LIVRE I, CHAPITRE XXIIl

il est vrai, qu il y ait alors syllogisme; mais avec ces données seules , il n'y en aura pas encore relativement* à B. Quand C est attribué à un autre objet , et cet autre à tel autre, et celui-ci à un autre encore, sans qu'aucun se rapporte à B, il n'y aura pas davantage de syllogisme de A à B. C'est que, avons-nous dit, il n'y a point absolument de syllogisme d'un terme à un autre , à moins qu'on ne prenne quelque terme moyen qui, par attribution, puisse se rapporter aux deux premiers d'une façon quelconque. Le syllogisme , en effet , d'une manière générale, se compose de propositions; et le syllogisme relatif à telle chose se compose de propositions relatives à telle chose; et le syllogisme de telle chose, attribuée à telle autre chose , se compose de propositions de telle chose attribuée à telle autre chose. Il est donc impossible qu'il y ait une proposition relative à B , si l'on n'affirme ou si Ton ne nie rien de lui. De même, point de proposition de A à B , si l'on ne pose rien qui leur soit commun , et si Ion ne fait qu'affirmer ou nier de tous deux des choses qui leur sont spéciales. Il faut donc, entre les deux, un terme moyen qui enchaîne les attributions pour qu'il y ait syllogisme de telle chose relativement à telle autre. § 8. Si donc il est nécessaire de prendre quelque terme commun aux deux ; si , de plus, cela ne se peut faire que de trois façons : en attribuant A à C et C à B , ou C aux deux, ou les deux à C; et ce sont là les trois figures que nous avons dites , il est évident que tout syllogisme doit

S 8. Aristote établit ici qu'il ne but et sujet, c'est la première figure;

peut y avoir que trois figures du syl- deux fois attribut, c'est là seconde ;

logisme ,. parce qu'il n'y a que trois deux fois sujet, c'est la troisième,

positions possibles du moyen : attri- Voir plus haut , ch. 7, S 2.

se former par Tune de ces figures. § 9. Le raisonnement est tout à fait le même, si A est joint à B par plusieurs moyens; car, quelque nombreux qu'ils soient ^ la figure reste la même.

$ 10. Il est donc incontestable que les syllogismes ostensifs se forment par les figures antërîeureuent indi* quées. § 1 1. On va prouver que les syllogismes qui con* cluent par l'absurde se complètent aussi par elles. En effet, tous les syllogismes qui démontrent par l'absurde concluent le faux par syllogisme; mais ils démontrent la donnée initiale par hypothèse , en prouvant qu'il y a une absurdité dans la supposition de la contradictoire. En voici un exemple : on prouve que le diamètre est incommensurable, parce que, si on le suppose commensurable, il s'ensuit que le pair est égal à l'impair. On conclut donc par syllogisme que l'impair devrait être égal au pair ; et

§ 9. Le syllogisme est alors composé et devient un sorite.

g 11. La réduction à Tabsurde se fait toujours par un .syllogisme ostensif qui rentre dans Tune des trois figures. — Le diamètre est incommendurable t au côté ou à la circonférence. Voici cette démonstration par Tabsurde, d'après Alexandre d'Aphrodise qui la tire du 10« livre d'Euclide. Supposons la diagonale et le côté commensurables. Le rapport sera exprimé par deux nombres qu'on peut toujours supposer premiers entre eux. Soit donc un carré dont la diagonale soit 4 , et le côté 3, premiers entre eux; comme le carré fait sur Thypoténuse est double du quaixé fait sur le côté , on aura pour le premier 16, et, pour le se~

cond 9; 16 et 9 carrés de i et de 3 sont premiers entre eux comme leurs racines : or les nombres qui représentent les carrés sont entre eux comme ces carrés eux-mêmes : donc 9 serait la moitié de 16 , puisque le carré du côté est la moitié de celui de rhypoténuse. 16 est un nombre carré qui se divise en deux parties égales, sa moitié doit donc se diviser en deux parties égales : donc 9 est pair comme 16 lui-même : absurdité évidente qui prouve 'que le côté et la diagonale sont incommensurables. Resterait à examiner le cas où les deux nombres premiers sont im pairs : la démonstration serait, du reste, toute pareille. — Noue awms dit y du 8 i au 8 10. Voir plus baut dans ce ch., g 3.