a une valeur considérable alors qu'à la périphérie elle est très petite, les anneaux étant 1res resserrés. Celle valeur est considérable pour les anneaux du centre pour lesquels la coloration, qui sera due au pouvoir rotatoirc, comme nous le montrerons, reste uniforme dans la lumière blanche. Dans les mêmes conditions expérimentales avec un spatli d'Islande taillé perpendiculairement à l'axe, on n'observe du centre ù la périphérie que des anneaux altemalivemenl blancs et obscurs. Sachant qu'entre deux anneaux voisins t? ^ -, il en résulte
que H est essenliellemenL variable du centre à la périphérie. Ainsi, alors que dans les hypothèses de Jamin et des auteurs le chemin parcouru pour la formation des anneaux est sensiblement constant et exprimé par e (épaisseur du quartz) [Jamin ne tenait même pas compte de l'obliquité, comme inutile], nous voyons, par la différence qui existe pour les valeurs de (r^ — r^) dans le voisinage du centre et de la périphérie, que, les épaisseurs traversées poar\a formation des anneaux étant en raison inverse des valeurs de (/■'* — /"'), ces épaisseurs étaient totalement différentes dans le voisinage du centre et de la périphérie, c'est-à-dire là où existait un pouvoir rotaloire et là où il avait disparu.
C'éla!t donc une erreur qui avait été commise par les auteurs. Dans les cristaux qui ne possèdeot pas le pouvoir
rolatoire, les valeurs de {/■'- — r-) sont du même ordre de grandeur du centre à la périphérie, parce que les épaisseurs traversées sont du même ordre de grandeur. Ici, au contraire, le phénomène est tout autre, parce que les épaisseurs à la suite desquelles on arrive à la formation de ces anneaux varient de zéro à l'épaisseur traversée du quartz à la périphérie. L'apparence des anneaux au cenlre et à la périphérie devait immédiatement appeler l'attention sur ce point. Nous n'aurions pas eu ainsi à relever (p. 102) l'erreur des auteurs qui, exprimant a priori la formule des anneaux brillants dans le quartz taillé perpendiculairement à Taxe par la relation des cristaux qui ne possèdent pas le pouvoir rolatoire, savoir, en ne tenant pas compte de la réfraction,
aN-i
I lÎL'
>ri-i
en étaient réduits à prendre pour le premier anneau brillant un numérateur trop fort l\ = 4 au lieu de N = o, parce que le dénominateur était lui-même trop fort, c'està-dire égal à ne au lieu de le', •< %e.
Ces préliminaires rappelés, abordons l'étude des courbes isochromatiques el quadratiques dans laquelle nous aurons Lien d'antres erreurs à sifrnaler.
Les quatre rayons elliptiques à leur entrée dans l'analyseur donnent pour le rajon ordinaire (p. 1^7, /îg. 4a)
Or, nous avons vu (p. 178) que Ton avait dans Tanalyseur, nous rappelant que wr = o)^ — y 1=1 — Ka,
■Jr r^î = 7^ [ sint'sin(a)^' — o)-^ k cost' cos(a)i' — o)],
+ îi =
j-t\ sint' cos(a)^'
rr fA: sint' cos(a)<'
— o) — k cost' cos(a)^' — o)],
— e) — cost" cos(a)i' — e)],
— e)-h cost' sin(a)^' — e)].
Au lieu de prendre comme nous l'avons fait, et ce qui nous semble plus rationnel, puisque dans les observations la section principale du cristal est fixe, la trace de cette section principale OÇ pour droite invariable, les Ouvrages prennent la trace du plan primitif de polarisation OP
Fig. 52.
{fiS' ^^) pour droite invariable, et alors on désigne par i^ Tangle que fait la section principale du cristal avec ce plan primitif de polarisation et 5^ l'angle de la section principale de l'analyseur avec le même plan. Dans ces conditions, les formules des auteurs ne renferment que des exprès-
slons en St et (21*4 — Si). Il est facile de voir que dans notre système de coordonnées les angles i\, Si (Jig* 53), comptés à partir du plan primitif de polarisation, étant en sens contraire des nôtres, d^oà pris négativement.
— si= (5 — 0»
(2ti — 5i) = m — (s-h i),
par conséquent nos formules ne renfermeront que deis
Fig. 53.
expressions en ^ — i et ^ H- i dans l'ancienne théorie d'Airy et (s — «'), (s-}-^) dans notre théorie nouvelle. Il sera donc facile de passer d'un système à l'autre puisque l'on aura
C0S{S-+- i) = — C0S(2li— 5i), C0S(5 — î) = C0S5i,
sin(5 — i) = — sin^i.
Pour simplifier les calculs, le cristal étant dextrogyre, nous allons poser
o)^'— 6=3e, d'où (lit' — o=:aH-(e--o).
On voit que l'on aura
sins (H- A:*)(Tii-h7ij)
sini'fsina cos(e — o) -h cosasin(e — o)] ) .
> sin5 k cosi' [cosa cos(e-- o) — sina sin(e — o)] ) '
coss (n-A:î)(î,-hî,)
k sint' [cosa cos(£ — o) — sina sin(s — o)]
. ? coss
k* cosi' [sina cos(e — o) -H cosa sin(£ — o)] ) *
sins (n-X:*)(7)J H- 7)2) = A:(X:sini' sina — cost' cosa)sin5, — C0S5 (1-+- A:»)(5î -^" Î2) = (Arsint'cosa-hcost'sina) cos5.
Les seconds membres ajoutés et ordonnés par rapport à sina et cosa donneront
sin*' cos(e — o) sin*-+- k s'ini' sin(e — o) coss sina I — k cosi'sin(e — o)sin5-i- A:*cosrcos(e — o)cos5
[sin* cos(e — o)si — k cosi' sin ( e — o ) sii -\-k^sini' sins
cosi'cos*
sin^r sini'cos(& — o) — k cost' sin(e — o)-{- k^ sini'] = sin a ' ■■ ^ ^ ^ ^ ■•
ini'] )
coss [A:sint'sin(e — o)-+-k^ cost'cos(e — o)-\- cos
sin/'sin(£ — o) sins — k s\ni' cos(£ — o) coss cosa I -f-A'cost'cos(£ — o)sinf -{- k^cosi' sin(E— o)cos5 Acost'sin* -{- k sin/'cos5
( sin^r sini'sin(& — o)-h /rcos/' cos(e — o) — kcosi'] = cos a < •• ^
cos5[^2cosi'sin(£ — o) — k sini'cos(£ — o)-\- k
cost'] ) sini'] )
Si l'on ordonne par rapport à cos(£ — o) et sin(£ — o) les expressions entre crochets, on aura pour celles-ci :
[(sin5 sine*' -h A^^cos^ cos T) cos (s — o) ~|
— k sin{s — i') sin(£ — o) -H (cos5 cosi'-f- A^ sin* sinfc')J '
[(sins sint'-i- k^ coss cosi')sin(£ — o) 1
-h k sin(s — i') cos(e — o) — k sin(s — i')]
L'intensité lumineuse étant, comme on sait, la somme des carrés des crochets, on aura pour celle-ci, représentée
par I^,
(14- A:*) Iy= (sin5sint'-H- k^ coss cosi')*
-l-2X:*sin2(5 — i') -\- (coss cosi'+ A:* sin^-sinT)* -h2[(sin5 sint'4-A:* coss cosi') {coss cos i'-\-k^ sin^sini')
— k^sin^(s— i')] cos(£ — o) — ik(i-\- X:*) sin(s — i') cos(s — i') sin (e — o).
Remplaçant 2cos(£ — o) par 2 — 4 sîn^ , on trouve
facilement que la somme des termes indépendants de (e — o) se réduit à (i -j- k^)cos^(^s — i').
D'un autre côté,
(sin 5 sint'-4- k^ coss cosi') (coss cosi' -h k* sin 5 sin r) — A:* sin* (5 — i')
= - (i — 2 A:* -I- A:*) sin 24* sin2t'-H A:* [cos*(5 — i') — sin*(5 — *')].
On aura, par conséquent, pour l'intensité du rayon ordinaire dans l'analyseur
cos*(5 — i') TT sin (5 — i')cos(s — i') sin(e — o)
(i) ly= { — (7qr;fîy, [cos«(5-t')--sin«(5 — i')]sin«i^
— ) r^ sin25 sin2i sin*
et
sin*(5 — t')H Tz sin{s — i')cos(s — i')sin(e — o)
-h 3 rrr sin25 sinsi sin* .
(i-hA:*)* 2
La formule se simplifie en remplaçant les deux premiers
termes du second membre par
cos
{s — i ) l cos* h sin* j
sin(5 — t ) cos(5 — i ) sin cos >
ce qui donne, après réduction,
ly=i I cos(5 — i ) cos Tj sin(5 — i') sin I
-^ I -Tj 1 [cos*(5 — i') — sin 2* sin2t'] sin*
Si l'on remarque que
sinai'= sin[*-f- i'—is— i')]
= sin(8-l- i') cos(5— i') — cos(5-l- t')sin(5 — t'),
sin 25 = sin [5 -h l'-f- (s — i')]
= sin(5-hi')cos(5 — i')-+- cos(5 + i') sin(s — i'),
on voit que
cos*(5 — *') — sin2*sin2t'= cos* (5 -H i'),
par conséquent l'expression de l'intensité lumineuse est donc
I cos(5 — i) cos -rr sin(5 — i) sm I
L ^ '^2 i-hA:* ^ 2 J
^ /iZ^y cos*(* -H t") sin*i=^.
Les formules (i), (2), (3) sont celles dont on pourrait faire usage pour la discussion des divers phénomènes que l'on observe. Mais, pour comparer ces formules à celles d'Airy qui sont établies dans le système habituel de coordonnées dans lesquelles les sections principales du cristal et de l'analyseur sont rapporlées au plan primitif de polarisation, il convient de faire cette transformation.
En se rappelant toujours que V = i — Ra, et que Kk= Ck cikj sachant que e^ = e, ^0== o, il est facile de tirer des relations de la page 243,
R*— *1= (s-- i'), — 2 t'i -f- ^1 -h Ra: = TÏT — (5 -ht'),
25 = 57 -h 2(^1 — ^i), 2i'=im{ii — Rjt).
Par conséquent, les formules (i), (2), (3) deviendront dans le système habituel de coordonnées
2 A* cos'(*i— R;fc)H Ts sin(5i — Rat) cos(5i — RAr)sin(6 — o)
I — T~ fC
(I bis) ly= i -^— i^ [cos2(*i-RA)-sin«(5i-RA)]sin»i=^
"" ( I ^ )^2 ) sin2(ti — 5i) sm2(ti-~RA.)sin»— — ,
sin«(5i — Ra:)— -j-^t^ sin(5i— Ra) cos(5i— RA:)sin(e — o) (2 bis) lx= { -+- . ^^,xa [cos«(5i— Ra) — sin2(5i— Ra:)] sin»^^^
-h (737)5.11 ) sin2(ti — 5i) sin2(ii — Ra) sin«— ^,
cos(5i— Ra) COS-— h , 8in(5i— Ra) »in-— —
-^{jTJ^) cosî(2ii — 5i— RA)sin»-^— .
Mais le chemin total gauche g se divise dans notre théorie en un chemin y de la première zone et un chemin e en dehors de cette zone, savoir ^ = y -h e, de même rf= 8 + o, il en résulte que
On voit qu'en supposant Ra=o, savoir (y — 8) = o, e — o devient égal à ^ — rf, dans ce cas on tombe sur la
formule analogue à celle d'Airy :
Ir g — d ik . g — d'Y I cos5i cos^ 1 n sin^i sin2 l + (rnrij cos«(îàti-5i)s.ii«— —
qui nous montre bien qu'Airy n'est arrivé à sa formule qu'en supposant que ses deux ellipses ne donnaient lieu à aucun moment à des phénomènes de rotation du plan primitif de polarisation.
Critique de la formule d*Airy,
La formule (5) que nous venons de donner ne diffère de la formule d'Airy que par la valeur de {g — rf), à laquelle ce savant a attribué arbitrairement un sens qu'il ne pouvait avoir.
Si l'on admettait, comme Airy, que ses ellipses se propageaient dès Ventrée privilégiées, ne donnant lieu à aucun phénomène de rotation du plan primitif de polarisation obliquement à l'axe, savoir Ra= o, on devait avoir
puisque c'est à la formule (5), dans laquelle {g — d) a cette valeur, que nous conduit notre formule (3 bis) quand on suppose Ka= o.
Mais, pour /:= i, la formule (5) devient
relation inexacte.
C'est bien ce qu'Airy avait dû voir. Aussi, pour sauver les apparences et masquer l'inexactitude de sa théorie.
avait daas toutes les directions
leot et arbitrairement admis que l'o
(y — 3) étant une quantité constante. On voit que cette hypothèse lui permettait de ne plus avoir, pour A':=i, g — d=o.
Mais que désigne (y — 3)? Une différence de marche qui suivant l'axe répond à la rotation du plan primitif de polarisation des rayons circulaires droit et gauche. C'est un phénomène physique que l'on sait exister et, par suite, l'hypothèse est très plausible.
Donc, admettre que la relation (6) existe encore obliquement à l'axe, c'est par cela même supposer l'exi^ïence du même phénomène physique, la rotation du plan primitif de polarisation étant produite par les deux rayons elliptiques de l'entrée. Et alors on ne saurait sortir de ce dilemme:
Ou l'on admettra, comme Airy, la relation (G) qui implique, comme nous l'avons aussi déduit des anciennes expériences de Jamin, la rotation du plan primitif de polarisation obliquement à l'axe, et alors la véritable formule donnant l'intensité lumineuse est la relation (3 6is) dans laquelle entre celte rotation R/^.
Ou l'on ne songera pas, comme Airy et tous les auteurs, à celle rotation obliquement à l'ase, et alors la véritable formule sera la relation (5) dans laquelle {g — d) sera indépendant du pouvoir rotatoire et qui donnera, suivant l'axe, g — d^ a.
Étudions les lignes isocbromaliqucs dans les deux théories. Quand Si ^ o, c'est-à-dire quand ta section principale de l'analyseur est parallèle au plan primitif de pola-
risation, si l'on étudie les courbes isocbromatiques soit sur des quartz épais pour lesquels Ba prend rapidement des valeurs très petites pk non loin de Taxe, soit sur des lames minces pour lesquelles les courbes isochromatiques sont loin de l'axe, par suite R^ encore très petit, il en résulte que notre formule (a bis) devient, l'intensité lumineuse totale étant due et aux anneaux et à des phénomènes de l'ordre du pouvoir rotatoire ,
- [fli^ H- (i^)'.,...<,].i„.t^ ./,„),
La formule d'Âirj est, comme on le déduit de (5), dans les mêmes conditions,
^*== [(T:^.-*- (ttI)'""'^**^^
Dans notre théorie, les anneaux brillants et obscurs sont donnés par la relation
sm* 2= o,
(e — o) étant indépendant du pouvoir rotatoire. Ce sont les résultats que nous avions déjà déduits des anciennes expériences de Jamin (p. 1 13). Dans la théorie d'Âiry ils sont, au contraire, donnés par la relation
sin*2, = o.
(( Les maxima {*) correspondant à une courbure dé- » terminée sont donnés par la condition
2 =(2Nh-i)-,
(•) Verdet {Optique, t. II, p. 247)-
» et les miniraa par la condition
» sachant que, d'après l'hypothèse d'Airy,
/cri H\
Ainsi, les auteurs ont bien enseigné que des phénomènes de l'ordre de la rotation du plan primitif de polarisation -ry pouvaient entrer dans une différence de marche
pour donner lieu à des franges d'interférence, à des maxima et à des minima d'intensité lumineuse! Cependant, une expérience classique bien connue montre que, si l'on intercale entre un compensateur Jamin et de la lumière polarisée rectilignement une lame de quartz taillée perpendiculairement à l'axe, il n'y aura pas le moindre déplacement de la frange noire centrale du compensateur.
Donc il ne peut exister de relation entre {g — d) et — •
C'est toujours la même démonstration qui revient sans cesse sous les aspects les plus différents. Puisque Airy
admettait Texislence du terme tt- obliquement à l'axe,
c'est qu'il admettait l'existence du phénomène physique correspondant, c'est-à-dire une rotation du plan primitif de polarisation.
Les figures ci-contre {fig* 54) montrent nettement comment les choses se passent alors.
Tant que les deux rayons elliptiques peuvent être considérés comme superposés de A en B, et que sur cette longueur ils redonnent à chaque instant un rayon polarisé rectilignement, il est bien clair que les choses se passent,
ainsi que le montre la seconde figure, comme sî l'on avait un rayon polarisé rectilignement suivant AB, et que,
Fig:. 54.
arrivé en B, ce rayon engendre deux rayons elliptiques parcourant le chemin BG avec des vitesses différentes.
Donc ce n'est qu'à partir du point B que les deux rayons elliptiques sont dans les conditions des expériences de Babinet {fig» 55), c'est-à-dire parcourent deux chemins dif-
Fig. 55.
férentsavec la môme vitesse, ou le même chemin avec des vitesses différentes et par suite interfèrent. Par conséquent, tant que les deux rayons elliptiques ou circulaires de sens rotatoire inverse donnaient lieu à la rotation du plan primitif de polarisation, ils pouvaient intervenir pour modifier la coloration des franges d'interférence, mais non pour produire ces franges d'interférence elles-mêmes.
Un fait bien net montre le rôle du pouvoir rotatoire obliquement à l'axe dans la coloration des premières lignes isochromatiques. Que l'on place un quartz taillé perpendiculairement à l'axe, entre un polariseur et un analyseur, dans la lumière parallèle, la teinte que l'on observe est celle des images d'Arago. Et que l'on vienne à obliquer le quartz sur le trajet des rayons, on voit apparaître les
lignes isochromaliques que l'on observe dans la lumière convergenle.
Or, tasuccessiofi des Ceintes est précisément celle que l'on observe dans les images d'Arago quand on fait tourner l'analyseur. C'esl-à-dire que si le quarts destrogyre, perpeDdîculaire aux rayons, prend une teinte verte (épaisseur g"™,!, analyseur à rexlinclion), dès que l'on oblique on observe ce qui suit. Si l'on tourne à droite l'analyseur, à la coloration verte, le cristal étant dexlro- ;yre, succédera au centre la coloration bleue en même
pre-
gyre, succédera au centre la coloration uieue en m temps que le vert constituera le premier cercle de la mière courbe isochromalique, et successivement, en continuant à tourner l'analyseur, le premier cercle prendra les teintes bleue, indigo, rouge, orangée. Les teintes de ces cercles doivent donc s'expliquer exactement comme les teinies de l'image centrale d'Arago dans la lumière parallèle. Il n'y a là rien d'analogue à ta coloration des anneaux de Newton. Le phénomène paraît s'exercer jusqu'au cinquième anneau, et la limite semble indiquée par un cercle rouge netlement visible dans la lumière convergente avec un verre de didyrae et à partir duquel les anneaux deviennent incolores. On peut donc admettre que, jusqu'au cinquième anneau, la rotation du plan primitif de polarisation se fait sentir dans la lumière convergente pour les diOerentes épaisseurs de quartz.
Une expérience extrêmement simple et remarquable va nous permettre de conclure que la coloration des lignes isochromatiques et quadratiques est uniquement due à la rotation du plan primitif de polarisation, exactement comme pour la tache centrale.
En premier lieu, lorsque l'on examine dans la lumière convergente les anneaux d'un spath taillé perpendiculairement à l'axe, la dispersion est insuflîsante pour que ces
anneaux soient teintés. Ils sont alternativemetit blancs et obscurs dans la lumière lilanclic. Il devait donc en être de mCme ici a priori et les expressions
ne pouvaient pas plus rendre compte de la coloration dans le quarts que dans le spath. Pour le vériCer, observons dans la lumière blanche, avec le microscope polarisant, une lame de qitarlz taillée perpendiculairement à l'ase. Nous voyons la tache centrale colorée et les lignes isochroma-
tiques, dont les teintes vives .
cristal de quartz. Cela posé, s; Ions entre l'analyseur et la dei cope, c'est-à-dire quand la lun considérée comme parallèle, épaisseur et de signe contraire
t caractéristiques d'u
is rien changer, iniercaière lentille du niîcros- ^re à la sortie peut être m quartz A'iine même à celui qui engendre les
lignes isocbromatiqnes; immédiatement on constate la décoloration, non seulement de la tache centrale qui devient blanche ou obscure, mais des cinq premières courbes isochromatiques, lesquelles semblaient les seules teintées. On n'est plus en présence que d'anneaux obscurs et brillants, exactement comme dans la lumière monochromatique.
Il est difficile de prouver d'une façon plus nette que le chromatisme des courbes observées est uniquement dû à la rotation du plan primitif de polarisation obliquement à l'axe. Cette expérience très simple est en même temps dé-
Elle permet en même temps d'étudier l'état des vibrations dans la lumière convergente au sortir des lames biréfringentes spath, quartz, etc., ce qui n'avait pas été fait jusqu'ici. Le quartz étant intercalé devant l'analyseur, les
brancKes noires ou blanches sont colorées. Ses parties, dans des azimuts à 45° de ces croix, présentent des couleurs sensiblement complémenlaii-es, ce qui prouve que dans ces azimuts la lumière est polarisée reotangulairemenl avec celle des crois.
Prenons enfin les
e l'on obs£
avec la croix.
noire dans le cas du spatli. Intercalons un quartz de 9""", 1 dextrog)'re et lévogjre devant l'analyseur. Il y a coloration et rotation des branches de la croix et dislocation des anneaux. Mais, dans ces deux cas, la dislocation, soit à droite, soit à gauche, est rigoureusement la même.
Répétons la même expérience avec une lame de quartz lévogyre de a""" nous donnant des anneaux circulaires et la croix noire, avec une tache centrale légèrement teintée.
Si nous intercalons le cristal de g""",! dextrogyre, les cercles sont exactement transformés en anneaux quadratiques avec tache centrale rose, croix verte et coloration rose à lapériphérie.
Si le cristal intercalé est encore de g'"",! mais /euo- ^yre, les cercles sont transl'onnés en quatre spirales, crois verte et même coloration rose à la périphérie.
Si, conformément aux hypothèses des auteurs, dans la formation des courbes isochromaliques il n'y avait eu purement et simplement qu'une addition de marclie en plus
de celle q
que l'on a qui
istal est .'i
ipposé ne pas pos-
séder le pouvoir rotatoire, il est bien clair que l'on aurait dû obtenir exactement les mêmes courbes, différemment orientées seulement quand l'observation se faisait avec un cristal additionnel destrogyre ou lévogyre comme dans le cas du spath. Donc le pouvoir rolatoire du quartz intervenait pour les lignes isochromatiques comme pour la tache centrale, el c'est parce qu'à la périphérie ce pouvoir rotatoire devenait nul que la même coloration rose appa- Q. .7
raissait clans les deux cas en même lemps que les courbes prenaient la même apparence circulaire. On peut varier l'expérience avec différentes épaisseurs de quartz, on obtiendra toujours, en analysant les rayons, dans Tun des cas des anneaux quadratiques et dans l'autre des spirales.
Bien qu'il semble inutile d'aller plus loin, montrons comment, dans les Ouvrages les plus récents, on était obligé de raisonner pour tâcher de faire concorder la théorie d'Airy avec l'expérience.
Voici l'explication des anneaux que l'on trouve dans l'Ouvrage de M. Mascart {Optique, t. II, p. 3!4-3i5). Nous ne conservons que nos notations :
(( Pour un faisceau incident qui fait un petit angle I avec l'axe, si R| est la rotation relative à l'incidence normale et (e — o) la différence de phase calculée en supposant le quartz homoédrique, la différence de phase relative aux deux ondes à vibrations elliptiques peut être représentée par l'expression
dans laquelle la fonction /(I) qui part de l'unité pour 1 = 0, tend vers zéro à mesure que C angle I va croissant, »
<( Sur un anneau de rayon /'=:sinl la différence de phase (e — o) est sensiblement proportionnelle à r^, et Ton peut écrire
(£ — o) = xWr'^,
» Pour deux anneaux successifs de rayons r et r' et de même espèce, la différence {g' — d^) — {g — d) est égale à 2cj; il en résulte
» Si la fonction /(I) était constante, ce qui est sensiblement vrai pour le voisinage de l'axe, les rayons des anneaux de même ordre que le centre varieraient suivant la même loi que pour les cristaux homoédriques. »
La critique sera facile. En premier lieu, les auteurs supposent I très petit. Or, avec les lames minces, I est plutôt voisin de i4® (en raisonnant sur le rayon réfracté, 14** correspondent à 1 = 23®) que de o®, puisque les premiers anneaux s'observent dans le voisinage de la péripliérie. Quant aux lames épaisses, elles donnent pour I des valeurs assez voisines de l'axe pour les premiers anneaux^ mais, comme les anneaux s'étendent jusqu'à la périphérie, il en résulte que I varie (Vune valeur petite à une valeur égale à ï4®. Par conséquent, si nous supposons que nous examinions deux anneaux, l'un dans le voisinage de la plage centrale, l'autre dans le voisinage de la périphérie, en supposant le cristal homoédrique, on aura toujours, quel que soit I,
tandis qu'avec le quartz possédant les propriétés exprimées par la formule (a) on aurait
entre un anneau du centre et de la périphérie.
Et alors nous arrivons à cette conclusion, qu'il faut en revenir à l'hypothèse d'Airy d'après laquelle la différence de phase due ?iu pouvoir rotatoire serait indépendante de I. Dans ce cas seulement, les rayons des anneaux observés varieraient suivant la même loi que pour les cristaux homoédriques, puisque l'on aurait
Mais l'auteur a parfaitement reconnu que cette hypothèse d'Airy était inadmissible, comme nous l'avons du reste prouvé, et il a eu parfaitement raison d'écrire que la différence de phase due au pouvoir rotatoire devenait nulle à la périphérie. N'en connaissant pas la loi de variation, il l'a représentée par R|/(I). Nous avons montré qu'elle était donnée par la formule RA=eA.aAj an étant le pouvoir rotatoire, et eh une quantité variant de e à o.
La conclusion des auteurs est donc la même que celle que nous avons donnée dès Torigine. Mais alors comment se fait-il qu'ils n'en déduisent rien? Et qu'après avoir indiqué expressément que/(I) variait de i à o, ils cherchent à rester dans le voisinage de l'axe, de manière que /(I) fût sensiblement constant, au lieu d'examiner ce qui se passe entre deux anneaux très distants pour lesquels y(I) serait essentiellement variable? Ils ne le font pas, car ils auraient dû conclure, comme nous le montrons plus haut, que, dans la formation des lignes isochromatiques, les différences de marche ne sauraient contenir de ternies fonctions du pouvoir rotatoire. Par suite, que l'on avait dans les formules d'Airy
comme nous Tavons déjà conclu de notre formule (3 bis^ quand on ne tient pas compte avec Airy de la rotation du plan primitif de polarisation dans la lumière convergente.
Tache centrale.
Voyons comment on explique cette apparence dans les formules d'Airy. Voici les termes mêmes de l'explication que l'on trouve dans Verdet [Optique j t. II, p. 262) :
« Pour avoir Tintensité de la lumière au centre de riraage ordinaire, il faut dans la formule (5) (dans laquelle on donnera kg — rf la valeur qu'Airy lui attribue)
/ g — d ik . . g — d\^
Iv = ( cosii cos 1 ri sin^i sin )
' C0S2(2ii — 5|)sin22
H-A2 faire A* = i , ce qui donne
I^ = cosM *, — ^^^ j ,
ou, en désignant par R| Tangle 2 qui est égal à la
rotation qu'éprouve le plan de polarisation des rayons qui traversent la lame parallèlement à Taxe,
I^ = cos»(5i — Ri);
cette expression est nulle pour la couleur considérée lorsque Ton a
(i) 5,= ^-+- Ri.
» Pour voir la manière dont varie l'intensité sur un cercle ayant le centre du phénomène, il faut avoir recours à la formule précédente. Comme sur ce cercle les quantités A- et ^ — d restent constantes, on voit que l'intensité sera minimum lorsqu'on aura
( '2 ) cos' (2 il — 5i ) = O,
c est-a-due f|= h-r ou i=z -.
» 11 résulte de là que, lorsque pour une couleur déterminée la tache centrale est obscure, l'obscurité se prolonge sur
les bissectrices des diagonales des courbes quadratiques. Lorsqu*on opère avec la lumière blanche, si le centre de l'image ordinaire correspond à l'intensité minimum de la lumière jaune, la croix centrale présente la teinte se n^ sible, »
Telle est l'explication donnée par Verdet. Nous allons en montrer l'insuffisance, mais indiquons cependant qu'elle est la plus complète, car dans les Ouvrages les plus récents on se contente d'indiquer la direction des branches de la croix bissectrices des diagonales des courbes quadratiques, sans entrer dans aucun détail et surtout sans dire un mot des formes très différentes de la tache centrale suivant l'épaisseur des lames de quartz.
Nous allons donc indiquer ces difi^érences inexplicables avec les formules d'Airy et qui nous permettront de les rectifier.
Tache centrale en croix. Les branches de la tache sont li^ néaires. Au minimum d'éclairement plus de courbe quadratique. Les branches sont sensiblement dans le prolongement de celles de la croix noire.
Lames minces,
Lames moyennes
Tache centrale étoilée. Elle a l'apparence d'une étoile à quatre branches .
Lame épaisse (7'"'")- I Tache centrale circulaire.
On voit l'insuffisance des indications données jusqu'ici. On se gardait bien d'indiquer ces trois formes nettement distinctes de la tache centrale, parce qu'il était impossible
de les tirer de la formule
En effet, cette formule, à l'aide de laquelle les auteurs prouvent l'existence d'un minimum d'éclairement dans les directions en croix.
est explicitement indépendante de l'épaisseur de la lame traversée. Donc la tache centrale devait conserver la même forme, quelle que fût l'épaisseur, si la formule cidessus était exacte, c'est-à-dire que dans deux seules directions à 90® il y avait minimum d'éclairement; or la forme circulaire pour les lames épaisses que l'on observe montre de suite que cette formule est fausse, puisque c'est dans toutes les directions qu'existe ce minimum d'éclairement. Aussi élait-il plus simple de ne pas en parler, car il est inadmissible que la forme circulaire n'ait pas été observée par les auteurs. En effet, dans le Traité le plus récent, la forme étoilée très voisine dé la forme circulaire est figurée (Mascart, PL III, Jig, 12).
De plus, on observe que la forme, soit circulaire, soit étoilée, est uniquement fonction de l'épaisseur de la lame; car, si l'on fait l'observation avec une lame de quartz de 2™™ qui donne une forme étoilée, on constatera qu'en faisant varier S\ on obtiendra dans la lumière blanche des teintes différentes avec 5|, sans que la forme étoilée de la tache centrale soit modiGée.
Il est donc bien certain que la formule ci-dessus est fausse parce qu'elle ne renferme pas explicitement de terme fonction de l'épaisseur.
Mais nous allons prouver encore son inexactitude en
examinant ce qu'elle donne pour la lumière très voisine de la lumière parallèle.
Pour la lumière très voisine de la lumière parallèle on a sensiblement, k étant voisin de i , dans la théorie d'Airj^,
I^. = cos2 U - ^-— j -h (^T^TA-ïj cosî(at, -5,) sm«2 — . Autrement dit, la valeur de^i du premier terme
est sensiblement la même que celle du terme
cos-
( cos^i
f^ — d 2/r . , . fi^— d\^
cos 1 ,- sin^i sin
Donc, dans ces conditions, la tache centrale sera obscure dans la lumière monochromatique si l'on a simultanément,
en faisant Ri = >
('os-(a'i — Hi) = o, cos2(2ii — *i) = o, savoir
5, HjH- -,
•Vi rn
., S\ 'irry
ou encore
Kl ^
Et alors nous arrivons à cette conséquence.
Nous sommes en présence de lumière très voisine de la lumière parallèle, et par suite possédant les mêmes propriétés.
Or, pour la lumière parallèle, s'il faut tourner l'analyseur d'un angle S\ = R^ + — pour tomber sur l'extinction ^
c'est dans l'a
— que l'extinction s'obse
5,) = o, qui convient -allèle, nous indique
vera.
Tandis que la formule cos"(2() encore à de la lumière presque
que c'est dans l'azimut i, = — -f- — que celle extinctioD s'observe. On voîl ta contradicllon des relations simultanées.
Donc il suffisait ans auteurs de voir ce que devenait leur formule pour de la lumière voisine de l'axe pour constater qu'elle était fausse une fois de plus.
Quand nous voudrons expliquer la coloration de la lâche centrale avec la formule d'Aîry, nous montrerons qu'elle ne permet pas de retrouver la teinte sensible et que la coloration des branches est inexplicable dès que l'on est un peu ecarlé de l'axe (k < i).
La conséquence est qu'il faut bien reconnaître une fois de plus que la formule cos*{2i — s,)^ o était incomplète et que la nûtre, au contraire,
nous donnera toutes les explications que l'on passait prudemment sous silence.
Mais il importe d'insister sur la façon atambiquée suivie par Verdet et tous les auteurs pour arriver à l'explicalion de la tache en croix. Tout d'abord o^n parle de l'intensité de l'image « au centre du phénomène » el l'on arrive à la relation (i), page sâg.
Puis, sans indiquer pourquoi l'on vient de faire cela, oi» se place à une certaine distance du centre a sur un cercle » el l'on voit comment varie l'inlensilé lumineuse dans dilTérents azimuts, d'où la relation (2). Ëxiste-t-il
une relation quelconque entre les valeurs de s^ des formules (2) et (i). Impossible de le savoir, puisque les auteurs se gardent bien d'en parler. Si ces relations existaient, ils substitueraient dans (2) les valeurs de Si tirées de (i), et ils ne le font jamais. Cependant, comme d'un autre côté, si la tache centrale est dans toutes ses parties au minimum d'éclairement, il faut que l'on ait non seulement la relation (2) mais encore
(3) ( cos^i cos 1 i- sin^i sin ) = minimum,
ce que les auteurs se gardent bien d'indiquer; on tirerait de cette dernière relation
(4) IH 7^ tang5i tang^— ^ = minimum.
Pour A: = I , sachant que — — = R« , le minimum sera l'extinction absolue du centre, d'où
TÎT
IH- tang^i tangRi = o satisfait par ^i = Rj H
Nous retrouvonâ donc la relation (i), dont les auteurs ont eu la précaution de parler incidemment sans dire pourquoi.
Mais les branches de la tache en croix s'étendentpresque jusqu'à la première courbe isochromatique, et celle-ci est toujours le point de départ de la croix noire pour l'explication de laquelle les auteurs ont supposé k négligeable. Donc, pour le cercle sur lequel nous nous plaçons à l'extrémité d'une des branches de la croix, A'<< i.
Par suite, la relation (3) nous montre que s^ est fonction de R« et de A*, quand sur une branche de Ja croix on va du centre à son extrémité. Il devient difficile de faire
concorder ce fait avec l'énoncé a que l'obscurité se prolonge sur les bissectrices des diagonales des courbes quadratiques » pour lesquelles 5< est constant.
D'un autre côté, tout près de l'axe, comme nous l'avons vu, on a nécessairement les deux équations simultanées
C0S*(5i Ri)=:0, C0S2(2li — ^j ) = O,
dans lesquelles Si a la même valeur, et qui montrent que la valeur de «i est fausse. Il y avait plus de raisons qu'il n'en fallait pour que les auteurs s'abstinssent d'insister sur un sujet aussi scabreux, et qu'après avoir implicitement indiqué que pour l'observation de la tache obscure au centre on devait tourner l'analyseur de manière que l'on eût la relation (i), ils se soient prudemment abstenus d'indiquer quels rapports existaient entre les relations (i) et (2) dans lesquelles 5< n'a pas la même valeur à une certaine distance de l'axe.
Et tout cela parce que la formule (2) était fausse. Il convient donc de reprendre ce sujet en entrant dans de plus grands détails.
L'observation de la tache centrale peut être faite dans la lumière monochromatique et dans la lumière blanche. Quand on fait usage de celle-ci, la tache centrale a une teinte qui la différencie des autres parties de la plage centrale. Cette teinte peut prendre la teinte sensible pour une valeur particulière de St de l'analyseur.
Si nous nous reportons à notre formule
\y= cos{si — Rk) cos — ; h -^r^ sin(5i — Ra) sm— ^
■^ (TT^*/ ^^s2(2«i — 5, — RA.)sin» —
celle-ci, dans le cas de la lumière blanche devient
Ir= [2 ^^^(** "" ^*) 2 ^^^ ^~7^ "^ ITT» 2 ^^"^** "" ^*^ 2 ^^" ^"T^J
Nous verrons bientôt que, dans la seconde formule, la première partie entre crochets donne seule la colo-
ration de la tache. Par conséquent, si nous avons affaire à de la lumière monochromatique, nous dirons qu'il y aura tache si, dans la première formule,
cos*(2i, — 5i — Ra:) varie de o à i,
puisqu'à ces valeurs répondent, dans des azimuts i^ différents, des valeurs diff^érentes pour !>, sans que le terme principal
I cos(5i — R;t) cos —^ h j^rj^ ^'"(** "" ^^) ^^" ~2~" J
indépendant de ii soit modifié.
Donc l'intensité de l'image sera minima pour
cos2 (2/1 — ^1 — Ra- ) = o, et maxima pour
cos*'' ( 2 t'i — ^2 — Ra ) = 1 .
Par suite tache due à la variation de l'intensité lumineuse dans deux azimuts différents. La tache, au contraire, présentera une obscurité complète au centre si l'on a simultanément
[/ 15 \ t — 7.k e o-i cosf^i — Ra:) cos 1 —77. sin(5i — R/J sin = minima, 2 1 -}- A:^ 2 J
cos2 ( 2 ii — 5i — Ra ) = o .
Donc, pour arriver à caractériser la tache centrale, il n'est pas nécessaire, comme on y arrivait déjà avec la lumière blanche, que ces deux relations simultanées aient lieu (la première ne se présente jamais dans le cas de la lumière blanche). La relation seule
(6) COS*(2li— 5i — Ra) = o
est suffisante pour expliquer Texistence et la forme d'une tache centrale.
Avec la formule d'Airy nous avions donc de même la seule relation
COS2(2ii — Si) = O.
Formes de la tache en fonction de V épaisseur.
Nous avons dit que la tache pouvait présenter la forme de deux branches rectilignes en croix, la forme étoilée ou la forme circulaire, suivant l'épaisseur. La formule d'Airy étant indépendante de l'épaisseur était donc fausse. La nôtre, au contraire, nous permet d'expliquer tous ces résultats. Elle donne, en effet, minimum d'éclairement dans les directions
Sx -4- R^. 73 ., *i -h Ra- , , HT
Lames minces. — Ra pouvant être considéré comme négligeable par rapport à 5^ , on voit que dans ce cas on aura minimum d'éclairement sur deux branches linéaires en croix, sensiblement dans les directions
Si TTT ., St StîT
Lames moyennes, — R^t variant le long d'une branche
de R|(A:= i) à pA plus petit, A < i, on voit que l'on aura minimum d^éclairement dans les directions successives
5i -4- Ri m •2 4
Sx -t- Rat , TÏT
,, 5, -4- Ri , 3t;j
5| -4- Ra- 3 TÏT
io = -4- , > * '2 4
,, 5i-f- pA- , StiT
D'un autre côté, l'intensité lumineuse dans ces directions s'obtiendra facilement.
En effet, près de l'axe (s — o) est voisin de zéro, et à l'extrémité de la tache k devient négligeable, de sorte que l'on a dans un premier azimut i^
\y=i cos*(5i — R)t) cos^ pour R>t = voisin de Ri
et dans un autre azimut in^ correspondant à
C0S'(2li — 5i— Pa)=:0, I^=C0S*(5i — p/t) C0S2 ; pour R;t=p;t.
Si dans la lumière monochromatique on s'est placé à l'extinction de la partie centrale de la tache,
5,= --+-Ri,
on voit que
£ — o \y ,£'— o' ly
•2 cos2(Ri — Ryt) ' 2 cos'^(Ri — p>r.;'
d'où
Donc, au fur et à mesure que l'on s'écartera du centre,
non seulement on observera l'extinction dans les direc-
Fis:. 56,
lions successives i^^ i^^ ..., <*/,, mais encore elle s'étendra comme l'indique la fig, 56.
Ainsi nous expliquons la forme étoilée de la tache cen-
Fig. 57.
traie, pour les lames moyennes. Pour 2"", R| pour le jaune était de 4^® {fig* ^l)*
L'impossibilité dans laquelle on se trouvait d'expliquer la forme étoilée de la lâche centrale avec la formule d'Airy aurait suffi à démontrer l'inexactitude de la relation
C0S'(2ti — 5i) = o
qui ne peut conduire qu^à des branches en croix linéaires. Aussi les auteurs se gardaient bien de parler de la forme très particulière de la tache centrale.
Lames épaisses, — Si Ton substitue à 5^ sa valeur
